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Espaces fonctionnels Maxwell:
Les gentils, les méchants et les singularités
M. C OSTABEL & M. D AUGE∗
[email protected]
1. Equations de Maxwell.
Ce sont les équations de Maxwell harmonique en temps dans le domaine Ω ⊂ R3
rot E − iω µH = 0 et
(0)
rot H + iω εE = J
dans Ω,
pour une fréquence ω = 0 . Supposons la permittivité ε et la perméabilité µ constantes > 0
(milieu homogène et isotrope). Si on suppose E et H dans L2 (Ω)3 et J ∈ L2 (Ω)3 , alors
E, H ∈ H(rot).
Si on suppose de plus que div J ∈ L2 (Ω) , prenant la divergence des équations (0) on obtient
E, H ∈ H(div).
Pour E ∈ H(rot) , la trace tangentielle est définie comme élément de H −1/2 (∂Ω)3 par
1
3
E · rot v − rot E · v.
∀v ∈ H (Ω) : E × n, v∂Ω =
Ω
Pour H ∈ H(div) , la trace normale est définie comme élément de H −1/2 (∂Ω) par
1
div H ϕ + H · grad ϕ.
∀ϕ ∈ H (Ω) : H · n, ϕ∂Ω =
Ω
Ainsi les différentes conditions aux limites ont un sens
• Electrique pour un conducteur parfait : E × n = 0
• Magnétique pour un conducteur parfait : H · n = 0
• Impédance n × (E × n) + λH × n = 0 .
2. Les espaces naturels.
• H(rot) , H0 (rot) (trace tangentielle nulle).
H(rot, TL2 ) = u ∈ H(rot) ; u×n|∂Ω ∈ L2 (∂Ω)3 (pour condition d’impédance).
Pour formulations en rotationnel.
∗
IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 RENNES Cedex
1
• H(div) , H0 (div) (trace normale nulle).
H(div, TL2 ) = u ∈ H(div) ; u · n|∂Ω ∈ L2 (∂Ω) .
• XN = H0 (rot) ∩ H(div) et XT = H(rot) ∩ H0 (div) .
Pour formulations “régularisées” avec conditions du conducteur parfait.
• WN = H(rot, TL2 ) ∩ H(div) et WT = H(rot) ∩ H(div, TL2 ) .
Pour formulations “régularisées” avec conditions d’impédance.
3. Les espaces gentils.
Ce sont les espaces admettant un sous-espace dense de fonctions C ∞ .
Théorème
On suppose Ω Lipschitz.
• H(rot) : C ∞ (Ω)3 est dense [11].
H0 (rot) : C0∞ (Ω)3 est dense [11]
H(rot, TL2 ) : C ∞ (Ω)3 est dense [2].
• H(div) : C ∞ (Ω)3 est dense [11].
H0 (div) : C0∞ (Ω)3 est dense [11]
H(div, TL2 ) : C ∞ (Ω)3 est dense.
• H0 (rot) ∩ H0 (div) = H01 (Ω)3 .
• WN = WT :
C ∞ (Ω)3 est dense [5, 9].
4. Une clé des démonstrations: le retour aux gradients.
Pour H(rot, TL2 ) , H(div, TL2 ) , WN et WT on se ramène à faire la démonstration sur le
sous-espace de leurs éléments qui sont des gradients. On peut supposer par localisation que
Ω est simplement connexe. On se base sur le résultat dans [1]:
Lemme
Soit v ∈ H(div) tel que div v = 0 . Alors il existe w ∈ H 1 (Ω)3 tel que rot w = v .
Pour u ∈ V , avec V égal à H(rot, TL2 ) , WN ou WT , on pose v = rot u , qui est dans
H(div) et tel que div v = 0 . Donc il existe w ∈ H 1 (Ω)3 tel que rot w = rot u .
Comme H 1 (Ω)3 est un sous-espace de V dans lequel C ∞ (Ω)3 est dense, on est ramené à
traiter u − w qui est à rotationnel nul donc un gradient grad ϕ ∈ V . Le potentiel ϕ est
dans un sous-espace de H 1 (Ω) .
Si V = H(div, TL2 ) , pour u ∈ H(div, TL2 ) , on résout le problème de Neumann
1
∀ψ ∈ H (Ω),
grad ϕ · grad ψ =
u · grad ψ.
Ω
Ω
2
Alors grad ϕ − u est à divergence nulle et à trace normale nulle, donc dans H0 (div) dans
lequel C0∞ (Ω)3 est dense. Là encore grad ϕ est dans V .
Selon les cas:
• Si V = H(rot, TL2 ) , ϕ ∈ VDir avec
VDir = ψ ∈ H 1 (Ω) ;
ψ|∂Ω ∈ H 1 (∂Ω) ,
dans lequel C ∞ (Ω) est dense [2].
Neu avec
• Si V = H(div, TL2 ) , ϕ ∈ W
Neu = ψ ∈ H 1 (Ω) ; ∆ψ ∈ L2 (Ω),
W
∂n ψ|∂Ω ∈ L2 (∂Ω) .
