J´erˆome Dubois “Alg`ebre et Analyse ´el´ementaires”
1 Nombres Complexes
Le carr´e d’un nombre r´eel est connu pour ˆetre toujours positif. Ainsi, l’´equation
x2=−1 n’admet pas de solution dans R. Afin de doter de telles ´equations, d´epourvues
de solutions r´eelles, de solutions “fictives”, les nombres dits complexes furent intro-
duits `a la fin du XVI`eme si`ecle. Ce fut un succ`es imm´ediat puisque ces quantit´es
abstraites se prˆetent tr`es bien au calcul alg´ebrique. Presque un si`ecle plus tard, A.
Fresnel d´ecouvrit qu’une repr´esentation complexe convenable permettait un traite-
ment efficace de questions li´ees aux ph´enom`enes ´electromagn´etiques, conf´erant ainsi `a
l’ensemble des nombres complexes le statut d´efinitif d’outil scientifique.
1.1 Le corps des nombres complexes
Dans la suite, on note il’une des deux solutions de l’´equation alg´ebrique x2=−1.
L’autre solution ´etant −i. On appelle il’unit´e imaginaire.
Tout nombre complexe zs’´ecrit de fa¸con unique sous la forme, dite cart´esienne,
suivante :
(∗)z=a+ib, avec a, b des nombres r´eels.
Dans l’´equation (∗), as’appelle la partie r´eelle de z, not´ee Re(z);bs’appelle la partie
imaginaire de z, on la note Im(z). Notons qu’un nombre complexe z=a+ib est r´eel
si, et seulement si, b= 0. Il est dit imaginaire pur lorsque z=ib, c’est-`a-dire lorsque
a= 0.
L’ensemble des nombres complexes est not´e C;Ren est un sous-ensemble.
1. Calculs dans C.—Pour tous z, z!∈Cavec z=a+ib et z!=a!+ib!, on a :
z=z!si, et seulement si, a=a!et b=b!
z= 0 si, et seulement si, a= 0 et b=0
z+z!=(a+ib) + (a!+ib!) = (a+a!)+i(b+b!)
−z=−a−ib
z·z!=(a+ib)·(a!+ib!) = (aa!−bb!)+i(ab!+a!b)
si z$=0,alors z−1=1
a2+b2(a−ib).
2. Conjugu´e et module.—Au nombre complexe zavec z=a+ib, sont associ´e :
– son conjugu´e :
z=a+ib =a−ib ∈C;
– son module :
|z|=√z·z=|a+ib|=pa2+b2∈R+.
Propri´et´es du conjugu´e :Pour tous z, z!∈C, on a :
(a) z+z!=z+z!
(b) z·z!=z·z!
(c) z=z(on dit que l’op´eration ·est involutive)
(d) z∈Rsi, et seulement si, z=z.
Propri´et´es du module :Pour tous z, z!∈C, on a :
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