Nombres complexes

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NOMBRES COMPLEXES
❑ Nombre complexe
Nous sommes familiers avec la solution de l’équation algébrique
01x
2
=− (1)
dont la solution est x = 1 ou x = -1. Toutefois, on rencontre également
l’équation
01x
2
=+ (2)
Le nombre qui satisfait cette équation n’est pas un nombre réel. Il est
possible de réécrire l’équation (2) tel que
1
2
−= x (3)
et il est possible de résoudre l’équation (3) en utilisant un nombre imaginaire
j tel que
1
2
−=j (4)
et
1−=j (5)
Un nombre imaginaire est défini comme le produit d’un imaginaire unité j par
un nombre réel. Ainsi, nous pouvons par exemple écrire un nombre imaginaire
sous la forme jb . Un nombre complexe est la somme d’un nombre réel et d’un
nombre imaginaire tel que:
jbac
+
=
(6)
où a et b sont des nombres réels. Nous désignons a comme étant la partie
réelle du nombre complexe et b comme étant sa partie imaginaire et nous
utilisons la notation
{
}
{ } bcIm
acRe
=
=
(7)

2
❑ Forme rectangulaire, exponentielle et polaire d’un nombre complexe
Le nombre complexe a + jb peut être représenté dans un plan de coordonnées
rectangulaire appelé plan complexe . Le plan complexe a un axe réel et un axe
imaginaire, comme illustré sur la figure 1. Le nombre complexe c est le
vecteur identifié c avec les coordonnées (a, b) . La forme rectangulaire est
exprimée par l’équation (6) et est représentée sur la figure 1.
Une manière alternative d’exprimer un nombre complexe c est d’utiliser la
distance de l’origine et l’angle θ , comme illustré sur la figure 2. La forme
exponentielle
s’écrit comme
θ j
rec =
où
2/122
)ba(r +=
et
)a/b(tan
1−
= θ
quand a > 0. Si a < 0, θ = 180° - tan
-1
(b/-a) .
Notez que a = r cos θ et b = r sin θ . Notez également que les calculatrices
donnent la valeur principale d’un arc tangente et il faut être certain que la
valeur finale est dans le bon quadrant.
Le nombre r est également appelé le module de c , noté comme |c| . L’angle θ
peut également s’écrire sous la forme
θ
∠
. En plus, nous pouvons représenter
un nombre complexe sous la forme polaire tel que
θ
θ
∠
=
∠
=
r|c|c
a
b
c = a+jb
Axe réel
Axe imaginaire
0
a
b
θ
Im
0
Figure 1 : Forme
rectangulaire d’un nombre
com
plexe
Figure 2 : Forme exponentielle
d’un nombre complexe
c = re
jθ
Re

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Exemple 1
Exprimer c = 4 + j3 sous forme exponentielle et polaire.
Solution
Premièrement, on peut tracer le plan complexe comme à la figure 3. Ensuite,
on peut déterminer r tel que
r = (4
2
+3
2
)
1/2
= 5
et θ tel que
θ = tan
-1
(3/4) = 36.9°
La forme exponentielle est alors
c = 5 e
j36. 9°
La forme polaire est
°
∠
=
9.365c
Notez que si c = 4 – j 3, alors θ = tan
-1
(-3/4) = -36.9° . Si c = -4 + j 3, alors
θ = tan
-1
(-3/4) et la calculatrice donne -36.9° alors que la réponse correcte est
+143.1°. Il faut donc vérifier continuellement si l’angle se trouve dans le bon
quadrant.
❑ Opérations mathématiques
Le conjugué d’un nombre complexe c = a + jb est noté c* et est défini comme
c* = a - jb
En forme polaire, on a
θ
−
∠
=
rc*
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, il faut additionner
(ou soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire séparément.
Alors, si c = a + jb et d = f + jg, on a
4
j3
Re
Im
0
Figure 3 : Plan complexe de l’exemple 1
r
θ

4
)()(
)()(
gbjfa
jgfjbadc
+++=
+
+
+
=
+
La multiplication de deux nombres complexes est obtenue comme suit (note
j
2
=-1 ) :
)()(
)
)(
(
2
bfagjbgaf
bgjjbfjagaf
jg
f
jb
a
cd
++−=
+++=
+
+
=
En utilisant la forme exponentielle, on a
)(
2121
2121
θθθθ +
==
jjj
errexrercd
En utilisant la forme polaire, on a
)(rr
)r()r(cd
2121
2211
θθ
θθ
+∠=
∠∠=
où
22
11
rd
rc
θ
θ
∠=
∠=
La division d’un nombre complexe par un autre nombre complexe est obtenue
facilement en utilisant la forme exponentielle tel que
)(j
21
j
2
j
121
2
1
e)r/r(
er
er
d
c
θθ
θ
θ
−
==
En utilisant la forme polaire, on obtient
)(
21
2
1
22
11
θθ
θ
θ
−∠=
∠
∠
=
r
r
r
r
d
c
Il est plus facile d’additionner et de soustraire des nombres complexes sous
la forme rectangulaire et de multiplier et diviser sous la forme polaire.
Quelques relations utiles sont résumées dans le tableau 1.

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Tableau 1 Relations utiles pour les nombres complexes
1/j = -j
(-j)(j) = 1
j
2
= -1
1
∠
π/2 = j
c
k
= r
k
∠
kθ
Exemple 2
Trouver c + d, c - d, cd et c/d si c = 4+j3 et d = 1-j
Solution
Premièrement, exprimons c et d sous forme polaire
°−∠=
°
∠
=
452d
9
.
36
5
c
°∠=
°−∠
°∠
=
°−∠=°−∠°∠=
+=−−+=−
+
=
−
+
+
=
+
9.81
2
5
452
9.365
d
c
1.825)452)(9.365(cd
4j3)j1()3j4(dc
2j5)j1()3j4(dc