fonctions polynômes de degré deux

2ndeISI Fonctions chapitre 4 2009-2010
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Table des matières
I Définitions 1
II Variations et représentation graphique 3
IIIMéthodes pratiques pour déterminer les variations de P4
FFFFFF
I Définitions
Définition 1
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction Pdéfinie sur Rde la forme
P(x) = ax2+bx +c
où a,bet csont des réels appelés coefficients avec a6= 0.
Exemple 1
Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas !
fonctions polynôme de degré 2coefficients autres fonctions
P(x) = 2x2−5x+ 3 a= 2,b=−5,c= 3 P(x) = x3+ 2x2−5x+ 3
P(x) = −x2+ 3 a=−1,b= 0,c= 3 P(x) = x−5
P(x) = −7x2+ 3x a =−7,b= 3,c= 0 f(x) = x2−5x+1
x
Définition 2
Une expression de la forme a(x−α)2+bavec a6= 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme de degré
2.
Toute fonction polynôme admet une forme canonique.
Exemple 2
L’expression P(x) = 2(x−1)2+ 3 est la forme canonique du polynôme P(x) = 2x2−4x+ 5.
➔En effet : 2(x−1)2+ 3 = 2(x2−2x+ 1) + 3
= 2x2−4x+ 5 = P(x).
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II Variations et représentation graphique
Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.
Propriété 1
La fonction polynôme de degré 2 définir sur ] − ∞ ; +∞[ est :
♦strictement décroissante puis strictement croissante si a > 0,
♦strictement croissante puis strictement décroissante si a < 0,
Tableau de variations et représentation graphique :
a > 0
x−∞ −b
2a+∞
+∞+∞
f& %
min
x=−b
2a
minimum
a < 0
x−∞ −b
2a+∞
Max
f% &
−∞ −∞
x=−b
2a
Maximum
Dans un repère (O;−→ i;−→ j), la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole,
cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
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III Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P
•Utilisation de la forme canonique a(x−α)2+β.
Si a > 0, alors a(x−α)2≥0
donc, a(x−α)2+β≥β
le minimum βest atteint lorsque a(x−α)2= 0,
c’est-à-dire pour x=α.
Exemple 3
Soit P(x) = 2(x−2)2−1, on obtient :
Pest décroissante sur ]− ∞ ; 2 ],
croissante sur [ 2 + ∞[.
Son minimum atteint en 2vaut −1.
x−∞ 2 +∞
+∞+∞
f& %
−1
1 2 3 4−1
1
2
3
4
5
6
−1
−2
Si a < 0, alors a(x−α)2≤0
donc, a(x−α)2+β≤β
le Maximum βest atteint lorsque a(x−α)2= 0,
c’est-à-dire pour x=α.
Exemple 4
Soit P(x) = −1
2(x−2)2−1, on obtient :
Pest croissante sur ]− ∞ ; 2 ],
décroissante sur [ 2 + ∞[.
Son Maximum atteint en 2vaut −1.
x−∞ 2 +∞
-1
f% &
−∞ −∞
12345−1−2−3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
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•Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe.
Puisque la courbe est symétrique, si l’on trouve deux points Aet Bde cette courbe de même ordonnée, on
en déduit que leur milieu Iest situé sur l’axe de symétrie.
L’abscisse de Iest donc l’abscisse de l’extremum.
Exemple 5
Soit P(x) = x2−4x+ 3 :
On recherche par exemple les 2points Aet Bqui ont pour
abscisse y= 3.
Pour cela, on résout P(x) = 3 :
x2−4x+ 3 = 3 ⇐⇒ x2−4x= 0
⇐⇒ x(x−4) = 0
⇐⇒ x= 0 ou x= 4
L’abscisse du minimum est donc x=0 + 4
2= 2.
L’ordonnée vaut P(2) = 22−4×2 + 3 = −1.
Pest décroissante sur ]− ∞ ; 2 ],
croissante sur [ 2 + ∞[.
1234−1
1
2
3
4
5
−1
−2
× ×
IA B
•Utilisation de x=−b
2a.
Exemple 6
Soit P(x) = −x2−2x+ 3.
a=−1est négatif et b=−2donc, −b
2a=−−2 2×(−1) =−1.
La fonction Pest donc croissante sur ]− ∞ ;−1 ] et décroissante sur [−1 + ∞[.
Son maximum est atteint pour x−1et vaut P(−1) = 4.
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