Th. Hangan FORMULES DE TRIGONOMETRIE SUR LA VARIÉTÉ

Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino
Voi. 50, 4 (1992)
Differential Geometry
Th. Hangan
FORMULES DE TRIGONOMETRIE
SUR LA VARIÉTÉ DE GRASSMANN
Abstract. Three types of trigonometrie laws for geodesie triangles in real
grassmannians are deduced. Then, it is shown that one can get from these the
laws of the trigonometry of rank 1 symmetric space».
Introduction
A l'origine de cette note se trouve l'article [8] de Wu-Yi Hsiang qui
comprend une étude de la trigonometrie des espaces riemanniens symétriques
de rang 1 et propose l'étude de la trigonometrie (ensemble des propriétés
métriques des triplets de points) des espaces homogènes riemanniens.
Pour les espaces projectifs complexes, de telles études avaient été déjà
entreprises par J.L.Coolidge (1921), W.Blaschke, & H. Terheggen (1939), B.A.
Rozenfeld et P.A. Schirokov (1957). Ces auteurs ont établi des lois des sinus
et des lois des cosinus analogues aux lois de la trigonometrie spherique et
hyperbolique pour le triangle géodésique. A U. Brehm (1990) on doit une
étude directe et détaillée [3], de la trigonometrie des espaces symétriques de
rang 1; il s'avere que tout triplet d'un tei espace est détérminé à isométrie près
par les longueurs a,b,c (supposées inférieures à 7r/2) des arcs géodésiques les
plus courts qui relient deux à deux les points du triplet et par la connaissance
d'un quatrième invariant du triplet, note cr, contraint à satisfaire à deux
inégalités exprimées en termes des longueurs des còtés a^b^c.
Comme l'a montré W.Y.Hsiang, la trigonometrie de ces espaces
(symétriques de rang 1) est gouvernée par deux lois des sinus et une loi de

368
cosinus qui fournissent 5 équations reliant entre eux les 9. invariants métriques
du triplet géodésique (deux invariants angulaires pour chaque sommet et les
trois longueurs des cótés); par triplet géodésique, on entend le système forme
par un triplet de points complète avec des arcs de géodésique minimisants qui
unissent deux à deux les paires du triplet.
Récemment sont apparus deux travaux dans la mème direction: la
thèse de H. Aslaksen [1], dédiée à la triogonométrie de l'espace riemannien
symétrique SU(3) (dont le rang est 2) et les notes aux CRAS de Paris, de
E. Leuzinger (1991) [10], [11] qui établissent des lois des sinus pour tous les
espaces riemanniens symétriques de type non-compact; cette dernière étude
fait appel à la théorie generale des espaces symétriques comme on la trouve
dans les livres de S. Helgason, chap. VI, et 0. Loos, voi. IL
Le but de cette note est de montrer que des formules des cosinus et
des sinus peuvent ètre encore établies par voie élémentaire pour la variété
de Grassmann réelle, munie de sa structure naturelle d'espace symétrique
compact. Les lois de la trigonometrie des espaces projectis complexes seront
ensuite déduites par particularisation, vu que toute droite complexe de Cw+1
(point de CPn) s'identifle à un espace vectoriel réel de dimension 2 dans i22n+2.
Le pian de l'exposé est le suivant:
§ 1. Rappel des lois de la trigonometrie des espaces projectis complexes.
§ 2. Une interprétation riemannienne de l'invariant a de Brehm, suivie d'une
application pour les quadruplets réguliers.
§ 3. Invariants métriques des paires de plans dans l'espace euclidien.
§ 4. Lois de trigonometrie pour la variété de Grassmann Gp(Rn).
§ 5. Particularisation des formules de trigonometrie de G2(Rn) à l'espace
CPn.
1.
Soit (Cw+1, <, >)l'espace vectoriel complexe hermitien de dimension
n -f 1 où
re+1
< xìy>=J^2xjyj , x,yeCn+l
j=i
et soit CPn = \[x]\ [x] — Cx, x E G'n+1{0}}. l'espace projectif complexe de

369
dimension n munì de la distance
\<x,y>
'(l*],[y]) =
di \x], \vì I = are cos INI-IMI
Le groupe unitaire U(n -f 1) agissant dans Cn+1 induit dans CPn des
isometries et celles-ci avec la transformation induite par la conjugaison des
composantes des vecteurs de Cn+1ìx = (XÌ) —> x — (XÌ),Ì = l,...,n + 1,
représentent toutes les isometries de CPn.
Si <M [#],[2/]J < TT/2, l'are de géodésique de longueur tu [#], [y]), qui unit
[x] à [y] est bien déterminé et le vecteur tangent en [x] à cet are de géodésique
est représenté par le vecteur de Cn+1
(2) «Ì.]|M= , y,<1',*>7i/ta,,l,>13 , • (INI = IWI = D.
1 (1 - | < x,,y >
\2y<2 • | < x,y > |
Etant donne un troisième point [z] G CPn à distance de [a;] inférieure à
7r/2, on définit les trois angles <f[x]i \x]i il>[x] Par
(3) còs(p[x]= < V[ic],[y],V[x],[«] > ,'còsA^] = Re < V[E],[J,],
V[<c],[s] >,
sintp[x] = Im < v[x]}[y]ìv[x]ì[z] >
Ils sont liés par la formule
(4) cos2 iffò = cos2 A[^ + sin2 i/>[x] ou sin2 <p[x] + sin2 ip[x] = sin2 A[Kj .
A[x] s'interprete comme angle des géodésiques issues de [a;], dirigées vers
[y] et [z] respectivement, sur le plus court chemin.
^[x] représenté l'angle des droites complexes qui contiennent les vecteurs
v[x]ì[y] et t;^].
Si ^rxj = 0, le triplet {[#],[?/], [2]} est contenu dans un pian projectif
réel, sous-variété totalement géodésique de CPn.
Etant donne le triplet {[x], [y], [z]} nous allons noter: A = [x],B. =
[y],C - [z], a = d(B,C),b = d(C,A),c — d(A,B) et supposer 0 < a,byc <
TT/2.

