DS-03/11

Université Lille1 Sciences et Technologies
Licence 2 STA
Semestre 3 MIMP, PC, SPI
01 mars 2011
Introduction à l’électromagnétisme
Durée : 2 heures 30 min
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EXERCICE I
En coordonnées sphériques, on suppose qu’en tout point M (r, θ, ϕ), il existe un champ E(M )
qui s’écrit sous la forme : E (M ) = C
ur
r2
, où C est une constante.
1/ Calculer rot E(M ) . En déduire que E(M ) dérive d’une fonction scalaire V.
2/ Quelle doit être l’unité de la constante C pour que E(M ) soit un champ électrostatique ?
3/ Soient deux points A(x = 1, y = 1, z = 0) et B(x = 2, y = 2, z = 0). Calculer la différence de
potentiel ∆V = VA − VB .
EXERCICE II
Une plaque infiniment grande et d’épaisseur infiniment fine, placée dans le vide, porte une
densité surfacique de charges σ positive et uniforme. Dans un espace rapporté à un repère
cartésien de vecteurs unitaires i , j , k , cette plaque est disposée de telle sorte qu’elle soit
(
)
(
)
confondue avec le plan i , j .
La charge portée par la plaque crée en tout point M de coordonnées (x, y, z) de l'espace un
champ électrostatique E .
z
• M (x, y, z)
k
i
⊙x
σ
j
y
1/ En utilisant les symétries du problème, donner la direction de E . Préciser le sens de E en
distinguant les cas z > 0 et z < 0.
1
2/ Réduire au maximum le nombre de coordonnées dont dépend E en utilisant les invariances
du système.
3/ En utilisant la forme intégrale du théorème de Gauss, établir l’expression de la norme E de
E en tout point de l’espace (on précisera clairement la surface de Gauss utilisée).
4/ Une plaque identique à la précédente, mais chargée avec une densité surfacique uniforme
négative – σ, est placée parallèlement à la plaque précédente. A l’aide du principe de
superposition, exprimer le champ électrique en tout point de l’espace (entre les plaques,
ainsi qu’en dehors des plaques).
EXERCICE III
Dans un espace dépourvu de charges, rapporté au système de coordonnées cylindriques de
vecteurs unitaires ( u ρ , u θ , u z ), un champ d’induction magnétique B est uniforme, parallèle
à l’axe Oz et de norme B ( B = B u z ). Un point M de l’espace est repéré par les coordonnées
(ρ, θ, z).
1
B ∧ r peut être pris comme le
2
potentiel vecteur dont dérive B et qu’il satisfait à la condition div A = 0 .
1/ Vérifier qu’en tout point M tel que OM = r , le vecteur A =
2/ Le champ B reste uniforme, mais sa norme varie lentement en fonction du temps. Un
champ électrique E induit est alors associé à B .
a/ Quelle relation existe-t-il à chaque instant entre E et B ?
b/ Rappeler la relation entre B et A . En déduire l’expression de E en fonction
dB
et de r .
dt
c/ Montrer que la norme de E ne dépend que de la distance ρ de M à l’axe Oz. Quelle est sa
direction ?
d/ Calculer la circulation de E le long du cercle de rayon ρ et vérifier que l’on retrouve bien
la loi de Faraday sous sa forme intégrale.
EXERCICE IV
Les armatures d’un condensateur sont des disques circulaires parallèles, de rayon a. Le milieu
situé entre les armatures est un diélectrique parfait possédant une permittivité εο et une
perméabilité µο. Les axes des deux disques sont confondus avec l’axe z’z. On utilisera un
repère cylindrique de vecteurs unitaires ( u ρ , u θ , u z ) .
Le condensateur est relié à un générateur de tension alternative sinusoïdale de pulsation ω, si
bien que le champ électrique E(t ) entre les armatures varie au cours du temps avec cette
pulsation. On écrira E(t ) = E osinωt u z . On néglige les effets de bord et on suppose que la
pulsation ω est suffisamment faible pour que ce champ reste uniforme dans l’espace compris
entre les armatures.
2
z
1/ Quel type de courant apparaît entre les
armatures du fait de la variation du champ
électrique E avec le temps ?
2/ Écrire l’équation aux dérivées partielles de
Maxwell appropriée qui relie le champ
d’induction magnétique B(t ) au champ
C
E( t )
électrique E(t ) .
3/ a. En utilisant les propriétés de symétrie du
système, déterminer la direction de B(t ) .
z’
b. Hormis le temps, de quelle(s) variable(s) dépend B(t ) ?
4/ À l’aide du théorème de Stokes appliqué à un contour C (voir figure) et une surface Σ
appropriés, trouver l’expression de B(t ) , notamment en fonction de ω et de Eo.
Quelques relations utiles :

