Qu`est-ce qu`une intégrale impropre et comment la calculer? ∫ 2 lim

Qu’est-ce qu’une int´ egrale impropre et comment la calculer?
Une int´egrale impropre Rb
afest une int´egrale d´efinie qu’on ne peut pas calculer directe-
ment,
•soit parce qu’au moins une des bornes aet/ou best l’infini;
•soit parce que la fonction fqu’on veut int´egrer faut l’infini en un point de l’intervalle
[a, b].
Exemples:
(i) R∞
1exdx ⇒on calcule lim
a→∞ Ra
1exdx, c`ad qu’on r´esoud d’abord l’int´egrale entre 1
et a, puis on calcule la limite du r´esultat.
(ii) R2
1
3
x−1dx ⇒on calcule lim
a→1+R2
a
3
x−1dx
R1
0
3
x−1dx ⇒on calcule lim
a→1−Ra
0
3
x−1dx
(iii) R4
1
3
x−2dx ⇒ici, on doit s´eparer l’int´egrale en deux parties:
Z4
1
3
x−2dx =Z2
1
3
x−2dx +Z4
2
3
x−2dx
= lim
a→2−Za
1
3
x−2dx + lim
b→2+Z4
b
3
x−2dx
et on calcule chaque terme s´epar´ement.
Si l’on trouve des nombres finis, on a le r´esultat et l’int´egrale de d´epart converge. Si l’un
des termes vaut l’infini, alors l’int´egrale de d´epart vaut aussi l’infini et donc diverge.
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G. Heilporn, 2011 1