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Feuille d’exercices n˚4 - R ´ EDUCTION
VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES
Exercice 95. D´eterminer les ´el´ements propres des endomorphismes suivants.
1. EKXet ψLEd´efinie par ψ P XP .
2. ECR,Cet D:f f .
3. ERNet T:un n Nun1nN.
Exercice 96. Soit ud´efinie sur RnXpar u:P X21P nXP .
1. V´erifier que uest un endomorphisme de RnX.
2. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de u.
3. uest-elle diagonalisable ? Pr´eciser χuet det u.
Exercice 97.
D´eterminer les ´el´ements propres de f:RnXRnX
P X21P2X1P
Exercice 98. Soient ECNet f:E E l’application qui transforme une suite
u unen v vnd´efinie par :
v0u0et nN, vn
unun1
2.
D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
Exercice 99.
1. La matrice A
1 1 1
1 1 1
1 1 1
est-elle diagonalisable ?
2. Pr´eciser ses valeurs propres et vecteurs propres.
3. En d´eduire tous les s.e.v. de R3stables par l’endomorphisme ucanoniquement
associ´e `a A.
Exercice 100. Donner tous les s.e.v. de R3stables par l’endomorphisme fdont la
matrice dans la base canonique est B
2 3 1
121
1 3 2
.
Exercice 101. Soit Eun K-e.v., uLE, et Vun s.e.v. de Estable par u.
1. On suppose dim V1. Montrer que Vest g´en´er´e par un vecteur propre de u.
2. Si dim V2, Vpeut-il ˆetre toujours g´en´er´e par des vecteurs propres de u?
Exercice 102. Soit fLEo`u Eest un K-e.v. de dimension n.
On suppose que 0 Sp(fn). Montrer que 0 Sp(f).
Exercice 103. Soit fLEo`u Eest un K-e.v. de dimension n.
Montrer que 0 Sp(f)fsurjectif.
Exercice 104. Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.
´
Etablir Sp(u1) = λ1, λ Sp u.
POLYN ˆ OME CARACT´ ERISTIQUE
Exercice 105. Soient nnombres complexes quelconques a0, a1, ..., an1. Calculer
le polynˆome caract´eristique de la matrice compagnon
0 1 0
.
.
.......
0. . . 0 1
a0a1. . . an1
.
DIAGONALISATION DE MATRICES
Exercice 106 (Mines-Ponts).Diagonaliser A
1. . . . . . . . . 1
.
.
. 0 . . . 0.
.
.
.
.
..
.
..
.
..
.
.
.
.
. 0 . . . 0.
.
.
1. . . . . . . . . 1
.
Exercice 107 (Mines-Ponts).Valeurs propres de B
1 1 . . . 1
1 1 0
.
.
....
1 0 1
.
Exercice 108. ´ El´ements propres et diagonaliser si possible C
0. . . 0 1
.
.
..
.
..
.
.
0. . . 0 1
1. . . 1 1
.
Exercice 109. ´ El´ements propres et diagonaliser si possible D
0 1
...
1 0
.
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 1 2013-2014

Feuille d’exercices n˚4 - R ´ EDUCTION
Exercice 110 (Mines-Ponts).
a, b R2, on pose M a, b
a2ab ab b2
ab a2b2ab
ab b2a2ab
b2ab ab a2
.
1. Ces matrices sont-elles simultan´ement diagonalisable ?
2. ´ Etudier et repr´esenter graphiquement l’ensemble a, b R2tel que la matrice
M a, b nconverge vers la matrice nulle quand ntend vers .
(c’est `a dire que chaque coefficient de la matrice tende vers 0).
Exercice 111. Soient Aet Bdeux matrices de MnRsemblables dans C.
1. En s´eparant la relation liant Aet Bsuivant les parties r´eelle et imaginaire,
construire une matrice Qinversible r´eelle telle que QA BQ.
2. En d´eduire que Aet Bsont semblables dans R.
Exercice 112 (Mines-ponts).
A
123
312
231
et B
132
213
321
sont-elles semblables dans C? dans R?
Exercice 113. Montrer que si Aest diagonalisable alors tAl’est aussi.
Exercice 114.
Soient AGLnKet BMnK.
On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable.
Exercice 115. Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables sur K?
Exercice 116. Soit AMnCune matrice de rang 1.
1. Montrer qu’il existe un r´eel λtel que A2λA.
2. Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si tr A0.
DIAGONALISATION D’ENDOMORPHISMES
Exercice 117. φ:MnRMnR
M M tr M .Inest-il diagonalisable ?
Exercice 118. Soient A1 0
0 2 et Ma b c d deux matrices r´eelles.
1. Calculer AM MA.
2. D´eterminer les ´el´ements propres de l’endomorphisme f:M AM MA.
3. fest-il diagonalisable ?
Exercice 119. Soit u:RnXRnXd´efini par : u P XnP1
X.
uest-elle diagonalisable ? D´eterminer ses ´el´ements propres.
POLYN ˆ OMES ANNULATEURS
Exercice 120. Soit nN,AMnRtelle que A3A In.
Montrer que det A0.
Exercice 121. Soit nN,AMnRtelle que A3A2et tr A n.
Montrer que A In.
Exercice 122. Soit nN,AMnRtelle que A47A312A2.
Montrer que tr ANet tr A4n.
Exercice 123. Soit nN,AMnRtelle que A3A2A0.
Montrer que rg Aest pair.
Exercice 124. D´eterminer toutes les matrices AGL3R, de trace ´egale `a 7 et
v´erifiant A35A26A0.
Exercice 125. Pour a, b, c N3avec a b et c0.
On suppose que P X X a X b X2X c annule AMnK.
Montrer que tr AZet det A0.
Exercice 126. Trouver les matrices XM2Rtelles que X2X1 1
1 1 .
Exercice 127.
1. Soit AMnRtelle que A2In0.
(a) Si n2, montrer que Aest semblable `a A0 1
1 0 .
(b) Si n3, montrer qu’il n’existe pas de solutions `a A2In0.
(c) nest maintenant quelconque. Calculer det Aet tr A.
2. Soit AMnRtelle que A2A0.
(a) n2, montrer que A0 ou Aest semblable `a A0 1
1 0 .
(b) Si n3, montrer que A0 ou Aest semblable `a A
0 1 0
100
000
.
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 2 2013-2014

