I. Forme canonique d`une fonction polynôme de degré 2

I. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2
canonique : du grec « canon » règle disciplinaire interne à une religion
1 - Définition
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction f
définie sur IR par une expression de la forme f (x )=ax ²+bx+ c
où a , b et c sont des réels fixés et a≠0 .
Remarque :
Une fonction polynôme de degré 2 est souvent appelée fonction trinôme
du second degré ou encore plus brièvement "trinôme", ces abus sont
largement acceptés tant qu'il n'y a pas d’ambiguïté.
Exemples :
 f (x)  3x 2  7x  3, g(x) 
1 2
5
x  5x  , h(x)  4  2x 2 , k(x)  (x  4)(5  2x)
2
3
sont des fonctions polynômes de degré 2.
(la fonction h ne devrait pas être appelée trinôme, puisqu'elle est la somme de deux monômes)
 m(x)  5x  3
est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine).
 n(x)  5x 4  3x 3  6x  8
est une fonction polynôme de degré 4.
1
 p(x )= −3
n'est pas une fonction polynôme, c'est une fonction homographique.
x
2 - Forme canonique
Exemple : Soit la fonction f définie sur ℝ par : f (x)  2x 2  20x  10 .
On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique :
2
f (x)  u(x - v) + w
où u, v et w sont des nombres réels.
= 2 x ²−20 x +10
2( x ²−10 x)+10
2( x ²−10 x+25−25)+10
2(( x−5) ²−25)+10
2( x−5) ²−50+10
2
f (x ) = 2( x−5) ²−40 donc f ( x) = 2 ( x - 5 ) - 40 est la forme canonique de f.
f (x )
=
=
=
=
Question : que peut-on déduire de cette forme ?
-
Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur IR par f (x )=ax ²+bx+ c
peut s'écrire sous la forme f (x )=a( x− )2 +  où  et  sont des réels.
Cette expression est appelée forme canonique du trinôme f.
démonstration : rappelons que par définition, a≠0
pour tout nombre réel x ,
or
b
x ²+ x =
a
(
f (x )
b
= ax 2 +bx+c = a (x ²+ x)+c
a
2
b
b2
x+
− 2
2a
4a
)
2
b
b2
donc pour tout nombre réel x , f (x )
= a x+
− +c
2a
4a
2
2
2
2
b
b
a×b
b
=
− + c car
f (x ) = a x +
2a
4a
4 a2 4 a
2
b
b2 −4 ac
f (x ) = a x +
−
2a
4a
b
b2  4ac
c'est-à-dire que f (x )=a( x− )2 +  avec   
et   
.
2a
4a
(
(
(
)
)
)
pour revoir une explication détaillée : https://www.youtube.com/watch?v=AxUF1V7SzKg
3 – Conséquences graphiques
Propriété : dans un repère (O ; I , J ) du plan, la courbe représentative de la fonction
polynôme f de degré 2 définie sur IR par f (x )=ax ²+bx+ c est une parabole dont le
b
sommet S a pour abscisse −
.
2a
démonstration :
b
2a
- si a est positif, sa courbe représentative est une parabole « tournée vers le haut »
de plus, pour tout nombre réel x , a(x − )2 ≥0
on en déduit que pour tout nombre réel x , f (x )≥+
et que la valeur minimale de
b
on en déduit que l'abscisse du sommet est   
.
2a
- si a est négatif, sa courbe représentative est une parabole « tournée vers le bas »
de plus, pour tout nombre réel x , a(x − )2 ≤0
on en déduit que pour tout nombre réel x , f (x)≤ 
et que la valeur maximale de f (x ) est 
b
on en déduit que l'abscisse du sommet est   
.
2a
b2  4ac
Remarque : l'ordonnée du sommet est l'image de son abscisse, c'est donc   
4a
mais en pratique il suffit de savoir que  =f ( ) .
La forme canonique de f est : f (x )=a( x− )2 +  avec   
Exemple : f (x )=−x 2 + x +1