Télécharger

DEVOIR LIBRE n˚13
PCSI
AVERTISSEMENT
Pour le Lundi 13 Avril 2013
Exercice 2.
Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension trois ; B pi, j, k q une
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, base orthonormale de E et u un vecteur unitaire de coordonnées pa, b, cq dans
la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part im- la base B. On note D vectp~uq la droite vectorielle engendrée par u.
portante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non
Le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est noté px|y q.
encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
Pour tout réel λ non nul, on note fλ l’application de E dans E définie par :
@x P E, fλpxq x
Exercice 1. Endomorphismes d’un espace de matrices
Étant donné un entier n P N , on désigne par Mn pRq le R-espace vectoriel des
matrices carrées à n lignes et n colonnes.
Soit B une matrice quelconque de M2 pRq. Soit ϕB l’application de M2 pRq dans
M2 pRq qui à la matrice X associe la matrice ϕB pX q B X où désigne le
produit matriciel.
1. Montrer que fλ est un endomorphisme de E.
2. (a) Déterminer la valeur notée λ0 du réel λ telle que fλ0 soit une isométrie vectorielle de E, c’est à dire fλ conserve la norme (i.e. @x P E,
}fλ0 pxq} }x}).
1. Soit n P N . Donner sans justification la dimension de Mn pRq.
(b) Écrire la matrice de fλ0 dans la base B.
2. Montrer que ϕB est un endomorphisme de l’espace vectoriel M2 pRq.
3. On suppose dans cette question que B
1 1
2 3
λpx|uq u .
(c) Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants par fλ0 . Reconnaitre
alors la nature géométrique de fλ0 en précisant ses éléments remarquables.
.
(a) ϕB est-elle surjective ? Bijective ? Justifier.
(b) Déterminer la matrice de ϕB dans la base canonique de M2 pRq.
On rappelle que la base canonique de M2 pRq est constituée des matrices élémentaires pE1,1 , E1,2 , E2,1 , E2,2 qoù :
E1,1
1 0
0 0
, E1,2
0 1
0 0
, E2,1
0 0
1 0
, E2,2
Traiter également les exercices suivants de la feuille d’exercices :
- n˚234
- n˚236
- n˚239
0 0
- n˚245
0 1
- n˚246
- n˚249
2 2
4. On prend dans cette question B .
2 2
Déterminer Ker ϕB et Im ϕB (donner une base et la dimension de ces
espaces en fonction des matrices élémentaires). L’application ϕB est-elle
surjective ? Bijective ? Justifier.
Lycée de l’Essouriau
1