Feuille d’exercices n˚4 - R ´ EDUCTION
Exercice 128 (Mines 2010).
Soit la matrice MMnCd´efinie par : i1, ..., n ,mi,i aet i, j 1, ..., n 2
avec i j,mi,j bo`u a, b sont deux complexes donn´es.
1. Trouver deux complexes αet βtels que M2αM βIn0.
2. Mest-elle diagonalisable ? Si oui, donner ses ´el´ements propres.
3. Mest-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.
Exercice 129. Soit A1 1
0 1 . D´eterminer le polynˆome minimal de A.
PUISSANCES DE MATRICES
Exercice 130. Calculer lim
nAnavec A1
3
412
2 1 2
1 1 1
.
Exercice 131. Calculer Anpuis eApour A
211
121
112
.
eAest, lorsqu’elle existe, la matrice d´efinie par eAlim
n
n
k0
1
k!Ak.
MATRICES D´ EFINIES PAR BLOC
Exercice 132. Soit B0 2A
A3Ao`u AMnC.
Est-il vrai que Aest diagonalisable si et seulement si Bl’est ?
Exercice 133. Soit BA A
0Ao`u AMnR.
1. Montrer que PRX,P B P A AP A
0P A .
2. Montrer que si Best diagonalisable, Al’est aussi et A0.
3. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante pour que Bsoit diagonalisable.
TRIGONALISATION
Exercice 134. Soit uLRntel que u2k2IdRnavec kR. Montrer que u
n’est pas trigonalisable sur R. Qu’en est-il sur C?
Exercice 135. Soit M
2a2 1 2 1
2 2a1 2
1 0 0
1. Discuter suivant la valeur de ala diagonalisabilit´e de M.
2. Pour a1,
(a) calculer le polynˆome minimal,
(b) calculer MnI3M I3nhabilement,
(c) d´eterminer une base dans laquelle Mest semblable `a
0 0
0 1
0 0
.
Exercice 136. Soit A
2 1 1
2 1 2
3 1 2
.
Calculer le polynˆome caract´eristique de Aet trigonaliser la matrice A.
(d´eterminer une base dans laquelle la matrice est semblable `a
0 0
0 1
0 0
.)
Exercice 137. Soit B
0 1 1
1 1 2
3 1 2
.
Calculer le polynˆome caract´eristique de Bet trigonaliser la matrice B.
(d´eterminer une base dans laquelle la matrice est semblable `a
0 0
0 1
0 0
.)
Exercice 138. Soit C
1 1 1
2 4 2
1 1 1
.
Calculer le polynˆome caract´eristique de Cet trigonaliser la matrice C.
(d´eterminer une base dans laquelle la matrice est semblable `a
1 0
0 1
0 0
.)
DIVERS
Exercice 139. On se place dans ERnet on consid`ere fLE.
On suppose que fest diagonalisable. Montrer que Ker f= Ker f2et Im f= Im f2.
Exercice 140. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel x4x2y
y x y .
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 3 2013-2014

Feuille d’exercices n˚4 - R ´ EDUCTION
Exercice 141 (Mines 2010).
R´esoudre dans C, puis dans R:
x t x t y t
y t x t 2y t z t
z t x t z t
.
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 4 2013-2014