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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX-FONCTIONS
HOMOGRAPHIQUES
Table des matières
IFonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Définitions ............................................... 1
I.2 Variations et représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.1 Définition ............................................... 4
IFonction polynôme du second degré
I.1 Définitions
Définition
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction Pdéfinie sur Rde la forme
P(x)=ax2+bx +c
o˘ a,bet csont des réels appelés coefficients avec a6= 0.
Exemples : Exemples de fonctions polynômes du second degré
fonctions polynôme de degré 2 coefficients
P(x)=2x2−5x+3a=2, b= −5, c=3
P(x)= −x2+3a= −1, b=0, c=3
P(x)= −7x2+3x a = −7, b=3, c=0
Définition
Une expression de la forme f(x)=a(x−α)2+βavec a6= 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme
de degré 2.
Toute fonction polynôme de degré 2 admet une forme canonique.
On a : α= − b
2aet β=f(α)
Démonstration :
ax2+bx +c=aµx2−b
a¶+c=a·µx−b 2a¶2
−µb
2a¶2¸+c== aµx−b 2a¶2
−b2
4a+c=aµx−b 2a¶2
−b2−4ac
4a
(forme canonique).
1

On appelle discriminant l’expression : ∆=b2−4ac.
Par conséquent : ax2+bx +c=a·x−µ−b
2a¶¸2
−b2−4ac
4a=a(x−α)2+βavec 
α= − b
2a
β= −
∆
4a=f(α)
Exemples :
Exerc1ce 1 Soit P(x)=2x2−4x+5=ax2+bx +cavec a=2, b= −4 et c=5.
On a α= − b
2a= − −4 2×2=1
β=P(α)=P(1) =3
Par conséquent P(x)=a(x−α)2+β=2(x−1)2+3.
Exerc2ce 2 P(x)= −5x2+2x−7=ax2+bx +cavec a= −5, b=2 et c= −7.
α= − b
2a= − 2 2×(−5) =1 5
β=P(α)=Pµ1
5¶= −5×µ1 5¶2
+2×1
5−7= − 34 5.
On en déduit P(x)= −5µx−1
5¶2
−34
5
I.2 Variations et représentation graphique
Propriété
La fonction polynôme de degré 2 définir sur ] − ∞ ;+∞ [ est :
♦strictement décroissante sur ] − ∞ ;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[si a>0,
♦strictement croissante sur ] − ∞ ;α]puis strictement décroissante [α;+∞[si a<0,
Démonstration dans le cas a>0:Sur [α;+∞[ :
On prend deux nombres x1et x2avec αÉx1Éx2.
αÉx1Éx2⇒0Éx1−αÉx2−α⇒0É(x1−α)2É(x2−α)2(car la fonction carré est croisante sur [0 ; +∞[)
On en déduit 0 É0Éa(x1−α)2Éa(x2−α)2puis βÉa(x1−α)2+βÉa(x2−α)2β.
Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction fest croissante sur
[α+ ∞[.
Démonstration analogue sur ] − ∞ ; ´sal pha] et dans le cas oùa<0
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Tableau de variations et représentation graphique :
a>0
x−∞ − b
2a+∞
f(x)
+∞
❅❅❅❘fµ−b
2a¶
✒
+∞
x= − b
2a
O
minimum
a<0
x−∞ − b
2a+∞
f(x)
−∞
✒
fµ−b
2a¶❅❅❅❘
−∞
x= − b
2a
O
Maximum
Dans un repère ³O;−→ i;−→ j´, la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole
Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
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II Fonctions homographiques
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction homographique toute fonction de la forme x7→ ax +b
cx +doù a,b,cet dsont des réels
avec c6= 0 et ad −bc 6= 0.
Propriété
L’ensemble de définition de la fonction f:x7→ ax +b
cx +dest R\½−d c¾.
Exemple : soit f:x7→ 2x+3
7x+3.
fest bien homographique et l’ensemble de définition est R\½−3
7¾.
Définition
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole, constituée de deux
branches.
Pour la fonction f:x7→ 2x+3
7x+3, la courbe représentative est :
1
2
−1
−2
1 2−1−2
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