Annexe A Formules

Annexe A
Formules
A.1 Analyse et intégrales
A.1.1
Intégrales Gaussiennes
Formule 1
Z
+∞
√
exp −X 2 dX = π
(A.1.1)
−∞
I2
donc
I=
R +∞
2
e−x dx. Alors
Z +∞
Z +∞
Z +∞ Z +∞
−(x2 +y 2 )
−x2
−y 2
e dx
e dy =
e
dxdy
=
−∞
−∞
−∞
−∞
∞ Z ∞
Z 2π
Z ∞
1 −r2
−r2
−r2
drr
dθe
= 2π
re dr = 2π − e
=
=π
2
0
0
0
0
Démonstration. Soit
I=
−∞
√
π.
Formule 2
Soit
A, B, C ∈ C
et
Q(x) = Ax2 + Bx + C
< (A) > 0 pour la convergence.
Alors
Z
+∞
r
exp (−Q(x)) dx =
−∞
361
π
B2
exp −C +
A
4A
(A.1.2)
362
ANNEXE A.
FORMULES
Preuve : @@
Formule 3.
Pour
n ≥ 0,
Z
+∞
2
x2n e−x dx =
−∞
√ (2n − 1)!!
π
2n
où
(2n − 1)!! := (2n − 1) (2n − 3) . . . 5.3.1 ==
appelée
double factorielle.
(2n)!
2n (n!)
(par symétrie, pour une puissance impaire
R +∞
−∞
2
x2n+1 e−αx dx =
0).
Démonstration. Il faut dériver la formule
soit
R +∞
−∞
+∞
Z
Iα :=
e
2
e−αx dx
−αx2
r
dx =
−∞
On a
dn Iα
=
dαn
Z
+∞
−x
2 n −αx2
e
dx =
Z
+∞
π
2
x2n e−αx dx =
−∞
Dans
−∞
donc
A.1.2
√
par rapport à
−1
2
α
et faire
α=1
à la n :
π
α
−3
2
2n − 1
... −
2
√ (2n − 1)!!
π
2n
Transformée de Fourier
R3 ,
on a la fonction de Green de la particule libre :
1
eik|x−y|
|yi
=
(A.1.3)
−∆ + k 2
4π |x − y|
On pose k = iκ ∈ iR. Utilisant la relation de fermeture en base d'impulsion
hx|
Démonstration.
(et
~ = 1),
Z
1
d3 p~hx|pihp|yi 2
(p + κ2 )
Z
1
1
=
d3 p~ei~p.(x−y) 2
3
(p + κ2 )
(2π)
1
hx|
|yi =
−∆ + k 2
Pour calculer cette intégrale, on passe en coordonnées sphériques et utilise la formule des
résidus pour obtenir
hx|
1
e−κ|x−y|
eik|x−y|
|yi
=
=
−∆ + k 2
4π |x − y|
4π |x − y|
A.2.
363
ALGÈBRE
A.2 Algèbre
A.2.1
Séries
Série arithmétique et géométrique @@
A.2.2
Diagonalisation d'une matrice
Formule générale :
2×2
On considère la matrice
A=
a b
c d
Soit
∆ = (a − d)2 + 4bc.
Si
∆ 6= 0
alors la matrice
A = P DP −1 ,
A
se diagonalise
a−d+
2c
P =
Remarque : la matrice
P
√
1
:
∆ a−d−
2c
√ ∆
,
√
a+d+ ∆
2
D=
0√
a+d− ∆
2
0
!
,
contient les vecteurs propres en colonne, et ils sont dénis à
la multiplication près par un nombre.
Cas particulier :
A=
A.2.3
Si
0 b
b 0
,
P =
|b| − |b|
b
b
,
D=
|b|
0
0 − |b|
Relations de commutation
On a :
[q̂, p̂] = i~
[q̂, F (p̂)] = i~
dF (p̂)
dp̂
[F (q̂), p̂] = i~
dF (p̂)
dq̂
preuve : Voir [CBF]p 172.
1. Avec le logiciel gratuit
xcas, écrire :
redonne bien
xcas
de calcul formel (pour l'obtenir, taper
A:=[[a,b],[c,d]]; D:=egvl(A); P:=egv(A);
la matrice A .
xcas
On vérira que
dans google). Et dans
simplify(P*D*inv(P));
364
ANNEXE A.
A, B
Si les opérateurs
FORMULES
vérient :
[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0
alors on a la
formule de Glauber
exp (A) exp (B) = exp ([A, B] /2) exp (A + B)
(A.2.1)
preuve : Voir [CBF]p 174, ou TD.
Autre preuve : poser
Weyl-Heisenberg (comme
C = i [A, B] ;
q̂, p̂, i~) :
Alors les trois opérateurs
C = [A, B] ,
(A, B, C)
vérient l'algèbre de
[A, C] = [B, C] = 0
Considérons les matrices :


