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Feuille d’exercices n˚4 - RÉDUCTION
Exercice 102. Soit f P LpE q où E est un K-e.v. de dimension n.
VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES
On suppose que 0 P Sp(f n ). Montrer que 0 P Sp(f ).
Exercice 95. Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants.
Exercice 103. Soit f P LpE q où E est un K-e.v. de dimension n.
KrX s et ψ P LpE q définie par ψpP q XP .
2. E C 8 pR, Cq et D : f ÞÑ f 1 .
3. E RN et T : pun qnPN ÞÑ pun 1 qnPN .
Exercice 96. Soit u définie sur Rn rX s par u : P ÞÑ pX 2 1qP 1 nXP .
1. Vérifier que u est un endomorphisme de Rn rX s.
Montrer que 0 R Sp(f )
1. E
Exercice 104. Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.
Établir Sp(u1 ) = tλ1 , λ P Sppuqu.
POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE
Exercice 105. Soient n nombres complexes quelconques
pa0 , a1 , ..., an1q. Calculer
2. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de u.
0
3. u est-elle diagonalisable ? Préciser χu et det u.
"
Exercice 97.
Déterminer les éléments propres de f :
CN et f
Exercice 98. Soient E
u pun q en v
pvn q définie par :
v0
:E
Rn r X s Ñ Rn r X s
P ÞÑ pX 2 1qP 1 p2X
..
le polynôme caractéristique de la matrice compagnon .
0
1qP
a0
Ñ E l’application qui transforme une suite
u0 et @n P N , vn un
1
La matrice A 1
1.
1
1
1
1
1
..
.
Exercice 106 (Mines-Ponts). Diagonaliser A ...
..
un1
.
2
.
1
1
1 est-elle diagonalisable ?
2. Préciser ses valeurs propres et vecteurs propres.
3. En déduire tous les s.e.v. de R3 stables par l’endomorphisme u canoniquement
associé à A.
1
1 2 1.
1
3
2. Si dim V
¥ 2, V
1. Montrer que V
0
..
.
...
0
...
...
...
... 1
1
1
...
..
p0q
0
Exercice 109. Éléments propres et diagonaliser si possible D est généré par un vecteur propre de u.
p1q
peut-il être toujours généré par des vecteurs propres de u ?
PSI - Lycée de l’Essouriau
.
... 1
.
0 .. ..
.. .
.
.
.. 0 .
1
2
Exercice 101. Soit E un K-e.v., u P LpE q, et V un s.e.v. de E stable par u.
1. On suppose dim V
1
an1
0
..
.
Exercice 108. Éléments propres et diagonaliser si possible C 0
Exercice 100. Donner tous les s.e.v. de R stables par
l’endomorphisme f dont la
3
.
0
...
...
1
3
2
p0q
..
...
1
1
Exercice 107 (Mines-Ponts). Valeurs propres de B ...
1
matrice dans la base canonique est B
1
..
.
...
a1
DIAGONALISATION DE MATRICES
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f .
Exercice 99.
ô f surjectif.
1
1
p0q
.
.
1
...
0
..
.
...
...
0
1
..
1
.. .
.
1
1
p1q
.
.
0
2013-2014
Feuille d’exercices n˚4 - RÉDUCTION
Exercice 110 (Mines-Ponts).
b
ab
.
ab
2
3. f est-il diagonalisable ?
2
a
ab ab
a2 b2
b2 a2
b2 ab ab a2
1. Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisable ?
ab
@pa, bq P R2 , on pose M pa, bq ab
Exercice 119. Soit u : Rn rX s Ñ Rn rX s défini par : upP q X P
Exercice 122. Soit n P N , A P Mn pRq telle que A4 7A3 12A2 .
Montrer que trpAq P N et trpAq ¤ 4n.
Exercice 123. Soit n P N , A P Mn pRq telle que A3
Exercice
112
(Mines-ponts).
1
3
3
1
2
Montrer que rgpAq est pair.
2
3 sont-elles semblables dans C ? dans R ?
1
Exercice 124. Déterminer toutes les matrices A
vérifiant A3 5A2
On suppose que P pX q pX aqpX bqpX 2
Montrer que trpAq P Z et detpAq ¡ 0.
Exercice 114.
Soient A P GLn pKq et B P Mn pKq.
On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable.
Exercice 127.
Exercice 116. Soit A P Mn pCq une matrice de rang 1.
1. Soit A P Mn pRq telle que A2
λA.
Ñ
ÞÑ
Mn pRq
M
trpM q.In
Exercice 118. Soient A 0 2 et M
1. Calculer AM
M A.
1
0
a
c
PSI - Lycée de l’Essouriau
2. Soit A P Mn pRq telle que A2
0.
0
1
(b)
Ñ AM M A.
2
0
1
1
1
.
1
.
In
0
1
0.
1
0
.
0 1
Si n 3, montrer que A 0 ou A est semblable à A1 1 0
0
2
X
1
A 0.
(a) n 2, montrer que A 0 ou A est semblable à A1
deux matrices réelles.
2. Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme f : M
In
(c) n est maintenant quelconque. Calculer detpAq et trpAq.
est-il diagonalisable ?
b
d
cq annule A P Mn pKq.
(b) Si n 3, montrer qu’il n’existe pas de solutions à A2
DIAGONALISATION D’ENDOMORPHISMES
Mn pRq
M
X
(a) Si n 2, montrer que A est semblable à A1
2. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si tr A 0.
"
P GL3 pRq, de trace égale à 7 et
Exercice 126. Trouver les matrices X P M2 pRq telles que X
Exercice 115. Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables sur K ?
Exercice 117. φ :
6A 0.
A 0.
A2
Exercice 125. Pour pa, b, cq P N3 avec a b et c 0.
Exercice 113. Montrer que si A est diagonalisable alors t A l’est aussi.
1. Montrer qu’il existe un réel λ tel que A2
In .
Montrer que A In .
2. En déduire que A et B sont semblables dans R.
2
A
Exercice 121. Soit n P N , A P Mn pRq telle que A3 A2 et trpAq n.
1. En séparant la relation liant A et B suivant les parties réelle et imaginaire,
construire une matrice Q inversible réelle telle que QA BQ.
3
2 et B
1
.
POLYNÔMES ANNULATEURS
Exercice 111. Soient A et B deux matrices de Mn pRq semblables dans C.
2
1
3
1
X
u est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.
2. Étudier et représenter graphiquement l’ensemble pa, bq P R2 tel que la matrice
Exercice 120. Soit n P N , A P Mn pRq telle que A3
M pa, bqn converge vers la matrice nulle quand n tend vers 8.
Montrer que detpAq ¡ 0.
(c’est à dire que chaque coefficient de la matrice tende vers 0).
1
A 3
2
n
0
0
0.
0
2013-2014
Feuille d’exercices n˚4 - RÉDUCTION
Exercice 128 (Mines 2010).
1. Discuter suivant la valeur de a la diagonalisabilité de M .
Soit la matrice M P Mn pCq définie par : @i P t1, ..., nu, mi,i a et @pi, j q P t1, ..., nu2
avec i j, mi,j b où pa, bq sont deux complexes donnés.
1. Trouver deux complexes α et β tels que M 2 αM βIn 0.
2. M est-elle diagonalisable ? Si oui, donner ses éléments propres.
3. M est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.
2. Pour a 1,
(a) calculer le polynôme minimal,
(b) calculer M n
1
4 1 2
1
An avec A 2 1 2.
3
1
1
1
1
2
1
2
Exercice 131. Calculer An puis eA pour A 1
eA est, lorsqu’elle existe, la matrice définie par eA
1
1
1.
0
Exercice 137. Soit B 1
2
nÑlim8 ° k!1 Ak .
0
2A
A 3A où A P Mn pCq.
Est-il vrai que A est diagonalisable si et seulement si B l’est ?
1. Montrer que @P
A
.
0
P pAq
2. Montrer que si B est diagonalisable, A l’est aussi et A 0.
3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que B soit diagonalisable.
2
Exercice 135. Soit M 2
1
2
n
n’est pas trigonalisable sur R. Qu’en est-il sur C ?
1
PSI - Lycée de l’Essouriau
a{2 1{2
2a 1
0
DIVERS
TRIGONALISATION
k2 IdR
1 1 1
Calculer le polynôme caractéristique de C et trigonaliser la matrice
C. 1 0
(déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.)
0 0 P RrX s, P pB q Exercice 134. Soit u P LpRn q tel que u2
0
1 1 1
Exercice 138. Soit C 2 4 2 .
Exercice 133. Soit B 0 A où A P Mn pRq.
P pAq AP 1 pAq
A
0
0
1.
1
1
1 2.
3 1 2
Calculer le polynôme caractéristique de B et trigonaliser la matrice
B. 0 0
(déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.)
0 0 n
MATRICES DÉFINIES PAR BLOC
0
est semblable à 0 3 1 2
Calculer le polynôme caractéristique de A et trigonaliser la matrice
A. 0 0
(déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.)
0 0 k 0
Exercice 132. Soit B I3 qn habilement,
2 1 1
Exercice 136. Soit A 2 1 2.
PUISSANCES DE MATRICES
Exercice 130. Calculer lim
nÑ 8
M
(c) déterminer une base dans laquelle M
Exercice 129. Soit A 0 1 . Déterminer le polynôme minimal de A.
1
pI3
avec k
P R. Montrer que u
Exercice 139. On se place dans E Rn et on considère f P LpE q.
On suppose que f est diagonalisable. Montrer que Ker f = Ker f 2 et Im f = Im f 2 .
" 1
x Exercice 140. Résoudre le système différentiel y1 0
3
4x 2y
.
x y
2013-2014
Feuille d’exercices n˚4 - RÉDUCTION
Exercice 141 (Mines 2010).
$
&
Résoudre dans C, puis dans R :
%
PSI - Lycée de l’Essouriau
x1 ptq xptq y ptq
y 1 ptq xptq 2y ptq
z 1 ptq xptq z ptq
z ptq .
4
2013-2014