Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n4
M1, Algèbre Semestre 8
Exercice 1
1) (a) Montrer que 2est irrationnel.
(b) Montrer que pest irrationnel pour tout nombre premier p.
2) Soit nun nombre entier qui n’est pas divisible par un carré parfait.
(a) Montrer qu’il existe un nombre premier ptel que p|net p2-n.
(b) Montrer que nest irrationnel.
3) Soit nN. Montrer que nest soit entier soit irrationnel.
4) Soit n1, n2deux entiers qui ne sont pas des carrés parfaits.
(a) Montrer que n1+n2est irrationnel.
(b) Montrer que n1+n2est algébrique sur Qet déterminer PQ[X]tel que P(n1+n2)=0.
(c) Déterminer le polnôme minimal de n1+n2.
5) Calculer [Q(n1+n2) : Q]et [Q(n1,n2) : Q].
Exercice 2
1) Soit P=X2+X+ 1 F2[X]. On pose F:= F2/(P)et α=Xdans F.
(a) Montrer que Pest irréductible.
(b) Montrer que F=F2[α] = {a0+a1α|a0, a1F2}.
(c) Montrer que αest racine de Pet factoriser Pdans F.
2) Soit P=X3+X+ 1 F2[X]. On pose F:= F2/(P)et α=Xdans F.
(a) Montrer que Pest irréductible.
(b) Montrer que F=F2[α] = {a0+a1α+a2α2|a0, a1, a2F2}.
(c) Montrer que αest racine de Pet factoriser Pdans F.
Exercice 3
1) Déterminer le polynôme minimal de 2sur Q.
2) Déterminer le polynôme minimal de 3
2sur Q.
3) Déterminer le polynôme minimal de n
2sur Q.
4) Déterminer le polynôme minimal de 3sur Q[2].
5) Déterminer le polynôme minimal de 4
2sur Q[2].
Exercice 4
1) Déterminer [Q(2, i),Q].
2) Déterminer [Q(5
2,2),Q].
3) Déterminer [Q(24
2,4
2),Q].
4) Déterminer [Q(10
2,6
2),Q].
5) Déterminer [Q(m
2,n
2),Q]pour tout (m, n)N2.
Exercice 5 Calculer [Q(t) : Q]t=2 + 3
p2 + 2.
Exercice 6
1) Calculer le polynôme minimal de cos 2π
5.
2) Calculer cos 2π
5et proposer une construction à la règle et au compas du pentagone régulier.
3) Est-ce qu’on peut trisecter l’angle 2π
5à la règle et au compas ?
4) Calculer le polynôme minimal de cos 2π
7. Montrer que l’heptagone régulier n’est pas constructible à
la règle et au compas.
1
Exercice 7 Le but de cet exercice est de donner un exemple de nombre algébrique de degré 4 sur Qqui
n’est pas constructible la à la règle et au compas. On considère le polynôme
f(X) = X4X1.
1) Montrer que fest irréductible dans Q[X].
2) Montrer que fa deux racines réelles α1et α2et deux racines complexes conjuguées. (On pourra
étudier la fonction polynomiale f(x).)
3) On pose
P(X) = (Xα1)(Xα2) = X2+aX +b
Montrer que avérifie a6+ 4a21=0.
[On pourra diviser X4
X1par X2+aX +bpour en déduire un système d’équation.]
4) Montrer que le polynôme X3+ 4X1est irréductible dans Q[X].
5) En déduire que an’est pas constructible.
6) En déduire que α1ou α2n’est pas constructible.
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