Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires 1

Universit´e Paris Diderot–Paris 7 MM1
Math´ematiques 23 octobre 2010
Alg`ebre et analyse ´el´ementaires 1
par
J´erˆome Dubois
Table des mati`eres
1 Nombres Complexes 3
1.1 Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe . . . . . . . . 4
1.3 Argument et forme polaire d’un nombre complexe . . . . . . . . 5
1.4 Racines d’un nombre complexe. Racines ni`eme de l’unit´e. . . . . 8
1.5 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Applications g´eom´etriques des nombres complexes . . . . . . . . 13
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Ensembles et Applications 17
2.1 La notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Des axiomes de la th´eorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Op´erations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 La notion d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Les ensembles finis, ensembles d´enombrables . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Polynˆomes 27
3.1 D´efinition de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Polynˆomes vs. applications polynomiales . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Division des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Racines des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Introduction `a l’alg`ebre lin´eaire 35
4.1 La structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 La m´ethode d’´elimination de Gauss (ou m´ethode du pivot) . . . 51
5 Fonctions continues 57
5.1 G´en´eralit´es et rappels sur R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Suites de nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Fonctions r´eelles et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Fonctions uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1

6 Fonctions d´erivables 87
6.1 D´efinition et crit`ere de d´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2 Th´eor`emes de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . 89
6.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Arithm´etique 99
7.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4 Anneaux : l’anneau Z/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.5 Corps : le corps fini Fp=Z/pZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6 Euler, Fermat & Co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
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J´erˆome Dubois “Alg`ebre et Analyse ´el´ementaires”
1 Nombres Complexes
Le carr´e d’un nombre r´eel est connu pour ˆetre toujours positif. Ainsi, l’´equation
x2=−1 n’admet pas de solution dans R. Afin de doter de telles ´equations, d´epourvues
de solutions r´eelles, de solutions “fictives”, les nombres dits complexes furent intro-
duits `a la fin du XVI`eme si`ecle. Ce fut un succ`es imm´ediat puisque ces quantit´es
abstraites se prˆetent tr`es bien au calcul alg´ebrique. Presque un si`ecle plus tard, A.
Fresnel d´ecouvrit qu’une repr´esentation complexe convenable permettait un traite-
ment efficace de questions li´ees aux ph´enom`enes ´electromagn´etiques, conf´erant ainsi `a
l’ensemble des nombres complexes le statut d´efinitif d’outil scientifique.
1.1 Le corps des nombres complexes
Dans la suite, on note il’une des deux solutions de l’´equation alg´ebrique x2=−1.
L’autre solution ´etant −i. On appelle il’unit´e imaginaire.
Tout nombre complexe zs’´ecrit de fa¸con unique sous la forme, dite cart´esienne,
suivante :
(∗)z=a+ib, avec a, b des nombres r´eels.
Dans l’´equation (∗), as’appelle la partie r´eelle de z, not´ee Re(z);bs’appelle la partie
imaginaire de z, on la note Im(z). Notons qu’un nombre complexe z=a+ib est r´eel
si, et seulement si, b= 0. Il est dit imaginaire pur lorsque z=ib, c’est-`a-dire lorsque
a= 0.
L’ensemble des nombres complexes est not´e C;Ren est un sous-ensemble.
1. Calculs dans C.—Pour tous z, z!∈Cavec z=a+ib et z!=a!+ib!, on a :
z=z!si, et seulement si, a=a!et b=b!
z= 0 si, et seulement si, a= 0 et b=0
z+z!=(a+ib) + (a!+ib!) = (a+a!)+i(b+b!)
−z=−a−ib
z·z!=(a+ib)·(a!+ib!) = (aa!−bb!)+i(ab!+a!b)
si z$=0,alors z−1=1
a2+b2(a−ib).
2. Conjugu´e et module.—Au nombre complexe zavec z=a+ib, sont associ´e :
– son conjugu´e :
z=a+ib =a−ib ∈C;
– son module :
|z|=√z·z=|a+ib|=pa2+b2∈R+.
Propri´et´es du conjugu´e :Pour tous z, z!∈C, on a :
(a) z+z!=z+z!
(b) z·z!=z·z!
(c) z=z(on dit que l’op´eration ·est involutive)
(d) z∈Rsi, et seulement si, z=z.
