Exercices sur les suites de nombres réels, première

Exercices sur les suites de nombres réels,
première année de premier cycle universitaire
F.Gaudon
19 août 2005
1
1 Énoncés
Exercice 1:
Soient (un)net (vn)ndeux suites vérifiant :
0un1
0vn1
limn→∞ unvn= 1
Que peut-on en dire?
Exercice 2:
Soient (an)net (bn)ndeux suites de réels strictement positifs vérifiant
nN,an+1
anbn+1
bn
Montrer que si (bn)nest convergente vers 0 alors (an)nest aussi convergente vers
0.
Exercice 3:
Soient (a;b)(R
+)2et (un)n,(vn)nles suites définies par :
u0=a
v0=b
nN, un+1 =unvn
nN, vn+1 =un+vn
2
1. Montrer que (un)net (vn)nsont convergente vers une même limite appelée
moyenne arithmético-géométrique de aet b.
2. Montrer que pour tout nN:
0vn+1 un+1 (vnun)2
8ab
3. Montrer qu’il existe n0Ntel que :
0un0vn0
8ab <1
et en déduire que nN,
n>n00unvn8ab vn0un0
8ab 2nn0
2
Exercice 4:
Soient xRet une suite (un)nde rationnels convergeante vers x. On a donc
nN, un=pn
qnavec pnZet qnN.
1. Démontrer que si (pn)nou (qn)nest une suite bornée, alors l’autre l’est
aussi et xQ
2. En déduire que si xRQalors limn→∞ |pn|= +et
limn→∞ |qn|= +.
Exercice 5:
Soit (un)nune suite dans R. On définit la suite réelle (vn)npar :
nN, vn=u1+u2+u3+. . . +un
n
1. Montrer que si (un)nconverge vers un réel l, alors (vn)nconverge aussi
vers l(théorème de Cesaro).
2. La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie?
3. Application :
on suppose que nN, un>0. Montrer que si (un+1
un)nconverge vers un
réel l, alors (n
un)nconverge aussi vers l.
3
2 Indications
Exercice 1 :
Traduire la limite en termes d’epsilon et utiliser l’inégalité nNunvnun.
Exercice 2 :
Remarquer que an
a0=an
an1
an1
an2. . . a1
a0.
Exercice 3 :
Montrer que les deux suites sont adjacentes.
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