2e session

Année universitaire 2010-2011
Licence de Physique - S5 - Électromagnétisme dans la matière
Deuxième session, jeudi 3 mars 2011, durée 2 heures
Documents non autorisés - calculatrices autorisées mais non nécessaires
Les raisonnements et les résultats seront justifiés en au moins une phrase. Une suite de
calculs et d’équations sans texte d’accompagnement ne constitue pas une réponse valable.
1. Équations de Maxwell dans la matière, relations de passage, et relation constitutive
~ et H
~ en fonction
a) Rappeler les quatre équations de Maxwell dites “dans la matière”. Définir les champs D
~
~
~
~
de E, B, de la polarisation P et de l’aimantation M . On précisera bien la nature des sources du champ.
b) A l’aide des équations données dans la question précédente, écrire les relations de passage reliant les
~ B,
~ D
~ et H
~ de part et d’autre d’une interface séparant deux milieux matériels.
valeurs des champs E,
c) On considère une feuille de diélectrique, de permittivité relative r = 5 plongée dans l’air. Le vecteur
excitation électrique D1 dans la feuille est donné par D1 = 0 (2~ex + 5~ey − 1/2~ez ), où les ~eα sont les
vecteurs unitaires dans la direction de l’axe Oα. La surface supérieure de la feuille est suivant le plan
Oxy, la normale extérieure à la feuille étant orientée suivant ~ez . Sachant qu’il n’y a pas de charges libres,
~ 1 , champ électrique dans la feuille, ainsi que de D
~ 2 et E
~ 2 , excitation et champ
donner les expressions de E
~
électriques dans l’air. En déduire le vecteur polarisation P1 dans la feuille.
d) Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de pulsation ω se propage suivant l’axe
Oz dans un milieu diélectrique dont la permittivité relative r = r (y) dépend de la coordonnée y (en
raison par exemple d’une densité variable). On suppose que le milieu diélectrique ne comporte aucune
~ est transverse
charge libre. Montrer en utilisant les équations de Maxwell que l’excitation électrique D
(perpendiculaire à la direction de propagation). Montrer que suivant la polarisation de l’onde (c’est-à-dire
~ le champ électrique E
~ peut être transverse ou non.
suivant la direction de D),
2. Ondes dans un plasma On considère un plasma, milieu constitué d’électrons de masse m et de charge
−e, et d’ions de charge +e, suffisamment lourds pour être considérés comme fixes, évoluant librement les
uns par rapport aux autres. Le plasma est localement neutre en moyenne, et on suppose que cette neutralité
n’est pas perturbée par le déplacement des électrons. On s’intéresse au passage dans le plasma d’ondes
planes progressives monochromatiques (OPPM) de vecteur d’onde ~k et de pulsation ω.
~ =E
~ 0 ei(~k~r−ωt)
E
~ =B
~ 0 ei(~k~r−ωt)
B
a) Montrer à partir des équations de Maxwell que la densité de courant doit elle-même être une OPPM du
~
~ 0 et B
~ 0.
type ~j = ~j0 ei(k~r−ωt) . Exprimer ~j0 en fonction de ω, ~k, E
b) Comment exprime-t-on qu’un champ est transverse à la direction de propagation définie par le vecteur
~ est transverse.
d’onde ~k ? Montrer, en utilisant une équation de Maxwell, que le champ E
c) En déduire que le champ ~j est lui-même transverse.
~ en fonction de E.
~ Commenter la structure de l’OPPM.
d) En utilisant une équation de Maxwell, exprimer B
~ 0.
e) En combinant les résultats des questions a) et d), exprimer ~j0 en fonction de ω, ~k, et E
~ déduire de la question précédente une expression de σ.
f) En définissant la conductivité σ par ~j = σ E,
g) A quelle condition a-t-on σ = 0 pour tout ω ? A quelle situation bien connue cela correspond-il ? En
déduire que la présence d’un courant modifie la relation de dispersion des OPPM.
h) Rappeler l’expression de la force de Lorentz s’exerçant sur un électron de vitesse ~v au passage de l’OPPM.
~ 0 et B
~ 0,
Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour un électron. En utilisant la relation entre E
justifier le fait que la composante magnétique de la force est négligeable devant la composante électrique.
On la négligera donc par la suite.
1
i) Soit n le nombre d’électrons par unité de volume. En supposant que la vitesse des électrons en un point de
l’espace est ~v , montrer que l’expression du courant est ~j = −ne~v . Réexprimer la relation fondamentale
~ compte tenu du fait
de la dynamique établie à la question précédente en une relation de la forme ~j = σ E,
qu’on a affaire à une OPPM. En déduire une nouvelle expression de σ.
j) En identifiant les expressions de σ obtenues au f) et i), établir la relation de dispersion reliant ω et k.
k) Montrer que la relation de dispersion obtenue à la question précédence implique que la propagation
d’ondes dans un plasma nécessite une pulsation ω minimale.
l) Justifier pourquoi vϕ = ω/k donne la vitesse de propagation des fronts d’onde. Quelle est son expression ? La comparer à la vitesse de la lumière dans le vide c.
3. Électrodynamique massive On considère dans cet exercice des équations de Maxwell modifiées
comme suit:
~ = 0
div B
~ = ρ/0 − η 2 V
div E
~
~ = − ∂B
~ E
rot
∂t
~
~ = µ0 (~j + 0 ∂ E ) − η 2 A
~
~ B
rot
∂t
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)
~ sont les potentiels scalaire et vecteur dont dérivent les champs E
~ et B.
~
où V et A
~ = rot
~ et E
~ = −gradV − ∂ A/∂t
~
~ A
a) Montrer que les expressions B
restent valides.
b) A quelle condition recouvre-t-on les équations de Maxwell ordinaires ?
~ la conservation de la charge impose-t-elle ? Sous quel nom cette condition
c) Quelle condition sur V et A
est-elle connue habituellement ?
~
d) Donner les équations de propagation vérifiées par V et A.
~
e) On considère une onde de la forme V = V0 ei(k~r−ωt) . En utilisant l’équation déterminée au d), et en
supposant ρ = 0, ~j = ~0, quelle est la relation de dispersion reliant ω à k ?
f) Réécrire la relation de dispersion obtenue ci-dessus en posant ω = E/h̄, ~k = p~/h̄ (cf. cours de Mécanique Quantique). Sachant qu’en relativité, l’énergie E d’une particule de masse m est donnée par
E 2 = p2 c2 + m2 c4 , où p est l’impulsion de la particule, interpréter cette relation de dispersion.
g) On se place dans le cadre de l’électrostatique, toutes les dérivées par rapport au temps sont considérées
comme nulles. Ecrire l’équation différentielle à laquelle obéit le potentiel scalaire V (r) d’un problème
à symétrie sphérique (on considère la densité volumique de charge ρ nul ou concentrée en r = 0, ce qui
revient au même pour la résolution du problème).
h) Montrer que l’équation précédente admet des solutions de la forme V (r) = f (r)/r. Etablir l’équation
différentielle vérifiée par f (r) et en déduire l’expression de V (r) pour une solution physiquement acceptable.
i) Interpréter le résultat de la question précédente à la lumière de celui de la question f).
Rappels
~ =0
~ V
div rot
4F = ∂ 2 F/∂x2 + ∂ 2 F/∂y 2 + ∂ 2 F/∂z 2 (coordonnées cartésiennes)=
sphériques pour une fonction F (r) à symétrie sphérique)
~ div − 4
~ rot
~ = grad
rot
iπ
e = −1
2
∂ 2 F (r)
∂r2
+
2 ∂F (r)
r ∂r
(en coordonnées