Propri´et´es du module :Pour tous z, z!∈C, on a :
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J´erˆome Dubois “Alg`ebre et Analyse ´el´ementaires”
(a) z= 0 si, et seulement si, |z|=0
(b) |z|>0 pour tout z$=0
(c) |z|=|z|
(d) |z·z!|=|z| · |z!|
(e) Re(z)!|z|et Im(z)!|z|
(f) In´egalit´e triangulaire : |z+z!|!|z|+|z!|
(g) z∈R+si, et seulement si, z=|z|.
D´emonstration. — Seule l’in´egalit´e triangulaire n’est pas une simple routine.
Observons d’abord que
|z+z!|2=|z|2+|z|2+ 2Re(z·z!).
De plus Re(z·z!)!|z·z!|=|z| · |z!|. Ainsi
|z+z!|2!|z|2+|z|2+2·|z| · |z!|=`|z|+|z!|´2.
On conclut en utilisant la croissance sur R+de la fonction racine carr´ee. "
Remarques. Soit zun nombre complexe.
(a) si z$= 0, on a z−1=1
|z|2z.
(b) Re(z)= z+z
2.
(c) Im(z)= z−z
2i.
(d) Pour tous z, z!∈C, on a : ||z|−|z!|| !|z+z!|.
1.2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe
L’image de tout nombre complexe zde forme cart´esienne z=a+ib dans le plan
R2(rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O, −→i,
−→j) est le point Mde coordonn´ees (a, b).
Le vecteur −−→ OM est le vecteur image de z.
1
2
1
0
a
b
i
a+ib
Fig. 1–Repr´esentation g´eom´etrique du nombre complexe z=a+ib.
Le nombre complexe zs’appelle l’affixe du point Mou du vecteur −−→ OM.
Le module |z|de zest la longueur du segment [OM].
L’image du conjugu´e zde zest le sym´etrique de l’image de zpar rapport `a l’axe
des abscisses.
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1.3 Argument et forme polaire d’un nombre complexe
1. Argument et forme polaire.—Lorsque z$= 0, son image est distincte de
l’origine Odu rep`ere. On appelle alors argument de z, not´e arg(z), une mesure
θde l’angle (−→i,
−−→
OM) (bien d´efinie `a un multiple de 2πpr`es). Ainsi, on a :
z=|z|(cos θ+isin θ).
Si r=|z|, le nombre complexe r(cos θ+isin θ) est la forme trigonom´etrique de
z. Autrement dit le module et l’argument d’un nombre complexe correspondent
aux coordonn´ees polaires (r, θ) de son image dans le plan complexe.
Si le nombre complexe z=a+ib $= 0 s’´ecrit sous forme trigonom´etrique de la
fa¸con suivante : z=r(cos θ+isin θ), alors on a r=|z|, Re(z)=r·cos θet
Im(z)=r·sin θde sorte que tan θ=b
asi a$= 0, c’est-`a-dire z$∈ R. Pour z=ib
imaginaire pur, on observe que :
θ=(π
2si b>0
−π
2si b<0
La fonction arctan dont les valeurs sont dans l’intervalle ˜−π
2,π 2ˆ, permet d’´ecrire
l’argument θde z/∈iRen fonction de ses parties r´eelle et imaginaire :
arg(z)=θ=(arctan `b
a´si a#0
arctan `b
a´+πsi a<0
2. Exemples.
(a) L’argument de 1 vaut 0 (modulo 2π).
(b) Les nombres r´eels strictement positifs ont un argument nul, modulo 2π;
les nombres r´eels strictement n´egatifs ont un argument ´egal `a π, modulo
2π.
(c) L’unit´e imaginaire iest d’argument π
2(modulo 2π).
(d) Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru `a ±π
2, modulo 2π,
selon le signe de leur partie imaginaire.
(e) L’argument du nombre complexe √2
2+i√2 2= cos `π 4´+isin `π 4´vaut π 4
(modulo 2π).
(f) L’argument du nombre complexe 1 + iest π
4(modulo 2π), celui de −1+i
est 3π
4(modulo 2π).
3. Propri´et´e de l’argument.—Pour tous z, z!∈C, on a :
(a) arg(z·z!) = arg(z) + arg(z!) mod 2π.
(b) arg(z)=−arg(z) mod 2π.
(c) arg(z−1)=−arg(z) mod 2π.
(d) arg(zp)=p·arg(z) mod 2π.
4. Remarque : Cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e triangulaire.
On a |z+z!|=|z|+|z!|si, et seulement si, z= 0 ou z!= 0 ou arg(z) = arg(z!)
mod 2π.
En effet, on a :
|z|2+|z!|2+2|z·z!|=(|z|+|z!|)2=|z+z!|2=|z|2+|z!|2+ 2Re(z·z!)
5