Université François-Rabelais de Tours
Master de Mathématiques
Partiel
Algèbre approfondie Semestre 8
L’épreuve dure 2h. Les trois exercices sont indépendants. La notation tiendra compte de la clarté de la
rédaction. Toute affirmation doit être justifiée.
Exercice 1. L’objectif de cet exercice est de montrer que Z[i√3] = {a+ib√3|(a, b)∈Z2}n’est pas un
anneau factoriel. On considère l’application
N:Z[i√3] −→ N
a+ib√37−→ a2+ 3b2.
1) Montrer que N(xy) = N(x)N(y)pour tout x, y ∈Z[i√3].
2) Déterminer les inversibles de Z[i√3].
3) Montrer que les éléments 2,1 + i√3et 1−i√3sont irréductibles dans Z[i√3].
4) Décomposer 4 de deux manières différentes et conclure.
Exercice 2. Soit K=Q(3
√2, i√3) une extension de Qincluse dans C.
1) Calculer [Q(i√3) : Q]et déterminer le polynôme minimal de i√3.
2) Calculer [Q(3
√2) : Q]et déterminer le polynôme minimal de 3
√2.
3) Calculer [K:Q]et donner une base de Ksur Q.
4) Déterminer l’ensemble des éléments de Q(3
√2) vérifiant x2∈Q.
5) Déterminer l’ensemble des éléments de Kvérifiant x2∈Q.
[Aide : On pourra commencer par déterminer les éléments de x∈Q(3
√2) i√3tel que x2∈Q.]
6) Montrer que si L⊂Kest un corps tel que [L:Q]=2alors L=Q(i√3).
Exercice 3. Soit P=X3+X+ 1 ∈F2[X]. On rappelle que (P)désigne l’idéal engendré par (P)dans
F2[X]et on pose F=F2[X]/(P). On désigne par Qla classe de Q∈F2[X]dans F.
1) Justifier que Fest un corps.
On pose α=X∈F. On sait que Fest un espace vectoriel de dimension 3 sur F2et que B:= (1, α, α2)
forme une base de F. Ici, on a noté simplement 1au lieu de 1pour simplifier les notations.
2) Exprimer α4+α+ 1 dans la base B.
3) Exprimer 1
1 + αdans la base B.
On considère l’application linéaire mαdéfinie par
mα:F−→ F
Q7−→ αQ.
4) Déterminer la matrice Mde mαdans la base B.
5) Montrer que la famille (I3, M, M2)forme une famille libre de M3(F2).
6) Montrer que M3=M+I3et en déduire que Vect(I3, M, M 2)est un sous-anneau de M3(F2).
Les questions précédentes permettent de montrer que l’application
ϕ:F−→ Vect(I3, M, M2)
a+bα +cα27−→
a c b
b a +c b +c
c b a +c
est un isomorphisme d’anneau.
7) Déterminer ϕ(1 + α)∈M3(F2)et calculer son inverse.
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