Arithmétique I

IUT de Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009
Informatique 1◦ann´ee TD de math´ematiques n◦8.
TD n◦8. Arithm´etique III.
Exercice 1 D´ecomposer les nombres suivants en facteurs premiers :
111,137,1025,5678.
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Exercice 2 1. Montrer que pour tout x∈Z, on a
x3−x≡0 [3].
2. Montrer que pour tout n∈N, le nombre N= (3n+3 −44n+2) est divisible par 11. (On pourra calculer N
modulo 11.)
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Exercice 3 1. (a) D´eterminer n∈N∗tel que 2n≡1 [7].
(b) En d´eduire que pour tout m∈Ntel que n|m, on a 2m≡1 [7].
(c) D´eterminer le reste de la division euclidienne de 247 par 7.
(d) D´eterminer le reste de la division euclidienne de 247349 par 7.
2. D´eterminer le reste de la division euclidienne de 19871987 par 13.
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Exercice 4 Soient a, b, c ∈Zet m, n ∈N, m, n > 2. Montrer les propri´et´es suivantes.
1. Si a.c ≡b.c [m.c], alors a≡b[m]. (On suppose ici que c > 0.)
2. Si a.c ≡b.c [m] et pgcd(c, m) = 1, alors a≡b[m]. Trouver a, b, c, m tels que a.c ≡b.c [m] et a6≡ b[m].
3. Si m|net a≡b[n], alors a≡b[m].
4. Si a≡b[m] et a≡b[n] avec pgcd(m, n) = 1, alors a≡b[mn]. Trouver un contre exemple dans le cas o`u
pgcd(m, n)6= 1.
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Exercice 5 1. (a) Montrer que 43 et 16 sont premiers entre eux.
(b) D´eterminer u, v ∈Ztels que 43.u + 16.v = 1.
(c) En d´eduire u∈Ztel que 43.u ≡1 [16].
2. Mˆemes questions avec 3450 et 331.
3. (a) Montrer que si pest un nombre premier, alors pour tout n∈N∗, il existe n′∈N∗tel que
n.n′≡1 [p]
(b) V´erifier pour p= 3,5,7.
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Exercice 6 Soit nun entier, et n= (nrnr−1. . . n1n0)10 son ´ecriture en base 10.
1. (a) ´ Ecrire ncomme une somme de puissances de 10.
(b) En d´eduire que n≡n0[2].
(c) En d´eduire un test simple pour v´erifier si un nombre ´ecrit en base 10 est divisible par 2.
2. Retrouver les tests de divisibilit´e par 5, par 3, par 11.