Feuille de Travaux Dirigés n 4
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Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 4
M1, Algèbre
Exercice 1
1) (a) Montrer que
(b) Montrer que
Semestre 8
√
√
2 est irrationnel.
p est irrationnel pour tout nombre premier p.
2) Soit n un nombre entier qui n’est pas divisible par un carré parfait.
(a) Montrer qu’il existe un nombre premier p tel que p | n et p2 - n.
√
(b) Montrer que n est irrationnel.
√
3) Soit n ∈ N. Montrer que n est soit entier soit irrationnel.
4) Soit n1 , n2 deux entiers qui ne sont pas des carrés parfaits.
√
√
(a) Montrer que n1 + n2 est irrationnel.
√
√
√
√
(b) Montrer que n1 + n2 est algébrique sur Q et déterminer P ∈ Q[X] tel que P ( n1 + n2 ) = 0.
√
√
(c) Déterminer le polnôme minimal de n1 + n2 .
√
√
√ √
5) Calculer [Q( n1 + n2 ) : Q] et [Q( n1 , n2 ) : Q].
Exercice 2
1) Soit P = X 2 + X + 1 ∈ F2 [X]. On pose F := F2 /(P ) et α = X dans F .
(a) Montrer que P est irréductible.
(b) Montrer que F = F2 [α] = {a0 + a1 α | a0 , a1 ∈ F2 }.
(c) Montrer que α est racine de P et factoriser P dans F .
2) Soit P = X 3 + X + 1 ∈ F2 [X]. On pose F := F2 /(P ) et α = X dans F .
(a) Montrer que P est irréductible.
(b) Montrer que F = F2 [α] = {a0 + a1 α + a2 α2 | a0 , a1 , a2 ∈ F2 }.
(c) Montrer que α est racine de P et factoriser P dans F .
Exercice 3
1) Déterminer le polynôme minimal de
2) Déterminer le polynôme minimal de
3) Déterminer le polynôme minimal de
4) Déterminer le polynôme minimal de
5) Déterminer le polynôme minimal de
√
2 sur Q.
√
3
2 sur Q.
√
n
2 sur Q.
√
√
3 sur Q[ 2].
√
√
4
2 sur Q[ 2].
Exercice 4
√
1) Déterminer [Q( 2, i), Q].
√ √
2) Déterminer [Q( 5 2, 2), Q].
√ √
3) Déterminer [Q( 24 2, 4 2), Q].
√ √
4) Déterminer [Q( 10 2, 6 2), Q].
√ √
5) Déterminer [Q( m 2, n 2), Q] pour tout (m, n) ∈ N2 .
p
√
√
3
Exercice 5 Calculer [Q(t) : Q] où t = 2 + 2 + 2.
Exercice 6
1) Calculer le polynôme minimal de cos 2π
5 .
2) Calculer cos 2π
5 et proposer une construction à la règle et au compas du pentagone régulier.
3) Est-ce qu’on peut trisecter l’angle
2π
5
4) Calculer le polynôme minimal de cos
la règle et au compas.
à la règle et au compas ?
2π
7 .
Montrer que l’heptagone régulier n’est pas constructible à
1
Exercice 7 Le but de cet exercice est de donner un exemple de nombre algébrique de degré 4 sur Q qui
n’est pas constructible la à la règle et au compas. On considère le polynôme
f (X) = X 4 − X − 1.
1) Montrer que f est irréductible dans Q[X].
2) Montrer que f a deux racines réelles α1 et α2 et deux racines complexes conjuguées. (On pourra
étudier la fonction polynomiale f (x).)
3) On pose
P (X) = (X − α1 )(X − α2 ) = X 2 + aX + b
Montrer que a vérifie a6 + 4a2 − 1 = 0.
[ On pourra diviser X 4 − X − 1 par X 2 + aX + b pour en déduire un système d’équation.]
4) Montrer que le polynôme X 3 + 4X − 1 est irréductible dans Q[X].
5) En déduire que a n’est pas constructible.
6) En déduire que α1 ou α2 n’est pas constructible.
2
