Nombres complexes

NOMBRES COMPLEXES
❑ Nombre complexe
Nous sommes familiers avec la solution de l’équation algébrique
x2 − 1 = 0
(1)
dont la solution est x = 1 ou x = -1. Toutefois, on rencontre également
l’équation
x2 + 1 = 0
(2)
Le nombre qui satisfait cette équation n’est pas un nombre réel. Il est
possible de réécrire l’équation (2) tel que
x 2 = −1
(3)
et il est possible de résoudre l’équation (3) en utilisant un nombre imaginaire
j tel que
j 2 = −1
(4)
et
j = −1
(5)
Un nombre imaginaire est défini comme le produit d’un imaginaire unité j par
un nombre réel. Ainsi, nous pouvons par exemple écrire un nombre imaginaire
sous la forme jb. Un nombre complexe est la somme d’un nombre réel et d’un
nombre imaginaire tel que:
c = a + jb
(6)
où a et b sont des nombres réels. Nous désignons a comme étant la partie
réelle du nombre complexe et b comme étant sa partie imaginaire et nous
utilisons la notation
Re{c} = a
Im{c} = b
(7)
1
❑ Forme rectangulaire, exponentielle et polaire d’un nombre complexe
Le nombre complexe a + jb peut être représenté dans un plan de coordonnées
rectangulaire appelé plan complexe. Le plan complexe a un axe réel et un axe
imaginaire, comme illustré sur la figure 1. Le nombre complexe c est le
vecteur identifié c avec les coordonnées (a, b). La forme rectangulaire est
exprimée par l’équation (6) et est représentée sur la figure 1.
Axe imaginaire
Im
c = a+jb
b
c = rejθ
b
θ
0
a
Axe réel
Figure 1 : Forme
rectangulaire d’un nombre
complexe
0
a
Re
Figure 2 : Forme exponentielle
d’un nombre complexe
Une manière alternative d’exprimer un nombre complexe c est d’utiliser la
distance de l’origine et l’angle θ, comme illustré sur la figure 2. La forme
exponentielle s’écrit comme
c = re jθ
où
r = ( a 2 + b 2 )1 / 2
et
θ = tan −1 ( b / a )
quand a > 0. Si a < 0, θ = 180° - tan-1(b/-a).
Notez que a = r cosθ et b = r sinθ. Notez également que les calculatrices
donnent la valeur principale d’un arc tangente et il faut être certain que la
valeur finale est dans le bon quadrant.
Le nombre r est également appelé le module de c, noté comme |c|. L’angle θ
peut également s’écrire sous la forme ∠θ . En plus, nous pouvons représenter
un nombre complexe sous la forme polaire tel que
c =| c | ∠θ = r∠θ
2
Exemple 1
Exprimer c = 4 + j3 sous forme exponentielle et polaire.
Solution
Premièrement, on peut tracer le plan complexe comme à la figure 3. Ensuite,
on peut déterminer r tel que
r = (42+32)1/2 = 5
et θ tel que
θ = tan-1 (3/4) = 36.9°
Im
j3
r
θ
0
4
Re
Figure 3 : Plan complexe de l’exemple 1
La forme exponentielle est alors
c = 5 ej36. 9°
La forme polaire est
c = 5 ∠36.9°
Notez que si c = 4 – j3, alors θ = tan-1(-3/4) = -36.9°. Si c = -4 + j3,
alors
-1
θ = tan (-3/4) et la calculatrice donne -36.9° alors que la réponse correcte est
+143.1°. Il faut donc vérifier continuellement si l’angle se trouve dans le bon
quadrant.
❑ Opérations mathématiques
Le conjugué d’un nombre complexe c = a + jb est noté c* et est défini comme
c* = a - jb
En forme polaire, on a
c* = r∠ − θ
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, il faut additionner
(ou soustraire) leur partie réelle et leur partie imaginaire séparément.
Alors, si c = a + jb et d = f + jg, on a
3
c + d = (a + jb) + ( f + jg )
= (a + f ) + j (b + g )
La multiplication de deux nombres complexes est obtenue comme suit (note
j2=-1) :
cd = (a + jb)( f + jg )
= af + jag + jbf + j 2 bg
= (af − bg ) + j (ag + bf )
En utilisant la forme exponentielle, on a
cd = r1e jθ1 xr2 e jθ 2 = r1r2 e j (θ1 +θ 2 )
En utilisant la forme polaire, on a
cd = ( r1 ∠θ 1 ) ( r2 ∠θ 2 )
= r1 r2 ∠( θ 1 + θ 2 )
où
c = r1∠θ 1
d = r2 ∠θ 2
La division d’un nombre complexe par un autre nombre complexe est obtenue
facilement en utilisant la forme exponentielle tel que
c r1 e jθ1
=
= ( r1 / r2 )e j ( θ 1 −θ 2 )
jθ 2
d r2 e
En utilisant la forme polaire, on obtient
c r1∠θ 1
=
d r2 ∠θ 2
=
r1
∠(θ 1 − θ 2 )
r2
Il est plus facile d’additionner et de soustraire des nombres complexes sous
la forme rectangulaire et de multiplier et diviser sous la forme polaire.
Quelques relations utiles sont résumées dans le tableau 1.
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Tableau 1 Relations utiles pour les nombres complexes
1/j = -j
(-j)(j) = 1
j2 = -1
1 ∠ π/2 = j
ck = rk ∠ kθ
Exemple 2
Trouver c + d, c - d, cd et c/d si c = 4+j3 et d = 1-j
Solution
Premièrement, exprimons c et d sous forme polaire
c = 5∠36.9°
d = 2∠ − 45°
c + d = ( 4 + j3 ) + ( 1 − j ) = 5 + j2
c − d = ( 4 + j3 ) − ( 1 − j ) = 3 + j4
cd = ( 5∠36.9° )( 2∠ − 45° ) = 5 2∠ − 8.1°
c
5∠36.9°
5
=
=
∠81.9°
d
2∠ − 45°
2
5
FORMULE d’EULER
La formule d’Euler est donnée par
ejθ = cos θ + j sin θ
(1)
Une forme alternative de la formule d’Euler est
e-jθ = cos θ - j sin θ
(2)
Pour dériver la formule d’Euler, posons
f = cos θ + j sin θ
La dérivée nous donne
df
= − sin θ + j cos θ
dθ
= j(cos θ + j sin θ )
= jf
Lorsque f = ejθ, on obtient comme requis
df
= je jθ = jf
dθ
En additionnant les expressions (1) et (2), on montre que
cos θ =
1 jθ
( e + e − jθ )
2
En soustrayant (2) de (1), on obtient
sin θ =
1
( e jθ − e − jθ )
2j
L’équivalence entre les formes polaire et rectangulaire d’un nombre complexe
est une conséquence de la formule d’Euler. Pour vérifier cela, considérons un
nombre complexe A = a+jb où a = r cos θ et b = r sin θ. Alors,
A = r(cos θ + j sin θ)
= rejθ
par la formule d’Euler.
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