Feuille d`exercices 1

Universit´e Paris 6 Ann´ee 2011-2012
LM372
Feuille d’exercices 1
Exercice 1 Soit (A, +,×) un anneau. On dit que x∈Aest nilpotent ssi il existe n∈Ntel
que xn= 0.
1. Montrer que si xest nilpotent alors 1 −xest inversible.
2. Montrer que si xet ysont nilpotents et commutent, alors xy et x+ysont nilpotents.
3. Un corps admet-il des ´el´ements nilpotents ?
Exercice 2 Soit (A, +,×) un anneau.
On appelle centre de Al’ensemble C={x∈A/∀y∈A, xy =yx}.
Montrer que Cest un sous-anneau de A.
Exercice 3 Soient Aet Bdeux anneaux. On d´efinit sur A×Bles lois
(x, y)+(x0, y0) = (x+x0, y +y0)
(x, y)(x0, y0) = (xx0, yy0)
1. Montrer que A×Best alors un anneau.
2. Si Aet Bsont des corps, en est-il de mˆeme pour A×B?
Exercice 4 Montrer que si A1, . . . , Ansont des sous-anneaux de Aalors A1∩. . . ∩Anest un
sous-anneau de A.
Exercice 5 Soit Z[i] = {a+ib, (a, b)∈Z2}.
1. Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour les lois usuelles de C.
2. D´eterminer les inversibles de Z[i].
Exercice 6 Soit Aun anneau commutatif. On dit que a∈Aest nilpotent s’il existe n∈N∗
tel que an= 0. On pose N(A) = {a∈A:aest nilpotent}.
1. Dans cette question, A=Z/72Z. Montrer que 6 ∈ N (A) puis que N(A) = λ6 : λ∈Z.
2. Que peut-on dire de N(A) si Aest int`egre ?
3. Montrer que N(A) est un id´eal de A
Exercice 7 Soit Aun anneau fini commutatif int`egre (i.e. xy = 0 ⇒x= 0 ou y= 0). Montrer
que c’est un corps, i.e. que tout ´el´ement non nul est inversible.
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