S ries num riques

ESI. Math2. 2009/2010.
Chapitre : Séries numériques.
Introduction générale:
Le but de ce chapitre est de définir ce qu’est une série numérique et ce que veut
dire qu’elle converge, on donnera notament un sens à une somme infinie de
nombres, il y aura beaucoup de similitude avec les intégrales généralisées.
I.DEFINITIONS ET PREMIERES PROPRIETES.
I.1 Définitions.
Définition1:Soit unn∈Nune suite numérique réelle.
✠On apelle série numérique réelle de terme général unla quantité :
u0u1...un...noté
∑
k0
uk.
✠On apelle n’ième somme partielle liée à ∑
k0
ukla quantité :
u0u1...un∑
k0
nuknoté
Sn.
✠On dira que ∑
k0
ukconverge si et seulement si sa suite de sommes partielles
Snn∈Nconverge ie ssi n→
lim Snexiste et est finie.
Dans ce cas on apelle somme de la série sa limite Set l’on note:
Sn→
lim Sn∑
k0
uk.
Dans le cas contraire on dira que la série numérique ∑
k0
ukdiverge.
Remarque1: Une série numérique peut être donnée sous la forme ∑
k≥n0
ukavec
n0≥1on posera simplement Snun0un01...unet la définition1 reste valable,
on notera donc souvent ∑
n
unsans préciser l’indice initial.
Exemple: Déterminer la nature de la série de terme général un1
nn1n≥1.
Réponse:
On remarquera que un1
n−1
n1∀n≥1. Calculons (si elle existe) n→
lim Sn.
Snu1u2...un1−1
21
2−1
3...1
n−1
n11−1 n1cette
somme est dite "simplifiable".
Donc n→
lim Sn1Sexiste, alors la série numérique converge et on a ∑
k1
uk1.
Mme Achour. 1

ESI. Math2. 2009/2010.
Définition2:Soit ∑
n
unune série numérique de terme général un.
✠La série Rn∑
kn1
ukest apelée reste d’ordre nde la série donnée.
✠Si ∑
n
unconverge vers Salors on aura RnS−Snet donc n→ lim Rn0.
I.2 Propriétés.
Théorème1: (Opérations)
Soient ∑
n≥0
unet ∑
n
vndeux séries numériques réelles convergentes respectivement
vers Set T.Alors:
✠La série de terme général unvnest convergente et on a
∑
n≥0
unvn∑
n≥0
un∑
n≥0
vnST.
✠La série de terme général un∈Rest convergente et on a
∑
n≥0
un∑
n≥0
unS.
Théorème2: (CN)
Soit ∑
n≥0
unune série numérique on a :
∑
n
unconverge n→ lim un0
Preuve: On a que Snu0u1...un−1unet Sn−1u0u1...un−1
unSn−Sn−1,
comme ∑
n
unconverge alors Sn→ lim Snn→ lim Sn−1,ce qui donne n→ lim un0.
Remarque2: La proposition2 est la condition nécessaire de convergence d’une
série (CN), mais elle n’est pas suffisante!
Exemple: Déterminer la nature des séries numériques de terme général
un−1n,vnlog 11
n.
Réponse:
1) On a n→
lim |un|1≠0n→ lim un≠0CN ∑
n
undiverge.
2) On a que vnlog n1
nlogn1−logn∀n≥1. Calculons (si elle existe)
n→
lim Sn.
Snv1v2...vnlog2 −log1log3 −log2...logn1−lognlogn
Donc n→
lim Sn, alors la série numérique donnée diverge.
Mme Achour. 2

ESI. Math2. 2009/2010.
On remarque que n→
lim vn0et pourtant ∑
n
vndiverge!
Remarque3: Dans le 2) de l’exemple nous avons utilisé une somme
"simplifiable" afin de calculer Snnous pouvons aussi utiliser les sommes
géométriques comme le montre l’exemple qui va suivre.
Exemple: Déterminer la nature de la série de terme général unanoù aest une
constante réelle quelconque.
Réponse:
Calculons (si elle existe) n→
lim Sn.
Snu0u1...un1a...an1−an1
1−a.On rapelle que annest un suite
géométrique qui converge ssi a∈−1,1,enfaitona:n→
lim an
0si |a|1
1si a1
si a1
n’ ∄sinon
1er cas: |a|≥1. La CN nous donne que ∑
n
undiverge puisque n→ lim un≠0.
2ème cas: |a|1n→ lim Snn→ lim 1−an1
1−a1
1−adonc la série converge vers
1
1−a.
L’exemple précédent nous permet d’énoncer le résultat suivant:
Proposition: (Référence1)
La série numérique ∑
n≥0
anoù a∈Rconverge ssi |a|1et dans ce cas
∑
n≥0
an1
1−a.
Théorème3: (Décalage)
Soit ∑
n≥0
unune série numérique de terme général un.Alors:
1) ∑
n≥0
unconverge ∀k≥1:∑
n≥k
unconverge.
2) ∃k≥1/ ∑
n≥k
unconverge ∑
n≥0
unconverge.
Preuve: On a que
Snu0u1...un
Sk−1
u0...uk−1
Sk,n
uk...unSnSk−1Sk,n.
Les assertions 1) et 2) découlent de cette dérnière égalité en passant à la limite qd
n→et on aura que les séries ∑
n≥0
unet ∑
n≥k
unsont de même nature ∀k≥1.
Remarque4: La nature d’une série numérique ne change pas si l’on modifie un
Mme Achour. 3

