cours 12

RÉGIMES VARIABLES
PARTIE 4
162

Si évolution suffisamment lente des sources, les champs suivent leur évolution sans retard
⇒Approximation des régimes quasi stationnaires
Electrostatique : Rassemblement de charges ⇒mise en jeu d’un travail
emmagasiné sous forme d’énergie potentielle électrostatique
Chapitre II
ÉNERGIE POTENTIELLE MAGNÉTIQUE
-APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI STATIONNAIRES-
Magnétostatique : Établissement de courants stationnaires ⇒mise en jeu d’un travail
emmagasiné sous forme d’énergie potentielle magnétostatique
!! lors de la phase d’établissement du courant ⇒prise en compte des phénomènes d’induction
1/ Introduction
•/•
GB
163

Énergie à fournir aux charges mobiles pour passer de la situation
( et donc )
partout à la situation ( )
0j =
0B =
B , j
2/ Expression de l’énergie en fonction des courants
Ensemble de circuits élémentaires [volumes élémentaires : charge niqd τ
ise déplaçant avec ]
placés dans D délimité par Σ
i
v
Cette énergie correspond à l’énergie potentielle magnétique
Phase transitoire :Charge nqd τ animée d'une vitesse
⇒dans subit la force de Lorentz
v
(
)
B,E
(
)
BvE d nqF ∧+τ=
⇒Force extérieure :
F
−
dt d vE nqd
m
τ−=⇒ • W
dt d E j τ−= •
t
A
Vgrad E ∂
∂
−−=
dt d
t
A
jV grad j d mτ
∂
∂
+=⇒••W
Or
Durant dt, l'extérieur (source de courant) va fournir un
travail
td vF d
m
• −=W
(déplacement )
dt vd =
l
•/•
164 GB

(
)
(
)
(
)
(
)
∫∫∫∫∫∫ τ+τ=⇒••
D
D
Wd rA r j
2
1
d rV grad r j(T)
m
G avec
∫
λ=
T
0
dt (T) G
Phase transitoire lente d’établissement du régime stationnaire
Energie magnétique associée à l'établissement des courants
⇒Intermédiaire de variant entre 0 et 1 entre les instants 0 et T
)t(
λ
proportionnel à ⇒∀t ∈[0 , T] :
(
)
r A
(
)
r j
(
)
(
)
r j)t(t,r j λ=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ λ
λ
τ+λ τ=
••
T
0
T
0
m
dt
td t d
t d r A r jdt t d r V grad r j
DD
W
(
)
∫∫∫∫∫∫
τ−τ
D
D
d j div V d j Vdiv
∫∫∫
τ=⇒ •
D
Wd A j
2
1
m
⇒
⇒⇒
⇒ magnétostatique
(
)
(
)
r V t,r V =
Répartition des charges constante ⇒
0j =
(
)
r j
Densités de courant évoluent de partout à
⇒Energie totale fournie au domaine D :
(
)
Φ+Φ=Φ • grad WWdiv Wdiv
Etat final : stationnaire
0 j div =⇒
(
)
0dS j V d j Vdiv ==τ •
∫∫∫∫∫
Σ
D
(Les charges ne franchissent pas Σ)
dS
Σ
j
(
)
(
)
r A)t( t,r A λ=
et
•/•
165 GB

3/ Expression de l’énergie en fonction des champs
Puisque (régime permanent établi) ⇒
j Brot
o
µ=
∫∫∫
τ
µ
= •
D
Wd Brot A
21
o
m
(
)
211221
Wrot WWrot WWWdiv •• −=∧
Identité vectorielle :
(
)
∫∫∫∫∫∫ τ
µ
+τ∧
µ
= •
D
D
Wd A rot B
21
d ABdiv
21
oo
m
(
)
∫∫∫∫∫
∞∞
τ
µ
+∧
µ
=•
DS
d B
21
dS AB
212
oo
0dSA B →
τ
µ
=⇒
∫∫∫
∞
dB
21
2
o
m
D
W
Intégrale sur une surface fermée d’extension infinie (rayon moyen infini) ⇒
(puisque les champs s’annulent à l’infini)
r
1
⇒produit ~
dS
2
r
~
B
2
r
1
~
A
r
1
~
•/•
166 GB