Feuille d`exercices 1

Université Paris 6
LM372
Année 2011-2012
Feuille d’exercices 1
Exercice 1 Soit (A, +, ×) un anneau. On dit que x ∈ A est nilpotent ssi il existe n ∈ N tel
que xn = 0.
1. Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible.
2. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors xy et x + y sont nilpotents.
3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?
Exercice 2 Soit (A, +, ×) un anneau.
On appelle centre de A l’ensemble C = {x ∈ A/∀y ∈ A, xy = yx}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Exercice 3 Soient A et B deux anneaux. On définit sur A × B les lois
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
(x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 )
1. Montrer que A × B est alors un anneau.
2. Si A et B sont des corps, en est-il de même pour A × B ?
Exercice 4 Montrer que si A1 , . . . , An sont des sous-anneaux de A alors A1 ∩ . . . ∩ An est un
sous-anneau de A.
Exercice 5 Soit Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 }.
1. Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour les lois usuelles de C.
2. Déterminer les inversibles de Z[i].
Exercice 6 Soit A un anneau commutatif. On dit que a ∈ A est nilpotent s’il existe n ∈ N∗
tel que an = 0. On pose N (A) = {a ∈ A : a est nilpotent} .
1. Dans cette question, A = Z/72Z. Montrer que 6 ∈ N (A) puis que N (A) = λ6 : λ ∈ Z .
2. Que peut-on dire de N (A) si A est intègre ?
3. Montrer que N (A) est un idéal de A
Exercice 7 Soit A un anneau fini commutatif intègre (i.e. xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0). Montrer
que c’est un corps, i.e. que tout élément non nul est inversible.
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