Dir avec
• Si V = WN , ϕ ∈ W
Dir = ψ ∈ H 1 (Ω) ;
W
ψ|∂Ω ∈ H 1 (∂Ω) .
∆ψ ∈ L2 (Ω),
Neu .
• Si V = WT , ϕ ∈ W
Dir et W
Neu sont égaux à [12, 13]
Les espaces W
3
ψ ∈ H 2 (Ω) ; ∆ψ ∈ L2 (Ω)
dans lequel C ∞ (Ω) est dense [9].
5. Des espaces intermédiaires.
Soit CN∞ = C ∞ (Ω)3 ∩ XN et CT∞ = C ∞ (Ω)3 ∩ XT . Alors on a [7, 4]
Théorème
Soit Ω un polyèdre lipschitzien.
L’adhérence de CN∞ dans XN est l’espace HN = H 1 (Ω)3 ∩ XN .
L’adhérence de CT∞ dans XT est l’espace HT = H 1 (Ω)3 ∩ XT .
Ce résultat se démontre en plusieurs étapes.
(i) Pour u ∈ CN∞ ou CT∞ , la norme rot u L2 + div u L2 est équivalente à la norme H 1
(double intégration par parties) [6]: avec un = u · n et u = u − un n
2
2
2
| grad u| =
grad (un ) · u − div u (un ) .
| rot u| + | div u| +
Ω
Ω
∂Ω =0
Donc l’adhérence de CN∞ dans XN est contenue dans l’espace HN , et de même pour HT .
(ii) Soit Σ l’ensemble des coins et arêtes de Ω . Soit CΣ∞ (Ω) l’espace des fonctions C ∞ (Ω)
dont le support ne rencontre pas Σ . Pour tout u ∈ H 1 (Ω) et tout ε > 0 il existe χ ∈ CΣ∞ (Ω)
3
tel que u − χu H 1 < ε . Se montre par simple troncature pour les coins, et par combinaison
de troncature et d’aplatissement par des fonctions du type rα , α > 0 , pour les arêtes ( r est
la distance aux arêtes) [8].
(iii) Pour u ∈ HN , on applique le (ii) à chaque composante et on régularise χu : pour un
paramètre de régularisation assez petit, les fonctions régularisées vn sont dans CΣ∞ (Ω) .
(iv) Il reste à relever, face par face indépendamment, les traces tangentielles des vn , qui sont
petites puisque vN → χu qui a des traces tangentielles nulles, et à soustraire ces relèvements.
6. Les espaces méchants.
Tout se joue encore sur les gradients: on remarque que grad ϕ ∈ XN si et seulement si
ϕ ∈ D(∆Dir ) avec
D(∆Dir ) = ϕ ∈ H01 (Ω) ; ∆ϕ ∈ L2 (Ω)
et grad ϕ ∈ XT si et seulement si ϕ ∈ D(∆Neu ) avec
D(∆Neu ) = ϕ ∈ H 1 (Ω) ; ∆ϕ ∈ L2 (Ω),
∂n ϕ|∂Ω = 0 .
On a [3]:
Théorème
Soit Ω un polyèdre lipschitzien.
XN = HN + grad D(∆Dir )
et XT = HT + grad D(∆Neu ) .
Si Ω est convexe, D(∆Dir ) et D(∆Neu ) sont contenus dans H 2 (Ω) . Donc XN = HN et
XT = HT .
Par contre, si Ω est un polyèdre non convexe, il existe des espaces non triviaux KDir et KNeu
tels que
2
ψ ∈ H 2 ; ∂n ψ|∂Ω = 0 ⊕ KNeu = D(∆Neu ).
H ∩ H01 (Ω) ⊕ KDir = D(∆Dir ) et
On a alors
Théorème
Soit Ω un polyèdre lipschitzien non convexe.
(1)
XN = HN ⊕ grad KDir
et XT = HT ⊕ grad KNeu .
Les espaces KDir et KNeu sont de dimension infinie. On peut en donner la description suivante, cf [10]. Soit C l’ensemble des coins de Ω et CDir , resp. CNeu , le sous ensemble de
C des coins tels que le premier exposant de singularité Dirichlet, resp. Neumann, soit < 12 .
Soit E0 le sous ensemble des arêtes e non convexes de Ω . Alors
4
Théorème
Les applications suivantes sont des isomorphismes
1−π/ωe
KDir −→
(e)
c∈CDir R ×
e∈E0 V−1
ψ −→
(γc , γe ),
où γc et γe sont les coefficients de singularités de ψ associés à sa décomposition avec partie
régulière dans H 2 (Ω) . Le résultat pour KNeu est similaire ( CDir est remplacé par CNeu ).
s
0
L’espace V−1
(e) est un espace à poids intermédiaire entre V−1
(e) qui l’espace des fonctions
−1
2
γ telles que de γ ∈ L (e) , avec de la distance aux extrémités de e , et
1
2
V−1
(e) = γ | d−1
e γ, γ ∈ L (e) .
Les décompositions (1) ne sont pas orthogonales dans H(rot)∩H(div) . Les éléments u ∈
HN⊥ se caractérisent par
rot u · rot v + div u div v = 0.
(2)
u ∈ XN , ∀v ∈ HN ,
Ω
Ils sont donc les solutions d’un problème de Maxwell (équations aux dérivées partielles) to∗
talement homogène. Cet espace HN⊥ admet une paramétrisation canonique par l’espace KDir
des fonctions singulières duales de ∆Dir :
∗
2
2
1
KDir = ϕ ∈ L (Ω) ; ∀ψ ∈ H ∩ H0 (Ω),
ϕ ∆ψ = 0}.
Ω
Théorème
Soit Ω un polyèdre lipschitzien non convexe. Alors l’application
(3)
∗
HN⊥ −→ KDir
u −→ div u,
est bien définie et est un isomorphisme.
Prenant dans (2) les fonctions test v = grad ψ avec ψ parcourant H 2 ∩ H01 (Ω) , on obtient
que l’application est bien définie.
Si div u = 0 , combinant la formulation (2) avec la décomposition (1) , on obtient que u
satisfait
∀v ∈ XN ,
rot u · rot v + div u div v = 0.
Ω
Donc u = 0 et l’application (3) est injective.
Pour montrer qu’elle est surjective, introduisons, basé sur la décomposition (1) l’opérateur
borné S
S : XN −→ KDir
u −→ Su, tel que u − grad Su ∈ HN .
5
∗
Soit q ∈ KDir
. Soit u la solution du problème
(4)
u ∈ XN , ∀v ∈ XN ,
rot u · rot v + div u div v =
q ∆(Sv).
Ω
Ω
Comme S|HN = 0 , u satisfait (2) donc est dans HN⊥ .
Si maintenant on prend dans (4) les fonctions test v = grad ψ avec ψ ∈ H 2 ∩ H01 (Ω) on a
2
1
∀ψ ∈ H ∩ H0 (Ω),
div u ∆ψ = 0.
Ω
Pour les fonctions test v = grad ψ avec ψ parcourant KDir , on a S(grad ψ) = ψ , donc
Dir
∀ψ ∈ D(∆ ),
(div u − q) ∆ψ = 0.
Ω
Donc div u = q .
REFERENCES
[1] C. A MROUCHE , C. B ERNARDI , M. D AUGE , V. G IRAULT. Vector potentials in three-dimensional nonsmooth domains. Math. Meth. Appl. Sci. 21 (1998) 823–864.
[2] F. B EN B ELGACEM , C. B ERNARDI , M. C OSTABEL , M. D AUGE. Un résultat de densité pour
les équations de Maxwell. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 324(6) (1997) 731–736.
[3] M. B IRMAN , M. S OLOMYAK. L2 -theory of the Maxwell operator in arbitrary domains. Russ.
Math. Surv. 42 (6) (1987) 75–96.
[4] A. B ONNET-B EN D HIA , C. H AZARD , S. L OHRENGEL. A singular field method for the solution
of Maxwell’s equations in polyhedral domains. Rapport de Recherche 299, ENSTA 1997. To
appear in SIAM J. Appl. Math.
[5] P. C IARLET, C. H AZARD , S. L OHRENGEL. Les équations de Maxwell dans un polyèdre : un
résultat de densité. C. R. Acad. Sc. Paris, Série I (1998). A paraı̂tre.
[6] M. C OSTABEL. A coercive bilinear form for Maxwell’s equations. J. Math. Anal. Appl. 157 (2)
(1991) 527–541.
[7] M. C OSTABEL , M. D AUGE. Maxwell and Lamé eigenvalues on polyhedra. Preprint 98-08,
Université de Rennes 1 (1998). To appear in Math. Meth. Appl. Sci.
[8] M. C OSTABEL , M. D AUGE , S. N ICAISE. Singularities of Maxwell interface problems. Preprint
98-24, Université de Rennes 1 (1998). To appear in Modél. Math. Anal. Numér.
[9] M. C OSTABEL , M. D AUGE. Un résultat de densité pour les équations de Maxwell régularisées
dans un domaine lipschitzien. C. R. Acad. Sc. Paris, Série I (1998). A paraı̂tre.
[10] M. D AUGE. Elliptic Boundary Value Problems in Corner Domains – Smoothness and Asymptotics of Solutions. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1341. Springer-Verlag, Berlin 1988.
[11] V. G IRAULT, P. R AVIART. Finite Element Methods for the Navier–Stokes Equations, Theory
and Algorithms. Springer series in Computational Mathematics, 5. Springer-Verlag, Berlin 1986.
[12] D. S. J ERISON , C. E. K ENIG. Boundary value problems on Lipschitz domains. In Studies in
partial differential equations, volume 23 of MAA Stud. Math., pages 1–68. Math. Assoc. America, Washington, D.C. 1982.
[13] D. S. J ERISON , C. E. K ENIG. The inhomogeneous Dirichlet problem in Lipschitz domains. J.
Funct. Anal. 130(1) (1995) 161–219.
6
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