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Samedi 5 Avril 2013
Dur´ee : 4 heures
MATH´ EMATIQUES
DEVOIR SURVEILL´ E N˚10
Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez rep`ere ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, d’une
part vous le signalez au surveillant, d’autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez
la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez ´et´e amen´e `a prendre.
L’usage de calculatrices est autoris´e.
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´eci-
sion des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En
particulier, les r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
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PCSI 2011-2012 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
Exercice 1. Questions de cours
1. (a) ´ Enoncer pr´ecis´ement l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.
(b) Donner une primitive des fonctions suivantes : f:x7→ 1
a2+x2et g:x7→ 1
√1−x2.
2. Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie.
(a) Rappeler la dimension de l’espace vectoriel produit E×F.
(b) Donner deux mani`eres diff´erentes de montrer qu’une famille libre est une base de E.
(c) Soient Get Hdeux s.e.v. de E. Donner deux fa¸cons de montrer que G=H.
(d) Qu’appelle-t-on le rang d’une famille de vecteurs de E.
(e) Soient Get Hdeux s.e.v. de E. Rappeler la formule donnant dim(F+G).
(f) Soit fune endomorphisme de E. Donner 4 propri´et´es ´equivalentes `a «fest bijective ».
(g) ´ Enoncer pr´ecis´ement le th´eor`eme du rang.
Exercice 2. Calculs d’int´egrales
1. A l’aide d’une double int´egration par partie, calculer Zeπ
1
sin(ln t) dt.
2. Calculer Z2
0
1
√x+ 1(x+ 4) dxvia le changement de variable u=√x+ 1.
3. D´eterminer la limite de la suite (Sn)n>1d´efinie par Sn=
n
X
k=1
k
nk +n2.
Exercice 3. Espaces vectoriels
Soit E=R4. On consid`ere les deux sous-espaces vectoriels et Gd´efinis par :
F=
x
y
z
t
∈R4; 2x−y−z= 0
et G=
a+b
a+b
b+c
2a+b
; (a, b, c)∈R3 .
On note aussi fl’endomorphisme de R4d´efinie par f
x
y
z
t
=
x−y+ 2t
2y−2t
−2y+z+ 4t
y−t
.
1. D´eterminer une base de Fet pr´eciser dim F.
2. D´eterminer une base de Get pr´eciser dim G.
3. Montrer que F+G=R4.
4. En d´eduire dim (F∩G) puis une base de F∩G.
5. D´eterminer une base de ker fpuis de Im f.
6. Montrer que ker fet Im fsont suppl´ementaires.
7. Pr´eciser sans aucun calcul l’ensemble des vecteurs invariants par f.
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PCSI 2011-2012 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
PROBL` EME 1 : Un endomorphisme de Rn[X]
Dans tout ce probl`eme, nd´esigne un entier non nul, aet bsont deux nombres r´eels. La notation Rn[X]
d´esigne le R-espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients dans Ret ayant un degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
Pour tout P∈Rn[X], on pose :
ϕn(P)=(X−a)(X−b)P0−nX−a+b
2P
Questions pr´eliminaires
1. Rappeler la dimension de Rn[X] puis donner une base de cet espace.
2. V´erifier que deg(ϕn(P)) 6n.
3. Montrer que ϕnest un endomorphisme de Rn[X].
Partie A - ´ Etude de ϕ1
Dans cette partie on suppose que n= 1.
4. On suppose dans cette question que a=b= 0.
Exprimer l’image de ϕ1d’un polynˆome P=αX +βpuis d´eterminer Ker ϕ1et Im ϕ1.
5. Retour au cas g´en´eral a∈Ret b∈R.
(a) D´eterminer ϕ1(1) et ϕ1(X).
(b) Justifier que ϕ1est un automorphisme de R1[X] et et seulement si ϕ1(1) et ϕ1(X) ne sont pas
colin´eaires.
(c) En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante sur aet bpour que ϕ1soit un automorphisme
de R1[X].
Partie B - ´ Etude du noyau de ϕn
D´esormais n∈N∗. L’objet de cette partie est l’´etude du noyau de ϕn; nous commen¸cons par un peu
d’analyse.
6. On pose α= max(a, b) et on consid`ere l’intervalle I=]α, +∞[.
(a) D´emontrer que la fonction f:x7→ 2x−(a+b)
x2−(a+b)x+ab est continue sur I.
(b) D´eterminer une primitive Fde la fonction fsur I.
(c) R´esoudre sur Il’´equation diff´erentielle (E) :
y0−
nx −na+b
2
(x−a)(x−b)y= 0.
