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PCSI DEVOIR LIBRE n˚13 Pour le Lundi 13 Avril 2013
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,
la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part im-
portante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les r´esultats non
encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
Exercice 1. Endomorphismes d’un espace de matrices
´
Etant donn´e un entier nN, on d´esigne par MnRle R-espace vectoriel des
matrices carr´ees `a nlignes et ncolonnes.
Soit Bune matrice quelconque de M2R. Soit ϕBl’application de M2Rdans
M2Rqui `a la matrice Xassocie la matrice ϕBX B X o`u d´esigne le
produit matriciel.
1. Soit nN. Donner sans justification la dimension de MnR.
2. Montrer que ϕBest un endomorphisme de l’espace vectoriel M2R.
3. On suppose dans cette question que B1 1
2 3 .
(a) ϕBest-elle surjective ? Bijective ? Justifier.
(b) D´eterminer la matrice de ϕBdans la base canonique de M2R.
On rappelle que la base canonique de M2Rest constitu´ee des ma-
trices ´el´ementaires E1,1, E1,2, E2,1, E2,2o`u :
E1,1
1 0
0 0 , E1,2
0 1
0 0 , E2,1
0 0
1 0 , E2,2
0 0
0 1
4. On prend dans cette question B2 2
2 2 .
D´eterminer Ker ϕBet Im ϕB(donner une base et la dimension de ces
espaces en fonction des matrices ´el´ementaires). L’application ϕBest-elle
surjective ? Bijective ? Justifier.
Exercice 2.
Soit Eun espace vectoriel euclidien orient´e de dimension trois ; Bi, j, k une
base orthonormale de Eet uun vecteur unitaire de coordonn´ees a, b, c dans
la base B. On note D vect ~u la droite vectorielle engendr´ee par u.
Le produit scalaire de deux vecteurs xet yde Eest not´e x y .
Pour tout r´eel λnon nul, on note fλl’application de Edans Ed´efinie par :
x E, fλx x λ x u u .
1. Montrer que fλest un endomorphisme de E.
2. (a) D´eterminer la valeur not´ee λ0du r´eel λtelle que fλ0soit une isom´e-
trie vectorielle de E, c’est `a dire fλconserve la norme (i.e. x E,
fλ0x x ).
(b) ´ Ecrire la matrice de fλ0dans la base B.
(c) D´eterminer l’ensemble des vecteurs invariants par fλ0. Reconnaitre
alors la nature g´eom´etrique de fλ0en pr´ecisant ses ´el´ements remar-
quables.
Traiter ´egalement les exercices suivants de la feuille d’exercices :
- n˚234
- n˚236
- n˚239
- n˚245
- n˚246
- n˚249
Lyc´ee de l’Essouriau 1