Licence de Mathématiques. Topologie 1993

Universit´e de Rouen
Facult´e des Sciences
Licence de Math´ematiques. Topologie 1993-1994
Contrˆole du Devoir No2
Aucun document n’est autoris´e.
Exercice 1 :
Soit Eun espace localement compact et Ωnn∈Nune suite d’ouverts denses dans E.
a) Montrer que si O0est un ouvert non vide, on peut construire une suite Onn∈N∗d’ouverts non vides
relativement compacts telle que ∀n∈NOn+1 ⊂On∩Ωn.
b) Montrer que \
n∈N
On6=∅. En d´eduire que \
n∈N
Ωnest dense dans E.
c) Montrer que si Eest r´eunion d´enombrable de ferm´es, alors un au moins de ces ferm´es est d’int´erieur
non vide.
Exercice 2 : Soient Eun espace vectoriel norm´e, Aune partie compacte et Bune partie ferm´ee de E. Montrer
que :
•A+Best ferm´e dans E.
•si de plus Best compacte, alors A+Best compacte.
Exercice 3 : Soient Eun espace topologique, Fun espace topologique s´epar´e et f,gdeux applications continues
de Edans F. Montrer que : x∈E/f(x) = g(x)est un ferm´e de E.
Exercice 4 :
Soit Eun espace m´etrique compact. Soit fune application de Edans Ev´erifiant :
∀x, y ∈E df(x), f(y)≥d(x, y)
a) Soit x, y ∈E. Montrer que :
∀ε > 0∃k∈N∗tel que dx, fk(x)≤ε
dy, fk(y)≤ε
b) En d´eduire que f(E) est dense dans Eet que ∀x, y ∈E df(x), f(y)=d(x, y).
c) Montrer que fest une isom´etrie de Esur E.
d) En d´eduire que tout sous espace de Eisom´etrique `a Eest identique `a E.