7. On suppose que nest pair et on ´ecrit n= 2pavec p∈N. D´eduire de la question 6.(c) une base de
Ker(ϕ2p). Donner sa dimension.
8. On suppose maintenant que nest impair et on ´ecrit n= 2p+ 1 avec p∈N. D´eduire de la question
6.(c) une base de Ker(ϕ2p+1). (On pourra discuter suivant les valeurs de aet b).
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PCSI 2011-2012 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
PROBL` EME 2 : L’int´egrale de Gauss
L’objet de ce probl`eme est le calcul de l’int´egrale de Gauss :
Z+∞
0
e−t2dt= lim
x→+∞Zx
0
e−t2dt.
Partie A - La primitive de x7→ e−x2
1. ´ Etudier la fonction f:t7→ e−t2.
Tracer l’allure de sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
2. Justifier que fadmet des primitives sur R.
On note Fla primitive de fqui s’annule en 0. Recopier et compl´eter l’expression ci-dessous pour
qu’elle devienne juste :
F(x) = Ze−t2dt
3. ´ Etablir le tableau de variation de F.
4. On se propose de montrer que Fest born´ee sur R.
(a) Justifier l’in´egalit´e pour tout u>1, e−u61
u.
(b) En d´eduire l’in´egalit´e pour tout x>1 : F(x)−F(1) 61−1
x.
(c) Conclure.
5. Justifier que Fadmet une limite finie lorsque xtend vers +∞.
Dans la suite du probl`eme on note d´esormais L=lim
x→+∞F(x).
Partie B - Int´egrales de Wallis
Pour tout entier naturel n>0, on pose Jn=Zπ/2
0
sinn(t) dt.
6. Calculer J0,J1et J2.
7. Montrer `a l’aide d’un changement de variable que Jn=Zπ/2
0
cosn(t) dt.
8. Montrer que (Jn)n>0est une suite positive et d´ecroissante. Que peut-on en conclure sur la nature de
la suite (Jn)n>0?
9. Dans cette question on d´etermine une relation de r´ecurrence v´erifi´ee par les termes de (Jn)n>0.
(a) Montrer que pour tout entier n>2,
Jn=Jn−2−Zπ/2
0
sinn−2(t) cos2(t) dt.
(b) A l’aide d’une int´egration par partie, montrer que pour tout n>2 :
Zπ/2
0
sinn−2(t) cos2(t) dt=Jn
n−1
(c) En d´eduire que pour tout entier n>2, une expression de Jn`a l’aide de net Jn−2.
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PCSI 2011-2012 Math´ematiques Lyc´ee de L’essouriau
10. Dans cette question on d´etermine un ´equivalent simple pour (Jn)n>0.
(a) ´ Etablir par r´ecurrence que pour tout n>1 :
nJnJn−1=π
2(?).
(b) Montrer en utilisant le sens de variation de (Jn)n>0et la relation (?) que pour tout n>1, on a
les in´egalit´es : π
2−J2
n6nJ2 n6π
2.
(c) A l’aide de la relation (?) justifier que (Jn)n>0converge vers 0. Montrer que :
Jn∼
+∞rπ
2n.
Partie C - Int´egrale de Gauss
Dans cette derni`ere partie on calcule une valeur exacte de L`a l’aide de l’´equivalent (?) obtenu dans la
partie pr´ec´edente. On proc`ede par double in´egalit´e.
11. Montrer pour tout u∈R, l’in´egalit´e e−u>1−u.
12. Minoration de L.
(a) D´emontrer `a l’aide de l’in´egalit´e obtenue au 11. que pour tout n>1 :
F(√n)>Z√n
01−t2
nn
dt
(b) Montrer `a l’aide du changement de variable t=√ncos uque :
Z√n
01−t2
nn
dt=√nJ2n+1
(c) En d´eduire l’in´egalit´e : √π
26L.
13. Majoration de L.
(a) Toujours avec l’in´egalit´e obtenue au 11. montrer que pour tout n>1 et tout A>√nl’in´egalit´e :
F(√n)6ZA
01 + t2
n−n
dt
(b) A l’aide du changement de variable t=√ntan u, calculer Z√n
01 + t2
n−n
dtpuis montrer que
pour tout entier n>1 :
lim
A→+∞ZA
01 + t2
n−n
dt=√nJ2n−2
(c) Montrer l’in´egalit´e : L6√π
2.
14. Conclure sur la valeur exacte de l’int´egrale de Gauss.
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