Equations de Maxwell
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Chapitre IV Equations de Maxwell Chapitre IV Equations de Maxwell Le champ électromagnétique est étudié par le vecteur champ électrique E, le vecteur champ magnétique H ; le vecteur courant total r ; le vecteur déplacement électrique D et le vecteur d’induction magnétique B. Les lois de Biot-Savart et de Faraday permettent d’écrire. = () =− () 1 , ( ) 1 (IV. 1) , ( ) (IV. 2) où c est la vitesse de la lumière dans le vide. La première équation exprime la relation entre la circulation du vecteur champ magnétique le long du contour d’une certaine surface et le flux du vecteur courant total à travers cette surface. La deuxième équation lie la circulation du vecteur champ électrique à la dérivée par rapport au temps du courant d’induction magnétique à travers la surface limitée par le contour. Dans un milieu homogène au repos, on a les relations : !=" , =# , où " et # sont respectivement la constante diélectrique et la perméabilité magnétique du milieu. Le Vecteur courant total r est composé de deux parties : courant de conductibilité et courant de déplacement = $ +" & , & où $ est le coefficient de conductibilité du milieu. Alors, les équations (IV.1) et (IV.2) s’écrivent sous la forme : () () = 1 =− 1 ( ) '$ +" # ( ) & ( & . 57 , (IV. 3a) (IV. 3b) Chapitre IV Equations de Maxwell En utilisant la formule de Stokes, on obtient : , - , - ( ) et ( ) Alors, ces équations s’écrivent sous la forme : , . rot ( ) − '$ , . rot +" +# ( ) & (1 & & 1 & = 0, = 0. Sachant que la surface (S) est arbitraire et, la direction de la normale (n) est arbitraire aussi, on obtient donc : rot =$ +" rot = −# & , & (IV. 4a) & . & (IV. 4b) Ces équations sont appelées les équations de Maxwell sous forme différentielle. On a six équations différentielles qui lient les six composantes Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz. Les vecteurs : $ +" & & & & 4 sont solénoïdaux et leurs divergences, sont égales à : c div rot H et c div rot E et, par suite, sont nulles. Afin de démontrer que les vecteurs E et H sont solénoïdaux, on introduit les deux grandeurs suivantes : div " = 84 = 8, div # = 89 , qui sont les densités des charges électrique et magnétique. 58 (IV. 5) Chapitre IV Equations de Maxwell De l’équation : div ;$ + " & $ & < = div " + div =" > = 0 & " & on a : λ &8 ρ+ = 0, ε & En intégrant cette équation, on obtient : D 8 = 8B 4 CE F , où ρB est la valeur de 8 à t = 0. A t = 0, on a ρB = 0 et par conséquent : div E0 = 0 pour 8 = 0, on a : De l’équation (IV. 4b) on a aussi : div div E = 0. & & = div & & =0 si div HB = 0, on aura : div H = 0 quelque soit t. Cette dernière équation montre que la charge magnétique est nulle. le rotationnel de (IV. 4b) permet d’avoir − rot rot et, =# =∆ − grad div > = ce qui donne : & rot & #& & ;" + $ <, & & I &I $& + = =∆ − grad div >. & I "& "# (IV. 6) Si div E= 0, l’équation (IV.6) s’écrira sous la forme : I &I $& + = Δ . & I "& "# 59 (IV. 7) Chapitre IV Equations de Maxwell Pour un milieu isolant, $ = 0 et l’équation (IV.7) devient : ∂I E c = NI ΔE 'N = (. I ∂t √εμ (IV. 8) Si les vecteurs E et H ne dépendent pas de t, l’équation (IV.4b) induit à rot E = 0, et que E est un vecteur potentiel : E = grad S et div grad S = 8 8 soit ∆S = . " " pour 8 = 0, c'est-à-dire en absence de charges électriques, on a pour le potentiel S : ∆S = 0. Bibliographie 1- Coulomb J, Jobert G. Traité de géophysique interne. Masson et Cie, Paris 1973 2- Landau L. Lifchitz .E. Théorie des champs. Mir, Moscou 1972. 3- Smirnov V. Cours de mathématiques supérieures, T2. Mir, Moscou 1970. 60 (IV. 9)
