2 EQUATIONS DE MAXWELL :

2 EQUATIONS DE MAXWELL :
CHAMP ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE VARIANT DANS LE TEMPS.
Quand les champs électriques et magnétiques varient dans le temps, ils sont reliés
d’une certaine façon. C’est ce que prouve le phénomène d’induction. En effet si le flux du
champ magnétique varie dans le temps à travers une surface s’appuyant sur un circuit fermé,
alors il apparaît une f.e.m. induite, c’est-à-dire que la circulation du champ électrique n’est
pas nulle le long du circuit fermé, contrairement à ce qui se passe en statique. c’est ce
couplage entre les champs qui va être à l’origine de la propagation des ondes
électromagnétiques. Ce couplage est régi par les équations de Maxwell qui ont des équations
postulées et dont la validité est vérifiée expérimentalement. Il y a 4 équations de Maxwell
correspondant aux 4 équations locales associées au champ électrique et au champ magnétique.
ELECTROSTATIQUE ET
MAGNETOSTATIQUE
EQUATIONS DE MAXWELL
div
r
E =
ρ
ε
0
div
r
E =
ρ
ε
0
Ro
t
→
r
E
=
r
0
Rot
→
r
E =−
∂
r
B
∂
t (Maxwell-Faraday)
div
r
B
=0 div
r
B
=
0
Rot
→r
B = µ
0
r
j
Rot
→
r
B =
µ
0
r
j +
ε
0
µ
0
∂
r
E
∂
t (Ampère généralisé)
ε0
∂
r
E
∂
t
s’appelle le courant de déplacement
A ces quatre équations, il faut ajouter l’équation de conservation des charges :
∂
ρ
∂
t+div
r
j =0
♦ Exercice 2-1. : Vérifier qu’en statique, les équations de Maxwell redonnent bien les
équations rappelées précédemment.
Application des équations de Maxwell à l’induction :
Considérons une boucle conductrice plongée dans un champ magnétique . Si ce
champ varie, le flux de ce champ magnétique à travers une surface s’appuyant sur le contour
varie :
r
B
d
Φ
dt =
r
B .d
r
S
∫∫
La fem induite est e=−d
Φ
dt . Elle s’écrit aussi comme :
r
E .d
r
l
∫.
r
E .d
r
l
∫=RotE
→
∫∫ .d
r
S
l’intégrale de surface portant aussi sur la surface s’appuyant sur le contour.
On en déduit donc :
RotE
→
∫∫ .d
r
S =−d
dt
r
B .d
r
S
∫∫
(
)
On retrouve ainsi l’une des équations de Maxwell.
Ondes OEM 2-1

Exemple d’application de l’équation de conservation de la charge dans un condensateur :
Prenons un condensateur de capacité C.
Soit Q la charge du condensateur : Q
=
CV ,
V étant la tension aux bornes du condensateur
De plus I=dQ
dt
I
S
Considérons une surface fermée S entourant l’une des plaques du condensateur et
définissant un volume V. La charge à l’intérieur de ce volume est Q. Elle varie dans le temps
et cette variation est reliée au courant qui arrive. De plus la charge Q est reliée à l’intégrale de
la densité de charge dans le volume V alors que I est relié au flux de la densité de courant à
travers la surface. Rappelons qu’il n’y a ni vraie charge, ni vrai courant entre les deux plaques
du condensateur. Regardons d'abord ce qui se passe au niveau des plaques du condensateur.
Q= ρ d τ
∫
∫∫ et
I=−
r
j .d
r
S
∫
∫;
Le signe négatif est dû à la convention : tout courant qui entre est compté négativement.
I peut alors s'écrire
I=− r j .d
r
S
∫∫ =− div
r
j d τ
∫
∫∫ . On retrouve bien alors la forme intégrée de
l’équation de conservation.
∂ρ d τ
∫∫∫
()
∂
t=− d
τ
∫∫∫ div
r
j , d’où
∂
ρ
∂ t
+div
r
j
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ d
τ =0
∫∫∫ .
A l'intérieur du condensateur, il ne peut pas y avoir de vrai courant car il n'y a pas de
charges pour le transporter. Il y a un courant de déplacement associé à la variation dans le
temps du champ électrique. En effet si un courant I arrive sur les plaques du condensateur (S
étant leur section), la charge Q de ces plaques varie et le champ électrique E varie aussi.
E=1
ε
0
Q
Set donc
∂
E
∂ t=1
ε
0
1
S
∂
Q
∂ t=j
ε
0
. Sur le fil à l'extérieur du condensateur, il y a une vraie
densité de courant j, remplacée à l'intérieur du condensateur par la densité de courant de
déplacement:
ε
0
∂
E
∂
t
.
Ondes OEM 2-2

