Qu’est-ce qu’une intégrale impropre et comment la calculer? Une intégrale impropre ment, Rb a f est une intégrale définie qu’on ne peut pas calculer directe- • soit parce qu’au moins une des bornes a et/ou b est l’infini; • soit parce que la fonction f qu’on veut intégrer faut l’infini en un point de l’intervalle [a, b]. Exemples: (i) R∞ (ii) R2 (iii) Ra ex dx ⇒ on calcule lim 1 ex dx, càd qu’on résoud d’abord l’intégrale entre 1 a→∞ et a, puis on calcule la limite du résultat. 1 3 1 x−1 dx R1 3 0 x−1 dx R4 3 dx 1 x−2 R2 3 a x−1 dx Ra 3 lim− 0 x−1 dx a→1 ⇒ on calcule lim a→1+ ⇒ on calcule ⇒ ici, on doit séparer l’intégrale en deux parties: Z 2 Z 4 3 3 3 dx = dx + dx 1 x−2 2 x−2 1 x−2 Z a Z 4 3 3 = lim− dx + lim+ dx a→2 b→2 1 x−2 b x−2 Z 4 et on calcule chaque terme séparément. Si l’on trouve des nombres finis, on a le résultat et l’intégrale de départ converge. Si l’un des termes vaut l’infini, alors l’intégrale de départ vaut aussi l’infini et donc diverge. c G. Heilporn, 2011 1