Logarithme

Lycée Camille SEE
2003 / 2004
LOGARITHME D’UNE FONCTION
T.ES
Page 1 sur 2
LIMITES
Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par
 x
xf 2 1ln)(
. f est une fonction
composée de type
uln
avec
x
xu 2 1)( 
.
Compléter :
 x x2
lim
et
 x x2
1lim
or
X Xlnlim
donc
 )(lim xf x
x
x
x2
1lim
0
0
or
X Xlnlim
donc
)(lim0xf x
 Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle de définition I
xxf ln3)( 
I = ] 0 ; +  [
321ln)(  xxxf
I = ] 1; +  [
xxf  1ln)(
I = ] – 1 ; +  [
xxxf 3ln)( 2
I = ] 0 ; +  [
xxxf ln)1()( 
I = ] 0 ; +  [
xxxf  3ln4)(
I = ] –  ; 3 [
12ln)(  xxf
I = ]
2
1
; +  [
x
xf ln1 )( 
I = ] 1; +  [
1
3
ln)( 2
x
xf
I = IR
 x
xf 3 1ln)(
I = ] –  ; – 3 [
2
ln
)( xx xf 
I = ] 0 ; +  [
3
ln
)( xx xf 
I = ] 0 ; +  [
xx x
xf ln
1
)( 
I = ] 0 ; +  [
xx
xf ln1 )( 
I = ] 0 ; +  [
x
x
xf ln
2
)( 
I = ] 1 ; +  [
xx
xf ln
2
)( 
I = ] 0 ; 1 [
DERIVEES
Soit f la fonction définie sur
;
3
4
par
32ln)(  xxf
. f est une fonction
composée de type
uln
avec
32)(  xxu
. D’après le théorème sur les fonctions
composées, la fonction
uln
est dérivable sur
;
3
4
et
)(')(ln')(' xuxuxf 
)(
)('
)('
)(
1
)(' xu
xu
xu
xu
xf 
.
ainsi dans le cas présent u’(x) = et f’(x) =
 Calculer les dérivées des fonctions définies précédemment.

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T.ES
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PRIMITIVES
Soit f la fonction définie sur
;
2
3
par
32 3
)(  x xf
. Si on note
32)(  xxu
alors u’(x) = 2 et on peut écrire
)(
)('
2
3
)( xu
xu
xf 
. Pour tout x de l’intervalle
;
2
3
2x – 3 > 0, et la fonction f est la dérivée de la fonction x 
ainsi la fonction F définie par F(x) = est une primitive de f.
1. Donner une primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle I
x
xf 2 )( 
I = ] 0 ; +  [
32 2
)(  x xf
I =
;
2
3
2
3
)(  x xf
I = ] 2 ; +  [
1
12
)( 2 xx x xf
I = IR
2
1
)( x
x
xf 
I = IR
13 6
)(  x xf
I =
;
3
1
2. Calculer la primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle I et vérifiant la
condition donnée.
3
12
)( 2 xx x xf
I = IR
F(0) = ln3
x
xf  32 )(
I
=] –  ; 3 [
F(2) = 1
32 1
)( 2 xx x xf
I = IR
F(0) = 0
xx
xf  51
2
3
)(
I = ] 2 ;5 [
F(3) = 0
3. On donne des fonctions f définies sur un intervalle I.
Pour chaque fonction indiquer une formule à utiliser pour calculer une primitive,
puis donner une primitive F.
1
2
)( 2 xx xf
I = IR
2
3
2
3
1
)(  xx xf
I = ] – 3 ; +  [
2
21
2
)(  xx xf
I = IR
1
1ln
)( 2
2
x
xx
xf
I = IR
 x xxf 1 ln2)(
I = ] 0 ; +  [
222 1ln12
)(  xx x xf
I = IR
4. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’intervalle I = ] – 4 ; 2 [ telle que
xxxxxg  2ln24ln4)(
.
On note g’ la dérivée de g, calculer g’(x). En déduire la primitive F de la fonction f
définie sur I par
x
x
xf 24 ln)(
et telle que F(1) = ln(125).