Utiliser le taux d’accroissement pour déterminer une limite Définitions : 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a Pour x différent de a, le rapport f(x)-f(a) est le taux d’accroissement de f entre a et x. x-a 2. si f est dérivable en a, alors le limite du taux d’accroissement en a est f’(a) Méthode : On reconnaît un quotient de la forme f(x)-f(a) . Si f est dérivable en a , la limite en a est f '(a). x-a Exemple n°1 : Soit g une fonction définie sur IR-{-1} par g(x) = lnx x-1 lim lnx = 0 et lim (x-1) = 0 donc en 1, nous avons une forme indéterminée x→1 x→1 Remarquons que g(x) = 1 lnx –ln1 . La fonction ln est dérivable sur IR+* et ln’(x) = x x-1 lnx –ln1 1 = ln’(1) = = 1 et lim g(x) = 1 1 x → 1 x-1 x→1 donc lim Exemple n°2 : Soit h une fonction définie sur IR* par h(x) = cos x -1 x en 0, nous avons une forme indéterminée car lim (cos x – 1) = 0 x→0 cos x – cos 0 . La fonction cos est dérivable sur IR et cos’(x) = - sinx Remarquons que h(x) = x–0 cos x – cos 0 = cos’(0) = - sin(0)= 0 et lim h(x) = 0 x–0 x→0 x→0 donc lim Exercice : Démontrer que : ex -1 cos x lim = 1 ; lim = -1 ; π x π x→0 x→ x 2 2 tan x =1 ; x→0 x lim lim x→4 2x +1 -3 1 = x-4 3