370
(Si)
(SII)
Les lois de la trigonometrie de CPn sont exprimées alors par les formules:
sin (fA sin (pg sin <p>(j
sin a sin ò sin e
sin ij)A sin ipg sin ^
sin2a sin 26 sin2c
(C) cos 2a = cos 26 • cos 2c + sin 26 • sin 2c • cos A^ — 2 sin2 6 • sin2 e • sin2 <^.
La loi C des cosinus peut s'écrire aussi de fagon equivalente comme suit:
(C;) cos2 a — [ cosò • cose + sino • sin e • cos \A) — sin2 b sin2 e • sin2 ^4
et sous cette forme, la loi des cosinus de la trigonometrie sphérique
(5) cos a = cos b cos e -f sin b sin e cos A
lorsque ^4 = 0, apparait comme un cas particulier.
Les formules S/,S// et C fournissent les 5 équations qui régissent
la trigonometrie du triangle; des 9 paramètres (a, 6, e et encore deux
invariants angulaires pour chaque sommet) il ne reste alors que 4 paramètres
indépendants. Pour definir. un triplet, à isometrie près, à l'aide de 4
paramètres indépendants, Blaschke-Terheggen et ensuite U. Brehm ont
introduit "la forme canonique" en l'exprimant par rapport à une base unitaire
de Cn+1 adaptée au triplet.
Pour obtenir cette forme canonique, supposons le triplet [#],[#.], [2] £
CPn représenté par trois vecteurs unitaires x,y,z E Cn+1; si les points ne
sont pas alignés, il existe une base unitaire de Cn+1 de fa^on que
x = ei , y = aei + /3e2 , z = c/ei + •f}'e2 + 7e3 .
En multipliant y et ensuite e2 par des nombres complexes de module 1, on
peut rendre a et (3 réels, positifs et poser
a = cos e , P = sin e .
La multiplication de z et ensuite de e$ par des complexes de module 1,
permet de rendre 7 et (3f ou 7 et a1 réels et positifs. On aura alors la forme
canonique
x — e\ , y.= cose ei+sinc e2 , z = cosò e*rei+sinò(cos# e2+sin# e^)

371
ou bien celle utilisée par Brehm
x = e\ , y — cos e e\ + sin e e2 , z = cosò ei + (^2 + ^2)^2 + ^3^3 où
(6)
22,^2, ^3 € R , 22, <?3 > 0 , z\ + if + z\ - sin2 6 ,
(c'est l'automorphisme de conjugaison qui permet de supposer £2 > 0).
Dans (6), on peut poser aussi
z — cos b €1 + sin ò[cos À + z sin ip] e2 + sin 6 sin cpe^ ,
siny> > 0,sin ip > 0 ,
A, 9?,^ ayant alors la signification de (3).
Si les trois points sont alignés, la forme canonique qui convient est
x = e\ , y — cos e e\ + sin e e<i , z = cos 6 eirei -f sin 6 e2 .
Afìn de trouver un système symétrique d'invariants pour un triplet de
CPn, U. Brehm utilise l'invariant introduit par Blaschke-Terheggen (1939)
SQ\ < x-rV >< V->z >< z,x > iu} '. ' j, .„
(8) rr-r-r—rrn^—TTTT^ = cosa • cosò-cose-e , 0 < u < 2ir
mi2 - \\y\\2 - MI2
et retient sa partie réelle
/n^ /r-irrriV n < xry->< y,z>< z,x >
(9) a([x , [y], [2 ) = #e = cosa • cos ò • cose • cosa;
IMI2-Imi2 -IMI2
qui satisfait aux inégalités
1 '
(10) -(cos2 a + cos2 b -f cos2 e — 1) < a < \a\ < cosa • cosò • cose .
En termes de la forme canonique (7)
(j = (cosò cose + sin osine cos XA) cosò cos e et
\ / • 9 2 J 2 / 2 . 9i • 9 • 2 / \
(T = cos ocos c(cos c-sin osin csin ^J.
Son théorème de congruence des triplets s'énonce ainsi: un triplet
géodésique dqnt la longueur des cótés est inférieure a 7r/2, est déterminé a
isométrie près, par les longueurs de ses cótés et par son "invariant forme" cr.