0 1 0
a =  0 0 0 ,
0 0 0


0 0 0
b =  0 0 1 ,
0 0 0


0 0 1
c= 0 0 0 
0 0 0
qui vérient aussi la même algèbre. On procède comme dans la section 2.2.6.4, on vérie sur les
3×3
matrices
A.2.4
que
ea eb = ec/2 ea+b .
Algèbre des matrices de Pauli
On a
~ ~σ .B
~ = A.
~B
~ + i~σ . A
~∧B
~
~σ .A
valable même si
Si
~u
~ B
~
A,
sont des opérateurs.
vecteur unitaire :
exp (iϕ~σ .~u) = cos ϕ + i sin ϕ ~σ .~u
A.2.5
Relations sur les matrices
Pour une matrice
A
(ou un opérateur à Trace) on a :
det
A.2.6
Inverse d'une matrice
Si
A=
a b
c d
eA = eTr(A)
2×2
et Det (A)
= ad − bc 6= 0
A
−1
1
=
Det (A)
alors
d −b
−c a
(A.2.2)
A.3.
R3
CALCUL DIFFÉRENTIEL DANS
A.2.7
365
Relations de commutations
Pour 3 opérateurs
A, B, C
on a
[AB, C] = A [B, C] + [A, C] B
Démonstration. On écrit :
[AB, C] = ABC − CAB = A ([B, C] + CB) − CAB
= A [B, C] + [A, C] B
A.3 Calcul diérentiel dans R3
références : Jackson [Jac75], début et n.
Ici
f (~x)
A.3.1
représente une fonction.
V~ (~x)
représente un champ de vecteurs.
Rappels sur le calcul diérentiel vectoriel.
Voir Feynmann Electromagnétisme, chap 2.
−→
~ =−
V (x, y, z), le champ vectoriel W
gradV a pour coordon−−→
∂V
~ .
, Wy = ∂V
, Wz = ∂V
. On écrit aussi : gradV = ∇V
nées : Wx =
∂x
∂y
∂z
~ = (Ex , Ey , Ez ) sont les coordonnées du champ vectoriel E(~
~ x), alors le champ
◦ Si E
−
→
~ = rotE
~ a pour coordonnées :
W
◦
Pour un champ scalaire
Wx =
Wy =
Wz =
−
→
~
on
en écrivant : rotE
s'en rappelle
∂
, ∂, ∂
∂x ∂y ∂z
◦
y
− ∂E
∂z
z
− ∂E
∂x
∂Ex
− ∂y
~ ∧E
~
= ∇
avec l'opérateur vectoriel
.
Et
~ =
divE
~
qui se retient en écrivant divE
◦
∂Ez
∂y
∂Ex
∂z
∂Ey
∂x
Le
Laplacien
∆V
∂Ex ∂Ey ∂Ez
+
+
∂x
∂y
∂z
~ E
~.
= ∇.
est le champ scalaire :
∆V =
∂ 2V
∂ 2V
∂ 2V
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
~ =
∇
366
ANNEXE A.
FORMULES
Propriétés importantes :
−
→ −−→ ~
rot gradV
=0
−
→~
div rotE
=0
−−→
div(gradV ) = ∆V
−−→
−
→−
→
rotrot (~
a) = grad (div(~a)) − ∆~a
Formules de Stokes
◦
Si
γ
est un chemin dont
a, b sont les extrémités, alors
Z
−−→
grad (f ) .d~
l = f (b) − f (a)
γ
◦
Si
S
est une surface dontγ est le contour, alors
Z
−
→ ~ rot V
.~n d2 s =
Si
V
V~ d~l
Γ
S
◦
Z
S = ∂V ,
V~ .~n d2 s
est un volume dont
Z le bord est la surface
Z
~
div(V
) d3 v =
V
alors
Σ=∂V
n
Σ
b
ds2
S
γ
a
Γ
Lemme de Poincaré :
Réciproquement les formules suivantes
~ f
grad
= 0 ⇒ f = cste
~ f
~ ~u = 0 ⇒ ∃f, tq ~u = grad
rot
~ ~u
div ~
v = 0 ⇒ ∃~u, tq ~v = rot
ne sont pas toujours vraies. Elles sont vraies sur un domaine
D
de l'espace qui est une
boule (contractible en un point), ne contenant donc pas de trous.
A.3.2
En coordonnées sphériques :
−−→
grad(f ) = (∂r f ) ~
er +
1
1
∂θ f ~eθ +
∂ϕ f ~eϕ
r
r sin θ
(A.3.1)
A.3.
CALCUL DIFFÉRENTIEL DANS
A.3.3
R3
367
Relations
~
~
~a ∧ b ∧ ~c = (~a.~c)b − ~a.~b ~c
→
→
−
−
−
→
rot ~
a ∧ ~b = ~a div ~b − ~b (div ~a) + ~b. ∇ ~a − ~a. ∇ ~b
−
−→ →
−
→
div ~
a ∧ ~b = rot(~a).~b − ~a.rot(~b)
(A.3.2)
−
→ ~ −−→
−
→
rot f.V
= grad(f ) ∧ V~ + f rot(V~ )
(A.3.3)
div (f
~a) = grad (f ) .~a + f.div(~a)
div(~
er )
=
2
r
→
−
~a⊥
1
~a. ∇ ~er = (~a − (~a.~er ) ~er ) ≡
r
r
(A.3.4)