Utiliser le taux d`accroissement pour déterminer une limite

Utiliser le taux d’accroissement pour déterminer une limite
Définitions :
1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a
Pour x différent de a, le rapport
f(x)-f(a)
est le taux d’accroissement de f entre a et x.
x-a
2. si f est dérivable en a, alors le limite du taux d’accroissement en a est f’(a)
Méthode :
On reconnaît un quotient de la forme
f(x)-f(a)
. Si f est dérivable en a , la limite en a est f '(a).
x-a
Exemple n°1 :
Soit g une fonction définie sur IR-{-1} par g(x) =
lnx
x-1
lim lnx = 0 et lim (x-1) = 0 donc en 1, nous avons une forme indéterminée
x→1
x→1
Remarquons que g(x) =
1
lnx –ln1
. La fonction ln est dérivable sur IR+* et ln’(x) =
x
x-1
lnx –ln1
1
= ln’(1) = = 1 et lim g(x) = 1
1
x → 1 x-1
x→1
donc lim
Exemple n°2 :
Soit h une fonction définie sur IR* par h(x) =
cos x -1
x
en 0, nous avons une forme indéterminée car lim (cos x – 1) = 0
x→0
cos x – cos 0
. La fonction cos est dérivable sur IR et cos’(x) = - sinx
Remarquons que h(x) =
x–0
cos x – cos 0
= cos’(0) = - sin(0)= 0 et lim h(x) = 0
x–0
x→0
x→0
donc lim
Exercice :
Démontrer que :
ex -1
cos x
lim
= 1 ; lim
= -1 ;
π
x
π
x→0
x→
x
2
2
tan x
=1 ;
x→0 x
lim
lim
x→4
2x +1 -3 1
=
x-4
3