PC* Electrostatique : révisions de Sup Compléments

PC*
Electrostatique : révisions de Sup
Compléments
Electrostatique : révisions de Sup
Compléments
I) Electrostatique ; révisions de sup :
1 – Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel :
2
* Gradient d’une somme et d’un produit :
grad [ f (r ) + g (r )] = grad [ f (r )] + grad [g (r )]
grad [ f ( r ).g ( r )] = g (r ).grad [ f (r )] + f ( r ).grad [g (r )]
3
Propriétés de symétrie du champ électrique :
4
2 – Topographie du champ électrostatique, lignes de champs et surfaces
équipotentielles :
Les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le champ est dirigé vers
les potentiels décroissants.
3 – Le théorème de Gauss, équations locales de l’électrostatique :
5
Ce théorème a été démontré en 1ère année ; on peut l’utiliser comme point de départ pour
démontrer la relation de Green-Ostrogradsky et présenter l’interprétation locale de
l’opérateur divergence.
ρ
div E =
ε0
Et on démontre ainsi le théorème de Green-Ostrogradsky : (valable finalement pour tout
champ vectoriel)
dΦ = div E dτ
soit
∫∫
(S )
6
E.n dS = ∫∫∫
(V )
divE dτ
Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :
7
Remarque sur les opérateurs :
Retour sur l’opérateur « gradient » :
∂V ∂V ∂V grad V = ∇V =
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂ ∂ ∂ ∇ = ux + uy + uz
∂z
∂x
∂y
div E = ∇.E
rot E = ∇ ∧ E
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(opérateur « nabla »)
En coordonnées cylindriques :
1  ∂ (rAr ) ∂ ( Aθ ) ∂ ( rAz )  1 ∂ (rAr ) 1 ∂ ( Aθ ) ∂ ( Az )
divA = 
+
+
=
+
+

r  ∂r
∂θ
∂z  r ∂r
r ∂θ
∂z
Et en coordonnées sphériques :
divA =
 ∂ (r 2 sin θAr ) ∂ (r sin θAθ ) ∂ ( rAϕ )  1 ∂ (r 2 Ar )
1 ∂ (sin θ Aθ )
1 ∂ ( Aϕ )
+
+
+
+

= 2
2
∂
r
∂
θ
∂
ϕ
∂
r
r
sin
θ
∂
θ
r sin θ ∂ϕ
r sin θ 
 r
1
* Divergence d’une somme et d’un produit :
div V (r ) + W (r ) = div V (r ) + div W (r )
[
[
]
[ ]
]
[
]
[ ]
div f (r )V (r ) = grad f (r ).V (r ) + f (r )div V (r )
9
* Rotationnel d’une somme et d’un produit :
[
]
[ ]
[
rot V (r ) + W (r ) = rot V (r ) + rot W (r )
[
]
]
[ ]
rot f ( r )V ( r ) = grad f ( r ) ∧ V ( r ) + f ( r ) rot V ( r )
[
]
div V ( r ) ∧ W ( r ) = rotV ( r ).W ( r ) − V ( r ).rotW ( r )
(Voir le formulaire d’analyse vectorielle)
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4 – Exemples de calculs de champs et de potentiels :
Voir feuilles d’exercices.
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5 – Relations de passage pour le champ :
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6 – Equation de Poisson :
Remarque : le Laplacien est encore noté :
2
∆=∇
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7 – Energie électrostatique :
a – Energie d’interaction de deux charges ponctuelles :
b – Cas d’une distribution discrète de n charges ponctuelles :
On peut aussi généraliser la relation obtenue dans le cas de n charges ponctuelles :
1
E él = ∫∫∫
ρ ( M )V ( M ) dτ
2 ( espace )
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II) Dipôle électrostatique :
1 – Définition, exemples :
2 – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire :
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3 – Champ électrique du dipôle, topographie :
4 – Action d’un champ électrique extérieur, énergie potentielle d’interaction :
5 – Quadripôle électrostatique : voir exercice
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III) Equilibre électrostatique des conducteurs :
1 – Conducteur en équilibre électrostatique :
2 – Propriétés des conducteurs en équilibre :
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3 – Théorème de Coulomb :
Sens des lignes de champ :
+ + + + +
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-
-
- -
4 – Pression électrostatique :
On se place dans une modélisation surfacique.
D’où la pression électrostatique :
σ2
Pe =
2ε 0
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5 – Etude des condensateurs :
a – Définitions :
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b – Exemples de condensateurs, calculs de capacités :
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c – Aspect énergétique, exemple du condensateur plan :
Exercice d’application ; détermination de la capacité d’un condensateur sphérique
à partir de la densité d’énergie électrostatique :
Déterminer l’énergie stockée entre les armatures d’un condensateur sphérique en fonction
de la charge Q portée par l’armature intérieure.
Retrouver l’expression de la capacité du condensateur à partir de la relation :
Q2
E él =
2C
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