ESI. Math2. 2009/2010.
nombre fini de ses termes.
II.CRITERES DE CONVERGENCE POUR LES SERIES POSITIVES.
Dans tout ce paragraphe, on considèrera une série numérique à termes positifs
ie son terme général un≥0∀n≥n0.
II.1 CRITERE DE MAJORATION.
Théoréme1: Pour qu’une série à termes positifs ∑
n≥0
unsoit convergente il faut
et il suffit que la suite de ses sommes partielles Snnsoit majorée.
Preuve: On a que Snnest croissante, en effet: Sn1−Snun1≥0.
Donc Snnconverge Snnmajorée .
Corollaire: ∑
n≥0
undiverge n→ lim Sn.On a donc les notations suivantes
:
✠Si ∑unconverge, on notera ∑un.
✠Si ∑undiverge, on écrira ∑un.
Exemple: Déterminer la nature de la série numérique ∑
n≥0
1
n12.
Réponse:
On a que un1
n12≥0et un1
nn11
n−1
n1∀n≥1.
Snu0u1...un11−1
21
2−1
3...1
n−1
n12−1 n1
ie Sn2∀n≥0. Donc Snnmajorée par 2alors la série numérique donnée est
convergente et ∑
n≥0
1
n12≤2.
En fait on a montré que la série ∑
n≥1
1
n2converge (il suffit de poser Nn1)
II.2 CRITERE DE COMPARAISON.
Théoréme2:
Soient ∑unet ∑vndeux séries numériques telle que 0≤un≤vn∀n≥n0alors
ona:
1) Si ∑vnconverge alors ∑unconverge.
2) Si ∑undiverge alors ∑vndiverge.
Preuve: Soient Snet Tnles nièmes sommes partielles de ∑unet ∑vn
respectivement.
1) Supposons ∑vnconverge alors Tnnest majorée par sa somme Tie Tn≤T.
Comme 0≤un≤vnalors 0≤Sn≤Tn≤Tie Snnest majorée par T.
Donc ∑unconverge.
Mme Achour. 4

ESI. Math2. 2009/2010.
2) En fait il suffit d’écrire la contraposée de 1) et on retrouve 2).
Exemple: Déterminer la nature de la série numérique ∑
n≥0
1
nn.
Réponse:
On a que un1
nn≥0et un≤1
2n∀n≥2car nn≥2n∀n≥2,
or ∑
n≥0
1
2
nconverge (série géométrique) comp
∑
n≥0
unconverge.
II.3 CRITERE D’EQUIVALENCE.
Théoréme3:
Soient ∑unet ∑vndeux séries numériques à termes positifs telle que un
vn.
Alors les deux séries sont de même nature.
Preuve: Il suffit d’utiliser la définition de n lim un
vn1.
Donc ∀0, ∃N0, ∀n≥Nun
vn−1.
Prenons par exemple 1
2.Alors ∃N0, ∀n≥Nun
vn−11
2
n≥N
−1
2≤un
vn−1≤1
2
1
2≤un
vn≤3
2
1
2vn≤un≤3 2vn(car vnest positive)
Puis il suffit d’appliquer le critère de comparaison.
Exemple: Déterminer la nature de la série numérique ∑
n≥1
1
n24n−3.
Réponse:
On a que un1
n24n−3
1
n2≥0et comme ∑
n≥1
1
n2converge equi
∑
n≥0
un
converge.
On rapelle que l’on avait précédement montré que la série ∑
n≥1
1
n2converge .
II.4 REGLE DE CAUCHY.
Théoréme4:
Soit ∑unune série numérique à termes positifs telle que n
lim nunlexiste
0≤l≤, alors ona :.
1) Si l1alors ∑unconverge.
2) Si l1alors ∑undiverge.
3) Si l1on ne peut rien dire, c’est le cas douteux.
Mme Achour. 5