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Samedi 22 Mars 2014
Durée : 4 heures
MATHÉMATIQUES
DEVOIR SURVEILLÉ N˚10
Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.
L’usage de calculatrices est autorisé mais
ne peut servir pour justifier vos calculs.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En
particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
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Mathématiques
PCSI 2013-2014
Lycée de L’essouriau
PROBLÈME 1 - Un calcul d’intégrale
Z
1
L’objectif de ce problème est le calcul de l’intégrale I =
0
t−1
dt.
ln t
t−1
La fonction f : t 7→
définie sur ]0, 1[ se prolonge par continuité en 0 et en 1, l’intégrale est bien définie.
ln t
Dans une première partie nous nous intéressons à la détermination d’une limite que nous utiliserons dans la
seconde partie pour calculer la valeur exacte de I.
Partie I - Une intégrale auxiliaire
1
1
−
.
ln t t ln t
1. Montrer que g est continue sur ]0, 1[ et que g se prolonge par continuité en 1 ; on note toujours g la
fonction ainsi prolongée (précisez bien la valeur de g(1)).
Soit g la fonction définie pour tout t ∈]0, 1[ par g(t) =
2. Soit G une primitive de g sur ]0, 1].
x2
Z
(a) Exprimer pour tout x ∈]0, 1[ la quantité
g(t) dt à l’aide de la fonction G.
x
Z
(b) En déduire lim
x→1 x
x2
g(t) dt.
x2
Z
3. Calculer pour tout x ∈]0, 1[, l’intégrale
x
Z
4. Pour tout x ∈]0, 1[, on pose H(x) =
x
x2
1
dt.
t ln t
1
dt. Déterminer la limite lim H(x).
x→1
ln t
Partie II - Calcul de I
Soit F la primitive de la fonction f sur [0, 1] qui s’annule en 0.
5. Montrer que H est dérivable sur ]0, 1[ puis calculer H 0 (x).
6. Montrer que H peut être prolongée par continuité en 0 en posant H(0) = 0.
7. Démontrer pour tout x ∈ [0, 1[, l’égalité H(x) = F (x).
8. En déduire une valeur exacte de I.
EXERCICE 1 - Une inégalité complexe
On souhaite établir l’inégalité suivante :
∀z ∈ U, −1 6 3|z − 1| − |z 2 − z + 1| 6
13
(?).
4
Soit z ∈ U, un nombre complexe de module 1. On pose x = |z − 1|.
1. A l’aide de l’inégalité triangulaire, majorer simplement |z − 1| et |z 2 − z + 1|.
De ces résultats, en déduire un encadrement de 3|z − 1| − |z 2 − z + 1|. Conclusion ?
2. Exprimer |z 2 − z + 1|2 en fonction de Re(z) et Re(z 2 ).
3. Exprimer Re(z 2 ) en fonction de Re(z), et Re(z) en fonction de x.
4. En déduire : 3|z − 1| − |z 2 − z + 1| = 3x − |x2 − 1|.
5. On considère la fonction f : R → R définie par f (x) = 3x − |x2 − 1|.
Étudier ses variations et dresser son tableau de variation.
6. Lorsque z décrit U, quel intervalle le réel x décrit-il ?
7. Démontrer l’inégalité souhaitée.
2
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PCSI 2013-2014
Lycée de L’essouriau
EXERCICE 2 - Le commutant d’une matrice
Soit A =
−8 9
−4 4
3 1
0 1
1 0
,P =
,N=
et I =
(matrice identité de M2 (R)).
2 1
0 0
0 1
1. Montrer que P est inversible, et préciser P −1 .
2. (a) Vérifier que T = P −1 AP et une matrice triangulaire.
(b) Démontrer que, pour tout n ∈ N, T n = P −1 An P .
(c) Calculer N 2 , en déduire une expression de T n pour n ∈ N.
(d) En déduire celle de An .
3. Si B ∈ M2 (R), on note C(B) = {M ∈ M2 (R) | BM = M B} (le commutant de la matrice B).
(a) Montrer que C(A) est un sous-espace vectoriel de M2 (R).
(b) Montrer que C(A) est stable par produit matriciel : ∀(M, M 0 ) ∈ C(A)2 alors M M 0 ∈ C(A).
(c) Montrer l’égalité des sous-espaces vectoriels C(T ) = C(N ).
(d)
i. Décrire les matrices appartenant à C(N ).
ii. Écrire C(N ) sous la forme Vect(R, S) où R et S sont deux matrices (constantes) à préciser.
iii. En déduire une base de C(N ).
(e) Prouver que M ∈ C(A) ⇔ P −1 M P ∈ C(T ).
(f) Déterminer une base de matrices du sous-espace vectoriel C(A).
(g) Montrer que (I, A) est également une base de C(A).
EXERCICE 3 - Calculs d’intégrales
Les trois questions sont indépendantes.
Z
1. Après avoir exécuté le changement de variable u = cos(t), calculer I =
0
π
4
tan t
dt.
1 + cos t
x2
2. (a) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur R par g(x) =
.
1 + x2
Z x √
√
t
(b) Étant donné x > 0, calculer l’intégrale J =
dt via le changement de variable u = t.
1 1+t
Z
3. Pour n ∈ N, on pose In =
e
(ln x)n dx.
1
(a) Calculer I0 et I1 .
(b) Montrer que la suite (In ) est positive et décroissante.
(c) Établir une relation liant In et In+1 .
(d) En déduire que ∀n ∈ N, 0 < In <
e
n+1 .
(e) Déterminer la limite puis un équivalent simple de la suite (In ).
3
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PCSI 2013-2014
Lycée de L’essouriau
EXERCICE 4 - Espaces vectoriels..
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A - ... de vecteurs
Dans R3 , on considère les trois vecteurs u = (0, −1, 2), v = (1, −2, 3) et w = (1, −1, 1).
On note F = Vect(u, v, w) et G = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}.
1. Montrer que w ∈ Vect(u, v).
2. (u, v, w) est-elle une base de R3 ?
3. Montrer que F = Vect(u, v).
4. Déterminer une base de F .
5. Déterminer F ∩ G.
6. Soit a = (−1, 0, 1).
Montrer que a ∈ F , puis déterminer ses coordonnées dans la base déterminée dans la question 4. .
7. Soit b = (1, 0, 0).
(a) Montrer que b ∈
/ F.
(b) Montrer que (u, v, b) est une base de R3 .
(c) Montrer que F et Vect(b) sont supplémentaires dans R3 .
Partie B - de fonctions...
On note E l’ensemble des fonctions f définies sur R de sorte qu’il existe (α, β, γ) ∈ R3 tel que :
∀x ∈ R, f (x) = α sin(x) + β sin(2x) + γ sin(3x)
On note, pour tout k ∈ {1, 2, 3}, fk l’application définie sur R par fk (x) = sin(kx).
1. Montrer que (f1 , f2 , f3 ) est libre.
2. Montrer que E est un espace vectoriel.
3. Déterminer une base de E.
4. Soit g la fonction définie sur R par g(x) = sin3 (x).
Montrer que g ∈ E, et déterminer ses coordonnées dans la base déterminée dans la question précédente.
5. La fonction cos appartient-elle à E ?
4