∂B
 rot E = −
∂t

ρ
div E =
Équations de Maxwell : 
εo

 div B = 0
∂E

 rot B = µ o j + ε o µ o ∂ t
Théorème de Stokes :
∫W
C
•
dl =
∫∫ rot W
•
dS .
S
3
D = εo E
B = µo H
PRINCIPAUX TYPES DE COORDONNÉES ET OPÉRATEURS ASSOCIÉS
1/ CARTÉSIENNES – Champ scalaire Φ (x, y, z) – Champ de vecteurs W(x, y, z)
(W =W u
z
M (x, y, z)
•
uz
y
O
ux
uy
x
x
∂Φ
∂Φ
∂Φ
grad Φ =
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂ Wx ∂ Wy ∂ Wz
div W =
+
+
∂x
∂y
∂z
x
+ Wy u y + Wz u z
 ∂ Wz ∂ Wy 
 ∂ Wy ∂ Wx
∂ Wx ∂ Wz 
 u x + 
rot W = 
−
−
−
 u y + 

∂z 
∂x 
∂y
 ∂z
 ∂y
 ∂x
2
2
2
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ
∆Φ=
+
+
∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2

 uz


2/ CYLINDRIQUES – Champ scalaire Φ (ρ
ρ, θ, z) – Champ de vecteurs W(ρ, θ, z)
(W =W u
ρ ρ
z
uz
ρ
+ Wθ u θ + Wz u z
)
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
uz
uρ +
uθ +
∂ρ
∂z
ρ ∂θ
1 ∂
1 ∂ Wθ ∂ Wz
div W =
ρWρ +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂θ
∂z
grad Φ =
uθ
M (ρ, θ, z) •
uρ
z
O
)
(
)
∂W 
 ∂ Wρ ∂ Wz 
 1 ∂ Wz ∂ Wθ 
1 ∂
 u θ + 
(ρ Wθ ) − ρ  u z
rot W = 
−
 u ρ + 
−
∂z 
∂ρ 
ρ∂ρ
∂θ 
ρ ∂θ
 ∂z
y
θ
x
∆Φ=
1 ∂  ∂ Φ  1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ
ρ
+
+
ρ ∂ ρ  ∂ ρ  ρ 2 ∂ θ 2 ∂ z 2
3/ SPHÉRIQUES – Champ scalaire Φ(r, θ, ϕ) – Champ de vecteurs W(r, θ, ϕ)
ur
z
(W =W u
uϕ
r
r
+ Wθ u θ + Wϕ u ϕ
)
M(r, θ, ϕ) •
θ
r
grad Φ =
uθ
O
ϕ
x
div W =
y
rot W =
∆Φ=
∂Φ
1∂Φ
1 ∂Φ
ur +
uθ +
uϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
(
∂ Wθ
1  ∂

sin θ Wϕ −
r sinθ  ∂θ
∂ϕ
(
)
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂ Wϕ
r
W
+
(
sin
θ
W
)
+
r
θ
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
r2 ∂ r
)

1  1 ∂ Wr ∂
 u r + 
−
r Wϕ
r  sin θ ∂ ϕ ∂ r

1 ∂2
1
∂2 Φ
1
∂ 
∂Φ
(
r Φ) +
+
 sin θ

2
2
2
2
r ∂ r2
∂
θ
∂θ 

r sin θ ∂ ϕ
r sin θ
4
(
)  u θ + 1r  ∂∂r (r Wθ ) − ∂∂Wθr  u ϕ


