[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 Sous-anneau Exercice 1 [ 02237 ] [correction] Soit d ∈ N, on note o h√ i n √ Z d = a + b d | (a, b) ∈ Z2 h√ i Montrer que Z d est un sous-anneau de (R, +, ×). Exercice 2 On note [ 02238 ] [correction] n n o | n ∈ Z, k ∈ N 10k l’ensemble des nombres décimaux. Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ×). D= Exercice 3 [ 02239 ] [correction] [Anneau des entiers de Gauss 1777-1855) On note Z [i] = a + ib | (a, b) ∈ Z2 a) Montrer que Z [i] est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication des nombres complexes. b) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau Z [i]. Exercice 4 Soit [ 02240 ] Exercice 5 Soit [ 02241 ] [correction] nm o A= /m ∈ Z et n ∈ N? , impair n a) Montrer que A est un sous anneau de (Q, +, ×). b) Quels en sont les éléments inversibles ? [correction] nm /m ∈ Z et n ∈ N 2n a) Montrer que A est un sous anneau de (Q, +, ×). b) Quels en sont les éléments inversibles ? A= o Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections Corrections Exercice h√ i h√ i 1 : [énoncé] Z d ⊂ R, 1 ∈ Z d . h√ i √ √ Soient x, y ∈ Z d , on peut écrire x = a + b d et y = a0 + b0 d avec a, b, a0 , b0 ∈ Z. h√ i √ x − y = (a − a0 ) + (b − b0 ) d avec a − a0 , b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ Z d . h√ i √ xy = (aa0 + bb0 d) + (ab0 + a0 b) d avec aa0 + bb0 d, ab0 + a0 b ∈ Z donc xy ∈ Z d . h√ i Ainsi Z d est un sous-anneau de (R, +, ×). Exercice 2 : [énoncé] D ⊂ Q et 1 ∈ D car 1 = 1010 . m Soient x, y ∈ D, on peut écrire x = 10nk et y = 10 ` avec n, m ∈ Z et k, ` ∈ N. ` k n10 −m10 ` k x − y = 10k+` avec n10 − m10 ∈ Z et k + ` ∈ N donc x − y ∈ D. xy = 10nm k+` avec nm ∈ Z et k + ` ∈ N donc xy ∈ D. Ainsi D est un sous-anneau de (Q, +, ×). Exercice 3 : [énoncé] a) Montrer que Z [i] est un sous anneau de (C, +, ×). Z [i] ⊂ C, 1 ∈ Z [i]. ∀x, y ∈ Z [i], on peut écrire x = a + i.b et y = a0 + i.b0 avec a, b, a0 , b0 ∈ Z. x − y = (a − a0 ) + i.(b − b0 ) avec a − a0 , b − b0 ∈ Z donc x − y ∈ Z [i]. xy = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b) avec aa0 − bb0 , ab0 + a0 b ∈ Z donc xy ∈ Z [i]. Ainsi Z [i] est un sous-anneau de (C, +, ×). b) Soit x = a + i.b ∈ Z [i] avec a, b ∈ Z. Si x est inversible dans Z [i], il l’est aussi dans C et de même inverse. Donc x 6= 0 (i.e. (a, b) 6= (0, 0)) et x−1 = d’où a2 Par suite ab a2 +b2 Exercice 4 : [énoncé] a) A ⊂ Q, 1 ∈ A, ∀x, y ∈ A, x − y ∈ A et xy ∈ A : clair. