I. Forme canonique d`une fonction polynôme de degré 2

I. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2
canonique : du grec « canon » règle disciplinaire interne à une religion
1 - Définition
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction
f
définie sur IR par une expression de la forme
f(x)=ax ²+bx+c
où
a
,
b
et
c
sont des réels fixés et
a≠0
.
Remarque :
Une fonction polynôme de degré 2 est souvent appelée fonction trinôme
du second degré ou encore plus brièvement "trinôme", ces abus sont
largement acceptés tant qu'il n'y a pas d’ambiguïté.
Exemples :
f(x)
3x
2
7x 3
,
g(x)
1
2x
2
5x
5
3
,
h(x)
4 2x
2
,
k(x)
(x 4)(5 2x)
sont des fonctions polynômes de degré 2.
(la fonction
h
ne devrait pas être appelée trinôme, puisqu'elle est la somme de deux monômes)
m(x)
5x 3
est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine).
n(x)
5x
4
3x
3
6x 8
est une fonction polynôme de degré 4.
p(x)= 1
x−3
n'est pas une fonction polynôme, c'est une fonction homographique.
2 - Forme canonique
Exemple : Soit la fonction f définie sur ℝ par :
f(x)
2x
2
20x 10
.
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique :
f(x)
u(x - v)2 + w
où u, v et w sont des nombres réels.
f(x)
=
2x²−20 x+10
=
2(x²−10 x)+10
=
2(x²−10 x+25−25)+10
=
2((x−5)²−25)+10
=
2(x−5)²−50+10
f(x)
=
2(x−5)²−40
donc
( )
2
( ) 2 5 40f x x = - -
est la forme canonique de f.
Question : que peut-on déduire de cette forme ?
-
-
-

Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur IR par
f(x)=ax ²+bx+c
peut s'écrire sous la forme
f(x)=a(x− )2+
où  et  sont des réels.
Cette expression est appelée forme canonique du trinôme f.
démonstration : rappelons que par définition,
a≠0
pour tout nombre réel
x
,
f(x)
=
ax2+bx+c
=
a(x²+b
ax)+c
or
x²+b
ax
=
(
x+b
2a
)
2
−b2
4a2
donc pour tout nombre réel
x
,
f(x)
=
a
(
x+b
2a
)
2
−b2
4a+c
f(x)
=
a
(
x+b
2a
)
2
−b2
4a+c
car
a×b2
4a2=b2
4a
f(x)
=
a
(
x+b
2a
)
2
−b2−4ac
4a
c'est-à-dire que
f(x)=a(x− )2+
avec
b
2a
et
b
2
4ac
4a
.
pour revoir une explication détaillée : https://www.youtube.com/watch?v=AxUF1V7SzKg
3 – Conséquences graphiques
Propriété : dans un repère
(O ; I , J )
du plan, la courbe représentative de la fonction
polynôme f de degré 2 définie sur IR par
f(x)=ax ²+bx+c
est une parabole dont le
sommet S a pour abscisse
−b
2a
.
démonstration :
La forme canonique de f est :
f(x)=a(x− )2+
avec
b
2a
- si a est positif, sa courbe représentative est une parabole « tournée vers le haut »
de plus, pour tout nombre réel
x
,
a(x− )2≥0
on en déduit que pour tout nombre réel
x
,
f(x)≥+
et que la valeur minimale de
on en déduit que l'abscisse du sommet est
b
2a
.
- si a est négatif, sa courbe représentative est une parabole « tournée vers le bas »
de plus, pour tout nombre réel
x
,
a(x− )2≤0
on en déduit que pour tout nombre réel
x
,
f(x)≤
et que la valeur maximale de
f(x)
est
on en déduit que l'abscisse du sommet est
b
2a
.
Remarque : l'ordonnée du sommet est l'image de son abscisse, c'est donc
b
2
4ac
4a
mais en pratique il suffit de savoir que
=f( )
.
Exemple :
f(x)=−x2+x+1