Feuille de Travaux Dirigés n 4

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦4
M1, Algèbre Semestre 8
Exercice 1
1) (a) Montrer que √2est irrationnel.
(b) Montrer que √pest irrationnel pour tout nombre premier p.
2) Soit nun nombre entier qui n’est pas divisible par un carré parfait.
(a) Montrer qu’il existe un nombre premier ptel que p|net p2-n.
(b) Montrer que √nest irrationnel.
3) Soit n∈N. Montrer que √nest soit entier soit irrationnel.
4) Soit n1, n2deux entiers qui ne sont pas des carrés parfaits.
(a) Montrer que √n1+√n2est irrationnel.
(b) Montrer que √n1+√n2est algébrique sur Qet déterminer P∈Q[X]tel que P(√n1+√n2)=0.
(c) Déterminer le polnôme minimal de √n1+√n2.
5) Calculer [Q(√n1+√n2) : Q]et [Q(√n1,√n2) : Q].
Exercice 2
1) Soit P=X2+X+ 1 ∈F2[X]. On pose F:= F2/(P)et α=Xdans F.
(a) Montrer que Pest irréductible.
(b) Montrer que F=F2[α] = {a0+a1α|a0, a1∈F2}.
(c) Montrer que αest racine de Pet factoriser Pdans F.
2) Soit P=X3+X+ 1 ∈F2[X]. On pose F:= F2/(P)et α=Xdans F.
(a) Montrer que Pest irréductible.
(b) Montrer que F=F2[α] = {a0+a1α+a2α2|a0, a1, a2∈F2}.
(c) Montrer que αest racine de Pet factoriser Pdans F.
Exercice 3
1) Déterminer le polynôme minimal de √2sur Q.
2) Déterminer le polynôme minimal de 3
√2sur Q.
3) Déterminer le polynôme minimal de n
√2sur Q.
4) Déterminer le polynôme minimal de √3sur Q[√2].
5) Déterminer le polynôme minimal de 4
√2sur Q[√2].
Exercice 4
1) Déterminer [Q(√2, i),Q].
2) Déterminer [Q(5
√2,√2),Q].
3) Déterminer [Q(24
√2,4 √2),Q].
4) Déterminer [Q(10
√2,6 √2),Q].
5) Déterminer [Q(m
√2,n √2),Q]pour tout (m, n)∈N2.
Exercice 5 Calculer [Q(t) : Q]où t=√2 + 3
p2 + √2.
Exercice 6
1) Calculer le polynôme minimal de cos 2π
5.
2) Calculer cos 2π
5et proposer une construction à la règle et au compas du pentagone régulier.
3) Est-ce qu’on peut trisecter l’angle 2π
5à la règle et au compas ?
4) Calculer le polynôme minimal de cos 2π
7. Montrer que l’heptagone régulier n’est pas constructible à
la règle et au compas.
1

Exercice 7 Le but de cet exercice est de donner un exemple de nombre algébrique de degré 4 sur Qqui
n’est pas constructible la à la règle et au compas. On considère le polynôme
f(X) = X4−X−1.
1) Montrer que fest irréductible dans Q[X].
2) Montrer que fa deux racines réelles α1et α2et deux racines complexes conjuguées. (On pourra
étudier la fonction polynomiale f(x).)
3) On pose
P(X) = (X−α1)(X−α2) = X2+aX +b
Montrer que avérifie a6+ 4a2−1=0.
[On pourra diviser X4 −X−1par X2+aX +bpour en déduire un système d’équation.]
4) Montrer que le polynôme X3+ 4X−1est irréductible dans Q[X].
5) En déduire que an’est pas constructible.
6) En déduire que α1ou α2n’est pas constructible.
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