FORMULAIRE
r
∇ (fg)=grad(fg)=f
r
∇ g+(
r
∇ f)g
r
∇ (f[u]) =grad(f[u]) =d
f
du
r
∇ u
div(f
r
A )=(gradf).
r
A +f div
r
A
div
r
A ∧r B
()
=r B .Rot(
r
A ) -
r
A .Rot(
r
B )
Rot f
r
A
()
=f Rot
r
A
()
+grad(f)∧r A
Rot
r
A ∧r B
()
=r A div
r
B −r B div
r
A +(
r
B .grad)(
r
A )−(
r
A .grad)(
r
B )
Coordonnées cartésiennes (x,y,z) :
div
r
A =
∂
Ax
∂ x+
∂
A
y
∂ y+
∂
Az
∂ z
Rot
→r
A =
∂
Az
∂ y−
∂
Ay
∂ z
∂ Ax
∂ z−
∂ Az
∂ x
∂ Ay
∂ x−
∂ Ax
∂ y
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
grad
→
f=
∂
f
∂ x
∂ f
∂ y
∂ f
∂ z
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
∆f=
∂
2f
∂ x2+
∂
2f
∂ y2+
∂
2f
∂ z2
∆r A =
∆
Ax
∆Ay
∆Az
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Coordonnées cylindriques (r,
θ , z):
div
r
A =1
r
∂
(rAr)
∂
r
+1
r
∂
A
θ
∂
θ
+
∂
A
z
∂
z
Rot
→r
A =
1
r
∂
Az
∂θ
−
∂
A
θ
∂ z
∂ Ar
∂ z−
∂ Az
∂ r
1
r
∂ (rA
θ
)
∂ r−1
r
∂ Ar
∂θ
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
grad
→
f=
∂
f
∂ r
1
r
∂ f
∂θ
∂ f
∂ z
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
Ondes OEM 2-3

∆f=1
r
∂
∂ rr
∂
f
∂ r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + 1
r2
∂
2f
∂θ
2+
∂
2f
∂ z2
∆r A =
∆Ar−Ar
r2−2
r2
∂
Ar
∂θ
∆A
θ
−A
θ
r2+2
r2
∂ A
θ
∂θ
∆Az
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
Coordonnées sphériques (r,
θ, φ ) :
div
r
A =1
r2
∂
(r2Ar)
∂ r+1
rsin θ
∂
(sin
θ
A
θ
)
∂θ
+1
rsin θ
∂
A
ϕ
∂ϕ
Rot
→r
A =
1
rsin
θ
∂
(sin
θ
A
ϕ
)
∂θ
−
∂ A
θ
∂ϕ
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
r
1
sin
θ
∂ Ar
∂ϕ
−
∂ (rA
ϕ
)
∂ r
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1
r
∂ (rA
θ
)
∂ r−
∂ Ar
∂θ
⎡
⎣
⎢ ⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
grad
→
f=
∂
f
∂ r
1
r
∂ f
∂θ
1
rsin
θ
∂ f
∂ϕ
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
∆f=1
r2
∂
∂ rr2
∂
f
∂ r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + 1
r2sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
f
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + 1
r2sin2 θ
∂
2f
∂ϕ
2
∆r A =
∆Ar−2
r2Ar−2
r2sin
θ
∂
(sin
θ
A
θ
)
∂θ
−2
r2sin
θ
∂
A
ϕ
∂ϕ
∆A
θ
−A
θ
r2sin θ
+2
r2
∂ Ar
∂θ
−2cos
θ
r2sin θ
∂ A
ϕ
∂ϕ
∆A
ϕ
−A
ϕ
r2sin θ
+2
r2sin
θ
∂ Ar
∂ϕ
+2cos
θ
r2sin θ
∂ A
θ
∂ϕ
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
♦ Exercice 2-2. : Parmi les expressions suivantes les quelles n’ont aucun sens?
div(
r
),
grad
→r
r
r
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ ,
Rot
→r
r
r
3
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ ,
div(
r
r sin
θ
), grad
→1
r
3
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ , Rot
→1
r
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ ,
Rot
→r
e
θ∧
r
r
r
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
Calculer: ,
div(r r )
div(
r
r
r
2),
div(
r
r
r
3
), ,
Rot
→r
r
()
Rot
→
r
B
1
(
)
,
Rot
→
r
B
2
(
)
Avec en coordonnées cylindriques:
B
1r
=
B
1z
=
0
=
B
2r
=
B
2z,
B
1 θ
=
1, B2
θ
=1
r
Ondes OEM 2-4