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Samedi 22 Mars 2014
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N˚10
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une part
vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la
composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrices est autoris´e mais
ne peut servir pour justifier vos calculs.
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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PCSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
PROBL` EME 1 - Un calcul d’int´egrale
L’objectif de ce probl`eme est le calcul de l’int´egrale I=Z1
0
t−1
ln tdt.
La fonction f:t7→ t−1
ln td´efinie sur ]0,1[ se prolonge par continuit´e en 0 et en 1, l’int´egrale est bien d´efinie.
Dans une premi`ere partie nous nous int´eressons `a la d´etermination d’une limite que nous utiliserons dans la
seconde partie pour calculer la valeur exacte de I.
Partie I - Une int´egrale auxiliaire
Soit gla fonction d´efinie pour tout t∈]0,1[ par g(t) = 1
ln t−1 tln t.
1. Montrer que gest continue sur ]0,1[ et que gse prolonge par continuit´e en 1 ; on note toujours gla
fonction ainsi prolong´ee (pr´ecisez bien la valeur de g(1)).
2. Soit Gune primitive de gsur ]0,1].
(a) Exprimer pour tout x∈]0,1[ la quantit´e Zx2
x
g(t) dt`a l’aide de la fonction G.
(b) En d´eduire lim
x→1Zx2
x
g(t) dt.
3. Calculer pour tout x∈]0,1[, l’int´egrale Zx2
x
1
tln tdt.
4. Pour tout x∈]0,1[, on pose H(x) = Zx2
x
1
ln tdt. D´eterminer la limite lim
x→1H(x).
Partie II - Calcul de I
Soit Fla primitive de la fonction fsur [0,1] qui s’annule en 0.
5. Montrer que Hest d´erivable sur ]0,1[ puis calculer H0(x).
6. Montrer que Hpeut ˆetre prolong´ee par continuit´e en 0 en posant H(0) = 0.
7. D´emontrer pour tout x∈[0,1[, l’´egalit´e H(x) = F(x).
8. En d´eduire une valeur exacte de I.
EXERCICE 1 - Une in´egalit´e complexe
On souhaite ´etablir l’in´egalit´e suivante : ∀z∈U,−163|z−1|−|z2−z+ 1|613
4(?).
Soit z∈U, un nombre complexe de module 1. On pose x=|z−1|.
1. A l’aide de l’in´egalit´e triangulaire, majorer simplement |z−1|et |z2−z+ 1|.
De ces r´esultats, en d´eduire un encadrement de 3|z−1|−|z2−z+ 1|. Conclusion ?
2. Exprimer |z2−z+ 1|2en fonction de Re(z) et Re(z2).
3. Exprimer Re(z2) en fonction de Re(z), et Re(z) en fonction de x.
4. En d´eduire : 3|z−1|−|z2−z+ 1|= 3x− |x2−1|.
5. On consid`ere la fonction f:R→Rd´efinie par f(x)=3x− |x2−1|.
´
Etudier ses variations et dresser son tableau de variation.
6. Lorsque zd´ecrit U, quel intervalle le r´eel xd´ecrit-il ?
7. D´emontrer l’in´egalit´e souhait´ee.
2

PCSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
EXERCICE 2 - Le commutant d’une matrice
Soit A=−8 9
−4 4 ,P=3 1 2 1 ,N=0 1 0 0 et I=1 0 0 1 (matrice identit´e de M2(R)).
1. Montrer que Pest inversible, et pr´eciser P−1.
2. (a) V´erifier que T=P−1AP et une matrice triangulaire.
(b) D´emontrer que, pour tout n∈N,Tn=P−1AnP.
(c) Calculer N2, en d´eduire une expression de Tnpour n∈N.
(d) En d´eduire celle de An.
3. Si B∈ M2(R), on note C(B) = {M∈ M2(R)|BM =M B}(le commutant de la matrice B).
(a) Montrer que C(A) est un sous-espace vectoriel de M2(R).
(b) Montrer que C(A) est stable par produit matriciel :∀(M, M0)∈ C(A)2alors MM0∈ C(A).
(c) Montrer l’´egalit´e des sous-espaces vectoriels C(T) = C(N).
(d) i. D´ecrire les matrices appartenant `a C(N).
ii. ´ Ecrire C(N) sous la forme Vect(R, S) o`u Ret Ssont deux matrices (constantes) `a pr´eciser.
iii. En d´eduire une base de C(N).
(e) Prouver que M∈ C(A)⇔P−1MP ∈ C(T).
(f) D´eterminer une base de matrices du sous-espace vectoriel C(A).
(g) Montrer que (I, A) est ´egalement une base de C(A).
EXERCICE 3 - Calculs d’int´egrales
Les trois questions sont ind´ependantes.
1. Apr`es avoir ex´ecut´e le changement de variable u= cos(t), calculer I=Zπ
4
0
tan t
1 + cos tdt.
2. (a) D´eterminer une primitive de la fonction gd´efinie sur Rpar g(x) = x2
1 + x2.
(b) ´ Etant donn´e x > 0, calculer l’int´egrale J=Zx
1
√t
1 + tdtvia le changement de variable u=√t.
3. Pour n∈N, on pose In=Ze
1
(ln x)ndx.
(a) Calculer I0et I1.
(b) Montrer que la suite (In) est positive et d´ecroissante.
(c) ´ Etablir une relation liant Inet In+1.
(d) En d´eduire que ∀n∈N,0< In<e
n+1 .
(e) D´eterminer la limite puis un ´equivalent simple de la suite (In).
3

PCSI 2013-2014 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
EXERCICE 4 - Espaces vectoriels..
Les deux parties sont ind´ependantes.
Partie A - ... de vecteurs
Dans R3, on consid`ere les trois vecteurs u= (0,−1,2), v= (1,−2,3) et w= (1,−1,1).
On note F= Vect(u, v, w) et G={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0}.
1. Montrer que w∈Vect(u, v).
2. (u, v, w) est-elle une base de R3?
3. Montrer que F= Vect(u, v).
4. D´eterminer une base de F.
5. D´eterminer F∩G.
6. Soit a= (−1,0,1).
Montrer que a∈F, puis d´eterminer ses coordonn´ees dans la base d´etermin´ee dans la question 4. .
7. Soit b= (1,0,0).
(a) Montrer que b /∈F.
(b) Montrer que (u, v, b) est une base de R3.
(c) Montrer que Fet Vect(b) sont suppl´ementaires dans R3.
Partie B - de fonctions...
On note El’ensemble des fonctions fd´efinies sur Rde sorte qu’il existe (α, β, γ)∈R3tel que :
∀x∈R, f(x) = αsin(x) + βsin(2x) + γsin(3x)
On note, pour tout k∈ {1,2,3},fkl’application d´efinie sur Rpar fk(x) = sin(kx).
1. Montrer que (f1, f2, f3) est libre.
2. Montrer que Eest un espace vectoriel.
3. D´eterminer une base de E.
4. Soit gla fonction d´efinie sur Rpar g(x) = sin3(x).
Montrer que g∈E, et d´eterminer ses coordonn´ees dans la base d´etermin´ee dans la question pr´ec´edente.
5. La fonction cos appartient-elle `a E?
4