Les relations trigonométriques 1 Rappel : Le cercle trigonométrique

Les relations trigonométriques
1 Rappel : Le cercle trigonométrique
- On se place dans un repère orthonormé
- Le cercle est de rayon 1 et muni d’un sens appelé sens direct qui
correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre.
- Soit M un point quelconque du cercle et t l’angle orienté tel que
t=( ~ Ox ;~ OM ). M a pour coordonnées (cos(t) ;sin(t)).
- Il existe une infinité de mesure en radian pour un même point du
cercle. Par exemple les angles orientés π
2et 5π 2correspondent au
même point du cercle car 5π
2=π 2+ 2π.
- La mesure principale d’un angle orienté est toujours comprise entre
-πet π.
1.1 Valeurs remarquables
Mesure de l’angle orienté t 0 π
6
π
4
π
3
π
2
cosinus t 1 √3
2
√2
2
1
20
sinus t 0 1
2
√2
2
√3
21
2 Quelques propriétés élémentaires
Pour tout réel t et tout entier relatif k on a :
˚cos(t+ 2kπ) = cost
˚sin(t+ 2kπ) = sint
˚cos(t+π) = −cost
˚sin(t+π) = −sint
˚cos2t+sin2t= 1
˚cos(π−t) = −cost
˚sin(π−t) = sint
˚cos(π
2−t) = sint
˚sin(π
2−t) = cost
˚cos(−t) = cost
˚sin(−t) = −sint
˚−1≤cost ≤1
˚−1≤sint ≤1
˚tant =sint
cost
1

3 Autres relations
3.1 Addition et soustraction
˚cos(a+b) = cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
˚cos(a−b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
˚sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
˚sin(a−b) = sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b)
˚cos(2a) = 1 −2sin2(a)
˚sin(2a)=2sin(a)cos(a)
3.2 Développement et factorisation
˚cos(a)×cos(a) = cos2(a) = 1+cos(2a)
2
˚sin(a)×(a) = sin2(a) = 1−cos(2a)
2
˚cos(a)×(b) = cos(a−b)+cos(a+b)
2
˚sin(a)×(b) = cos(a−b)−cos(a+b)
2
˚sin(a)×(b) = sin(a+b)+sin(a−b)
2
˚cos(a)×(b) = sin(a+b)−sin(a−b)
2
˚cos(a) + cos(b) = 2cos(a+b
2)cos(a−b 2)
˚cos(a)−cos(b) = −2sin(a+b
2)sin(a−b 2)
˚sin(a) + sin(b)=2sin(a+b
2)cos(a−b 2)
˚cos(a) + cos(b) = 2cos(a+b
2)sin(a−b 2)
4 Annexe
˚ Pour passer d’un angle t en degrès à un angle en radian il suffit de multiplier t par π
180 .
Donc t(radian) = t(˚)×π
180
˚ Pour passer d’un angle t en radian à un angle en degrès il suffit de multiplier t par 180
π.
Donc t(˚) = t(radian)×180
π
˚ Soit t un angle exprimé en radian. Si t est très petit on admet le fait que tan(t) = t
2