Les relations trigonométriques 1 Rappel : Le cercle trigonométrique

Les relations trigonométriques
1 Rappel : Le cercle trigonométrique
- On se place dans un repère orthonormé
- Le cercle est de rayon 1 et muni d’un sens appelé sens direct qui
correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre.
- Soit M un point quelconque du cercle et t l’angle orienté tel que
t=( ~
Ox ;~
OM ). M a pour coordonnées (cos(t) ;sin(t)).
- Il existe une infinité de mesure en radian pour un même point du
cercle. Par exemple les angles orientés π
2et 5π
2correspondent au
même point du cercle car 5π
2=π
2+ 2π.
- La mesure principale d’un angle orienté est toujours comprise entre
-πet π.
1.1 Valeurs remarquables
Mesure de l’angle orienté t 0 π
6
π
4
π
3
π
2
cosinus t 1 3
2
2
2
1
20
sinus t 0 1
2
2
2
3
21
2 Quelques propriétés élémentaires
Pour tout réel t et tout entier relatif k on a :
˚cos(t+ 2kπ) = cost
˚sin(t+ 2kπ) = sint
˚cos(t+π) = cost
˚sin(t+π) = sint
˚cos2t+sin2t= 1
˚cos(πt) = cost
˚sin(πt) = sint
˚cos(π
2t) = sint
˚sin(π
2t) = cost
˚cos(t) = cost
˚sin(t) = sint
˚1cost 1
˚1sint 1
˚tant =sint
cost
1
3 Autres relations
3.1 Addition et soustraction
˚cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)
˚cos(ab) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
˚sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
˚sin(ab) = sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)
˚cos(2a) = 1 2sin2(a)
˚sin(2a)=2sin(a)cos(a)
3.2 Développement et factorisation
˚cos(a)×cos(a) = cos2(a) = 1+cos(2a)
2
˚sin(a)×(a) = sin2(a) = 1cos(2a)
2
˚cos(a)×(b) = cos(ab)+cos(a+b)
2
˚sin(a)×(b) = cos(ab)cos(a+b)
2
˚sin(a)×(b) = sin(a+b)+sin(ab)
2
˚cos(a)×(b) = sin(a+b)sin(ab)
2
˚cos(a) + cos(b) = 2cos(a+b
2)cos(ab
2)
˚cos(a)cos(b) = 2sin(a+b
2)sin(ab
2)
˚sin(a) + sin(b)=2sin(a+b
2)cos(ab
2)
˚cos(a) + cos(b) = 2cos(a+b
2)sin(ab
2)
4 Annexe
˚ Pour passer d’un angle t en degrès à un angle en radian il suffit de multiplier t par π
180 .
Donc t(radian) = t(˚)×π
180
˚ Pour passer d’un angle t en radian à un angle en degrès il suffit de multiplier t par 180
π.
Donc t(˚) = t(radian)×180
π
˚ Soit t un angle exprimé en radian. Si t est très petit on admet le fait que tan(t) = t
2
1 / 2 100%

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