Fonction racine nième (n IN, nÃ2)

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Fonction racine nième (n☻IN, nÃ2)
I.
Racine nième.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit fn la fonction définie sur [0;+õ[ par fn (x)=x n .
fn est définie, dérivable et donc continue sur [0;+õ[ et ┐x>0, fn ′(x)=nx n−1
fn ′(x) est donc toujours du signe de x d’où fn est strictement croissante sur [0;+õ[.
fn (0)=0 n =0 et lim fn (x)= lim x n =+õ
x↔+ õ
x↔+ õ
Donc d’après un corollaire du TVI, ┐a☻[0;+õ[ l’équation fn (x)=a admet une solution unique dans [0;+õ[.
Définition :
Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2.
L’unique réel positif γ solution de l’équation fn (x)=a c'est-à-dire l’unique réel positif γ tel que fn (γ)=a, c'est-à-dire tel
que γ n =a est appelé la racine n-ième de a. On note γ =
n
a.
Exemples :
n
3
0 =0 car 0n =0
8 =2 car 23=8
Propriétés :
Soit a un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 2.
° Si a=0,
n
n
a = 0 =0
° Si a>0,
n
1
a =a n
Démonstration :
Si a>0, x n =a ñ lnx n =lna ñ nlnx=lna ñ lnx=
Exemple :
II.
3
1
1
1
lna(car ný0) ñ lnx=lna n ñ x=a n
n
1
8 =8 3 =2
Etude de la fonction racine nième
1. Définition
Soit n un entier supérieur ou égal à 2,
1
0 si x=0
n
On appelle fonction racine nième la fonction gn définie sur [0;+õ[ par gn (x)= x =x n =  n1 lnx
si x>0
e
2. Dérivée
1
1
n
lnx
1
┐x>0, posons u(x)= lnx alors ┐x>0, gn (x)= x =x n =e n =e u( x).
n
Sur ]0;+õ[, la fonction gn est dérivable comme composée de fonctions dérivables et
1 n1 lnx
1
┐x>0, gn ′(x)=u′(x)e u( x)=
e
>0 car
>0 et e u( x)>0
nx
nx
Etude de la dérivabilité en 0.
1
1
1− n
1− n
−1
lnh
g (0+h)−g n (0)
g (h)−g n (0)
h n −0
τ0( h)= n
= n
=
=h n =h n =e n
h
h
h
1−n
nÃ2 donc 1−n<0 donc
<0
n
lim lnh=-õ donc lim 1−n lnh=+õ
h↔0
h↔0
D’où lim τ0(h)= lim
Fonction racine nième
h↔0
n
e X =+õ
X↔+ õ
donc gn n’est pas dérivable en 0.
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3. Continuité
gn est dérivable sur ]0;+õ[ donc gn est continue sur ]0;+õ[
Etude de la continuité en 0.
1
lim gn (x)= lim e n
x↔0
x>0
lnx
x↔0
x>0
= lim e X =0. Or gn (0)=0 donc lim gn (x)=gn (0) donc gn est continue en 0.
X↔- õ
x↔0
En conclusion : gn est continue sur [0;+õ[
4. Tableau de variations
Les informations des questions précédentes permettent de déterminer le tableau des variations de f :
x
+∞
−∞
+
signe de f ′(x)
+õ
f
0
5. Représentation graphique
n
Dans un repère orthonormal, les courbes des fonctions fn : x→x n et gn : x → x définies sur [0;+õ[ sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
y
Βf3
y=x
Βg3
Exemple : pour n=3
1
f3 :
x→x 3
sur [0;+õ[
3
g3 : x → x sur [0;+õ[
0
III.
1
2 x
Exercices
Exercice 1
Simplifier les écritures des nombres suivants :
3
A= 64
3
3
B= 2 × 25
C=
4
256
3
( 3)
D=
6
4
E=
10

a 
2
5
Exercice 2
Etudier les fonctions ci-dessous :
(a) f : x→
2
4
x
3
(a) f : x→ x 2 +1
Fonction racine nième
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F=
a