Logarithme

Lycée Camille SEE
2003 / 2004
T.ES
LOGARITHME D’UNE FONCTION
LIMITES


Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f ( x )  ln 1  2  . f est une fonction
x

composée de type ln  u avec u ( x )  1  2 .
x
Compléter :


et lim 1  2  
or lim ln X 
donc lim f ( x ) 
lim 2 
X 
x  
x  
x  
x
x


lim 1 
x0
x0 
2  

x
or lim ln X 
donc lim f ( x ) 
X 
x0
 Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle de définition I
f ( x )  3  ln x
f ( x )  ln 1  x 
f ( x)  (1  x) ln x
f ( x )  ln 2 x  1


f ( x )  ln  23 
 x  1
f ( x )  ln 2x
x
f ( x )  1  ln x
x
x
f ( x)  2 x
ln x
I=]0;+[
I=]–1;+[
I=]0;+[
I=] 1 ;+[
2
I = IR
I=]0;+[
I=]0;+[
I=]1;+[
f ( x )  ln  x  12 x  3


f ( x )  ln x  3 x
f ( x )   x  4  ln 3  x 
f ( x)  1
ln x


f ( x )  ln 1  3 
x

f ( x )  ln 3x
x
f ( x )  1  ln x
x
f ( x)  2  x
ln x
2
I = ] 1; +  [
I=]0;+[
I=]–;3[
I = ] 1; +  [
I=]–;–3[
I=]0;+[
I=]0;+[
I=]0;1[
DERIVEES


Soit f la fonction définie sur   4 ;  par f ( x )  ln 2 x  3. f est une fonction
 3

composée de type ln  u avec u ( x)  2 x  3 . D’après le théorème sur les fonctions


composées, la fonction ln  u est dérivable sur   4 ;  et f ' ( x )  ln' u ( x )   u ' ( x )
 3

u ' ( x)
.
f ' ( x)  1  u ' ( x) 
u ( x)
u ( x)
ainsi dans le cas présent u’(x) =
et f’(x) =
 Calculer les dérivées des fonctions définies précédemment.
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Lycée Camille SEE
2003 / 2004
T.ES
LOGARITHME D’UNE FONCTION
PRIMITIVES

Soit f la fonction définie sur  3 ;
 2

3 . Si on note u ( x)  2 x  3
 par f ( x ) 
2x  3

u ' ( x)
alors u’(x) = 2 et on peut écrire f ( x )  3 
. Pour tout x de l’intervalle
2 u ( x)
 3

;


 2x – 3 > 0, et la fonction f est la dérivée de la fonction x 
 2

ainsi la fonction F définie par F(x) =
est une primitive de f.
1. Donner une primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle I
f ( x)  2
f ( x)  2
I=]0;+[
x
2x  3
f ( x)  3
f ( x )  22 x  1
I=]2;+[
x2
x  x 1
f ( x)  x 2
f ( x)  6
I = IR
1 x
3x  1


I =   3 ; 
 2

I = IR


I =   1 ; 
 3

2. Calculer la primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle I et vérifiant la
condition donnée.
2
I =] –  ; 3 [ F(2) = 1
f ( x)  22 x  1
I = IR F(0) = ln3 f ( x ) 
3 x
x  x3
f ( x)  2 x  1
f ( x)  3  1
I = IR F(0) = 0
I = ] 2 ;5 [ F(3) = 0
x  2x  3
x2 5 x
3. On donne des fonctions f définies sur un intervalle I.
Pour chaque fonction indiquer une formule à utiliser pour calculer une primitive,
puis donner une primitive F.
2
f ( x)  1 
f ( x )  22 x
I = IR
I=]–3;+[
2
x  3  x  3
x 1
2
x ln x  1
f ( x)  2 x 2
f ( x) 
I = IR
I = IR
2
2
x 1
x 1
2x
f ( x)  2
1
f ( x )  2ln x     I = ] 0 ; +  [
I = IR
x  1 ln x 2  1 2
 x





 

4. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’intervalle I = ] – 4 ; 2 [ telle que
g ( x )   x  4  ln  x  4   2  x  ln 2  x  .
On note g’ la dérivée de g, calculer g’(x). En déduire la primitive F de la fonction f


définie sur I par f ( x )  ln  x  4  et telle que F(1) = ln(125).
2 x
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