fonctions polynômes de degré deux

2nde ISI
2009-2010
Fonctions chapitre 4
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Table des matières
I
Définitions
1
II Variations et représentation graphique
3
III Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P
4
F
I
F
F F
F
F
Définitions
Définition 1
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme
P (x) = ax2 + bx + c
où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a 6= 0.
Exemple 1
Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas !
fonctions polynôme de degré 2
coefficients
autres fonctions
P (x) = 2x2 − 5x + 3
a = 2, b = −5, c = 3
P (x) = x3 + 2x2 − 5x + 3
P (x) = −x2 + 3
a = −1, b = 0, c = 3
P (x) = x − 5
P (x) = −7x2 + 3x
a = −7, b = 3, c = 0
f (x) = x2 − 5x +
1
x
Définition 2
Une expression de la forme a(x − α)2 + b avec a 6= 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme de degré
2.
Toute fonction polynôme admet une forme canonique.
Exemple 2
L’expression P (x) = 2(x − 1)2 + 3 est la forme canonique du polynôme P (x) = 2x2 − 4x + 5.
➔ En effet : 2(x − 1)2 + 3 = 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5 = P (x).
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II
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Fonctions chapitre 4
Variations et représentation graphique
Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.
Propriété 1
La fonction polynôme de degré 2 définir sur ] − ∞ ; +∞ [ est :
♦ strictement décroissante puis strictement croissante si a > 0,
♦ strictement croissante puis strictement décroissante si a < 0,
Tableau de variations et représentation graphique :
a<0
a>0
x
b
− 2a
−∞
+∞
+∞
f
x
b
− 2a
−∞
+∞
&
%
min
b
x = − 2a
+∞
Max
%
f
&
−∞
−∞
Maximum
b
b
minimum
b
x = − 2a
−
→ −
→
Dans un repère (O; i ; j ), la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole,
cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
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III
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Fonctions chapitre 4
Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P
• Utilisation de la forme canonique a(x − α)2 + β.
Si a > 0, alors a(x − α)2 ≥ 0
donc, a(x − α)2 + β ≥ β
Si a < 0, alors a(x − α)2 ≤ 0
donc, a(x − α)2 + β ≤ β
le minimum β est atteint lorsque a(x − α)2 = 0,
c’est-à-dire pour x = α.
le Maximum β est atteint lorsque a(x − α)2 = 0,
c’est-à-dire pour x = α.
Exemple 3
Soit P (x) = 2(x − 2)2 − 1, on obtient :
Exemple 4
1
Soit P (x) = − (x − 2)2 − 1, on obtient :
2
P est décroissante sur ] − ∞ ; 2 ],
croissante sur [ 2 + ∞ [.
P est croissante sur ] − ∞ ; 2 ],
décroissante sur [ 2 + ∞ [.
Son minimum atteint en 2 vaut −1.
Son Maximum atteint en 2 vaut −1.
2
−∞
x
+∞
+∞
2
−∞
+∞
&
f
x
%
+∞
-1
%
f
−1
&
−∞
−∞
6
−3
−2
1
−1
5
−1
4
−2
3
−3
2
−4
1
−5
2
3
4
5
b
−6
1
−1
−1
2
3
4
b
−7
−2
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Fonctions chapitre 4
• Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe.
Puisque la courbe est symétrique, si l’on trouve deux points A et B de cette courbe de même ordonnée, on
en déduit que leur milieu I est situé sur l’axe de symétrie.
L’abscisse de I est donc l’abscisse de l’extremum.
5
Exemple 5
Soit P (x) = x2 − 4x + 3 :
4
On recherche par exemple les 2 points A et B qui ont pour
abscisse y = 3.
Pour cela, on résout P (x) = 3 :
x2 − 4x + 3 = 3 ⇐⇒ x2 − 4x = 0
⇐⇒ x(x − 4) = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = 4
0+4
= 2.
L’abscisse du minimum est donc x =
2
2
L’ordonnée vaut P (2) = 2 − 4 × 2 + 3 = −1.
P est décroissante sur ] − ∞ ; 2 ],
croissante sur [ 2 + ∞ [.
3
b
A
×
b
1
2
I
×
b
3
4
B
2
1
−1
−1
b
−2
• Utilisation de x = −
b
.
2a
Exemple 6
Soit P (x) = −x2 − 2x + 3.
a = −1 est négatif et b = −2 donc, −
−2
b
=−
= −1.
2a
2 × (−1)
La fonction P est donc croissante sur ] − ∞ ; −1 ] et décroissante sur [−1 + ∞ [.
Son maximum est atteint pour x − 1 et vaut P (−1) = 4.
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