Taux d'accroissement et limites : exercices et exemples

Utiliser le taux d’accroissement pour déterminer une limite
Définitions :
1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a
Pour x différent de a, le rapport f(x)-f(a)
x-a est le taux d’accroissement de f entre a et x.
2. si f est dérivable en a, alors le limite du taux d’accroissement en a est f’(a)
Méthode :
On reconnaît un quotient de la forme f(x)-f(a)
x-a . Si f est dérivable en a , la limite en a est f '(a).
Exemple n°1 :
Soit g une fonction définie sur IR-{-1} par g(x) = lnx
x-1
lim
x → 1lnx = 0 et lim x → 1(x-1) = 0 donc en 1, nous avons une forme indéterminée
Remarquons que g(x) = lnx –ln1
x-1 . La fonction ln est dérivable sur IR+* et ln’(x) = 1
x
donc lim
x → 1
lnx –ln1
x-1 = ln’(1) = 1
1 = 1 et lim
x → 1g(x) = 1
Exemple n°2 :
Soit h une fonction définie sur IR* par h(x) = cos x -1
x
en 0, nous avons une forme indéterminée car lim
x → 0(cos x – 1) = 0
Remarquons que h(x) =cos x – cos 0
x – 0 . La fonction cos est dérivable sur IR et cos’(x) = - sinx
donc lim
x → 0
cos x – cos 0
x – 0 = cos’(0) = - sin(0)= 0 et lim
x → 0h(x) = 0
Exercice :
Démontrer que :
lim
x → 0 ex -1
x = 1 ; lim
x → π
2
cos x
x - π
2
= -1 ; lim
x → 0 tan x
x = 1 ; lim
x → 4 2x +1 -3
x - 4 = 1
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