Fonction racine nième (n IN, nÃ2)

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Fonction racine nième (n☻IN, nÃ2)
I. Racine nième.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit f
n
la fonction définie sur [0;+õ[ par f
n
(x)=x
n
.
 f
n
est définie, dérivable et donc continue sur [0;+õ[ et ┐x>0, f
n
′(x)=nx
n−1
 f
n
′(x) est donc toujours du signe de x d’où f
n
est strictement croissante sur [0;+õ[.
 f
n
(0)=0
n
=0 et lim
x↔+ õ
f
n
(x)= lim
x↔+ õ
x
n
=+õ
Donc d’après un corollaire du TVI, ┐a☻[0;+õ[ l’équation f
n
(x)=a admet une solution unique dans [0;+õ[.
Définition :
Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2.
L’unique réel positif γ solution de l’équation f
n
(x)=a c'est-à-dire l’unique réel positif γ tel que f
n
(γ)=a, c'est-à-dire tel
que γ
n
=a est appelé la racine n-ième de a. On note γ =
n
a.
Exemples :
n
0=0 car 0
n
=0
3
8=2 car 2
3
=8
Propriétés :
Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2.
° Si a=0,
n
a=
n
0=0 ° Si a>0,
n
a=a
1
n
Démonstration :
Si a>0, x
n
=a ñ lnx
n
=lna ñ nlnx=lna ñ lnx=
1
n
lna(car ný0) ñ lnx=lna
1
n
ñ x=a
1
n
Exemple :
3
8=8
1
3
=2
II. Etude de la fonction racine nième
1. Définition
Soit n un entier supérieur ou égal à 2,
On appelle fonction racine nième la fonction g
n
définie sur [0;+õ[ par g
n
(x)=
n
x=x
1
n
=
0 si x=0
e
1
n
lnx
si x>0
2. Dérivée
┐x>0, posons u(x)=
1
n
lnx alors ┐x>0, g
n
(x)=
n
x=x
1
n
=e
1
n
lnx
=e
u(x)
.
Sur ]0;+õ[, la fonction g
n
est dérivable comme composée de fonctions dérivables et
┐x>0, g
n
′(x)=u′(x)e
u(x)
=
1
nx
e
1
n
lnx
>0 car
1
nx
>0 et e
u(x)
>0
Etude de la dérivabilité en 0.
 τ
0( h)
=
g
n
(0+h)−g
n
(0)
h
=
g
n
(h)−g
n
(0)
h
=
h
1
n
−0
h
=h
1
n
−1
=h
1−n
n
=e
1−n
n
lnh
 nÃ2 donc 1−n<0 donc
1−n
n
<0
 lim
h↔0
lnh=-õ donc lim
h↔0
1−n
n
lnh=+õ
 D’où lim
h↔0
τ
0
(h)= lim
X↔+ õ
e
X
=+õ donc g
n
n’est pas dérivable en 0.

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3. Continuité
 g
n
est dérivable sur ]0;+õ[ donc g
n
est continue sur ]0;+õ[
 Etude de la continuité en 0.
lim
x↔0
x>0
g
n
(x)= lim
x↔0
x>0
e
1
n
lnx
= lim
X↔- õ
e
X
=0. Or g
n
(0)=0 donc lim
x↔0
g
n
(x)=g
n
(0) donc g
n
est continue en 0.
 En conclusion : g
n
est continue sur [0;+õ[
4. Tableau de variations
Les informations des questions précédentes permettent de déterminer le tableau des variations de f :
x
−
∞
+
∞
signe de
f
′
(
x
)
+
+õ
f
0
5. Représentation graphique
Dans un repère orthonormal, les courbes des fonctions f
n
: x→x
n
et g
n
: x →
n
x définies sur [0;+õ[ sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Exemple : pour n=3
f
3
: x→x
3
sur [0;+õ[
g
3
: x →
3
x sur [0;+õ[
III. Exercices
Exercice 1
Simplifier les écritures des nombres suivants :
A=
3
64 B=
3
2×
3
2
5
C=
4
256 D=
( )
6
3
3
E=
4
a
2
5
10
F= a
Exercice 2
Etudier les fonctions ci-dessous :
(a) f : x→
2
4
x
(a) f : x→
3
x
2
+1
20 1
1
x
y
Β
g
3
Β
f
3
y=x