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Espaces fonctionnels Maxwell:
Les gentils, les m´ echants et les singularit´ es
M. COSTABEL &M.DAUGE∗
[email protected]
1. Equations de Maxwell.
Ce sont les ´ equations de Maxwell harmonique en temps dans le domaine Ω⊂R3
(0) rot E−iω µH=0 et rot H+iω εE=Jdans Ω,
pour une fr´ equence ω=0. Supposons la permittivit´ eεet la perm´ eabilit´ eµconstantes >0
(milieu homog` ene et isotrope). Si on suppose Eet Hdans L2(Ω)3et J∈L2(Ω)3, alors
E,H∈H(rot).
Sionsupposedeplusque div J∈L2(Ω) , prenant ladivergence des ´
equations (0) onobtient
E,H∈H(div).
Pour E∈H(rot) , la trace tangentielle est d´ efinie comme ´ el´ ement de H−1/2(∂Ω)3par
∀v∈H1(Ω)3:E×n,v∂Ω=Ω
E·rot v−rot E·v.
Pour H∈H(div) , la trace normale est d´ efinie comme ´ el´ ement de H−1/2(∂Ω) par
∀ϕ∈H1(Ω) : H·n,ϕ∂Ω=Ω
div Hϕ+H·grad ϕ.
Ainsi les diff´ erentes conditions aux limites ont un sens
•Electrique pour un conducteur parfait : E×n=0
•Magn´ etique pour un conducteur parfait : H·n=0
•Imp´ edance n×(E×n)+λH×n=0.
2. Les espaces naturels.
•H(rot) ,H0(rot) (trace tangentielle nulle).
H(rot,TL
2)=u∈H(rot) ; u×n|∂Ω∈L2(∂Ω)3(pourconditiond’imp´
edance).
Pour formulations en rotationnel.
∗IRMAR, Universit´
e de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 RENNES Cedex
1

•H(div) ,H0(div) (trace normale nulle).
H(div,TL
2)=u∈H(div) ; u·n|∂Ω∈L2(∂Ω).
•XN=H0(rot) ∩H(div) et XT=H(rot) ∩H0(div) .
Pour formulations “r´ egularis´ ees” avec conditions du conducteur parfait.
•WN=H(rot,TL
2)∩H(div) et WT=H(rot) ∩H(div,TL 2).
Pour formulations “r´ egularis´ ees” avec conditions d’imp´ edance.
3. Les espaces gentils.
Ce sont les espaces admettant un sous-espace dense de fonctions C∞.
Th´ eor` eme
On suppose ΩLipschitz.
•H(rot) : C∞(Ω)3est dense [11].
H0(rot) : C∞
0(Ω)3est dense [11]
H(rot,TL
2): C∞(Ω)3est dense [2].
•H(div) : C∞(Ω)3est dense [11].
H0(div) : C∞
0(Ω)3est dense [11]
H(div,TL
2): C∞(Ω)3est dense.
•H0(rot) ∩H0(div) = H1
0(Ω)3.
•WN=WT:C∞(Ω)3est dense [5, 9].
4. Une cl´ edesd
´
emonstrations: le retour aux gradients.
Pour H(rot,TL
2),H(div,TL 2),WNet WTon se ram`
ene ` afairelad
´
emonstration sur le
sous-espace de leurs ´ el´ ements qui sont des gradients. On peut supposer par localisation que
Ωest simplement connexe. On se base sur le r´ esultat dans [1]:
Lemme
Soit v∈H(div) tel que div v=0. Alors il existe w∈H1(Ω)3tel que rot w=v.
Pour u∈V, avec V´ egal ` aH(rot,TL
2),WNou WT, on pose v= rot u, qui est dans
H(div) et tel que div v=0. Donc il existe w∈H1(Ω)3tel que rot w= rot u.
Comme H1(Ω)3est un sous-espace de Vdans lequel C∞(Ω)3est dense, on est ramen´ e` a
traiter u−wqui est ` a rotationnel nul donc un gradient grad ϕ∈V. Le potentiel ϕest
dans un sous-espace de H1(Ω) .
Si V=H(div,TL
2), pour u∈H(div,TL 2),onr
´
esout le probl` eme de Neumann
∀ψ∈H1(Ω),Ω
grad ϕ·grad ψ=Ω u·grad ψ.
2

Alors grad ϕ−uest ` a divergence nulle et ` a trace normale nulle, donc dans H0(div) dans
lequel C∞
0(Ω)3est dense. L`
a encore grad ϕest dans V.
Selon les cas:
•Si V=H(rot,TL
2),ϕ∈
VDir avec
VDir =ψ∈H1(Ω) ; ψ|∂Ω∈H1(∂Ω),
dans lequel C∞(Ω) est dense [2].
•Si V=H(div,TL
2),ϕ∈
WNeu avec
WNeu =ψ∈H1(Ω) ; ∆ψ∈L2(Ω),∂
nψ|∂Ω∈L2(∂Ω).
•Si V=WN,ϕ∈
WDir avec
WDir =ψ∈H1(Ω) ; ∆ψ∈L2(Ω),ψ|∂Ω∈H1(∂Ω).
•Si V=WT,ϕ∈
WNeu .
Les espaces  WDir et 
WNeu sont ´ egaux ` a [12, 13]
ψ∈H3
2(Ω) ; ∆ψ∈L2(Ω)
dans lequel C∞(Ω) est dense [9].
5. Des espaces interm´ ediaires.
Soit C∞
N=C∞(Ω)3∩XNet C∞ T=C∞(Ω)3∩XT. Alors on a [7, 4]
Th´ eor` eme
Soit Ωun poly` edre lipschitzien.
L’adh´ erence de C∞
Ndans XNest l’espace HN=H1(Ω)3∩XN.
L’adh´ erence de C∞
Tdans XTest l’espace HT=H1(Ω)3∩XT.
Ce r´ esultat se d´ emontre en plusieurs ´ etapes.
(i) Pour u∈C∞
Nou C∞ T, la norme rot uL2+div uL2est ´
equivalente ` a la norme H1
(double int´ egration par parties) [6]: avec un=u·net u=u−unn
Ω
|grad u|2=Ω|rot u|2+|div u|2+∂Ω grad(un)·u−divu(un)
=0
.
Donc l’adh´ erence de C∞
Ndans XNest contenue dans l’espace HN,etdemˆ
eme pour HT.
(ii) Soit Σl’ensemble des coins et arˆ etes de Ω. Soit C∞
Σ(Ω) l’espace des fonctions C∞(Ω)
dontle supportnerencontrepas Σ. Pourtout u∈H1(Ω) ettout ε>0ilexiste χ∈C∞
Σ(Ω)
3

tel que u−χuH1<ε. Se montre par simple troncature pour les coins, et par combinaison
de troncature et d’aplatissement par des fonctions du type rα,α>0, pour les arˆ
etes ( rest
la distance aux arˆ etes) [8].
(iii) Pour u∈HN, on applique le (ii) `
a chaque composante et on r´ egularise χu: pour un
param` etre de r´ egularisation assez petit, les fonctions r´ egularis´ ees vnsont dans C∞
Σ(Ω) .
(iv) Il reste ` a relever, face par face ind´ ependamment, les traces tangentielles des vn, qui sont
petitespuisque vN→χuqui a destraces tangentiellesnulles, et `
asoustraire cesrel` evements.
6. Les espaces m´ echants.
Tout se joue encore sur les gradients: on remarque que grad ϕ∈XNsi et seulement si
ϕ∈D(∆Dir)avec
D(∆Dir)=ϕ∈H1
0(Ω) ; ∆ϕ∈L2(Ω)
et grad ϕ∈XTsi et seulement si ϕ∈D(∆Neu)avec
D(∆Neu)=ϕ∈H1(Ω) ; ∆ϕ∈L2(Ω),∂
nϕ|∂Ω=0
.
On a [3]:
Th´ eor` eme
Soit Ωun poly` edre lipschitzien.
XN=HN+ grad D(∆Dir)et XT=HT+ grad D(∆Neu ).
Si Ωest convexe, D(∆Dir)et D(∆Neu)sont contenus dans H2(Ω) . Donc XN=HNet
XT=HT.
Par contre, si Ωest un poly` edre nonconvexe, il existe desespaces non triviaux KDir et KNeu
tels que
H2∩H1
0(Ω)⊕KDir =D(∆Dir)et ψ∈H2;∂nψ|∂Ω=0
⊕KNeu =D(∆Neu).
On a alors
Th´ eor` eme
Soit Ωun poly` edre lipschitzien non convexe.
(1) XN=HN⊕grad KDiret XT=HT⊕grad KNeu.
Les espaces KDir et KNeu sont de dimension infinie. On peut en donner la description suiv-
ante, cf [10]. Soit Cl’ensemble des coins de Ωet CDir ,resp. CNeu , le sous ensemble de
Cdes coins tels que le premier exposant de singularit´ e Dirichlet, resp. Neumann, soit <1
2.
Soit E0le sous ensemble des arˆ
etes enon convexes de Ω. Alors
4

Th´ eor` eme
Les applications suivantes sont des isomorphismes
KDir −→ c∈CDir
R×e∈E0V1−π/ωe
−1(e)
ψ−→ (γc,γ
e),
o` uγcet γesontles coefficientsde singularit´
esde ψassoci´ es ` asad´ ecompositionavec partie
r´ eguli` ere dans H2(Ω) .Ler
´
esultat pour KNeu est similaire ( CDir est remplac´ e par CNeu ).
L’espace Vs
−1(e)est un espace `
a poids interm´ ediaire entre V0
−1(e)qui l’espace des fonctions
γtelles que d−1
eγ∈L2(e), avec dela distance aux extr´
emit´ es de e,et
V1
−1(e)=γ|d−1 eγ, γ∈L2(e).
Les d´ ecompositions (1) ne sont pas orthogonales dans H(rot)∩H(div) . Les ´ el´ ements u∈
H⊥
Nse caract´
erisent par
(2) u∈XN,∀v∈HN,Ω
rot u·rot v+ div udiv v=0.
Ils sont donc les solutions d’un probl` eme de Maxwell (´ equations aux d´ eriv´ ees partielles) to-
talementhomog` ene. Cetespace H⊥
Nadmetuneparam´
etrisationcanoniqueparl’espace K∗
Dir
des fonctions singuli` eres duales de ∆Dir :
K∗
Dir =ϕ∈L2(Ω) ; ∀ψ∈H2∩H1 0(Ω),Ω
ϕ∆ψ=0}.
Th´ eor` eme
Soit Ωun poly` edre lipschitzien non convexe. Alors l’application
(3) H⊥
N−→ K∗ Dir
u−→ div u,
est bien d´ efinie et est un isomorphisme.
Prenant dans (2) les fonctions test v= grad ψavec ψparcourant H2∩H1
0(Ω) , on obtient
que l’application est bien d´ efinie.
Si div u=0, combinant la formulation (2) avec la d´ ecomposition (1) , on obtient que u
satisfait
∀v∈XN,Ω
rot u·rot v+ div udiv v=0.
Donc u=0 et l’application (3) est injective.
Pour montrer qu’elle est surjective, introduisons, bas´ e sur la d´ ecomposition (1) l’op´ erateur
born´ eS
S:XN−→ KDir
u−→ Su,tel que u−grad Su∈HN.
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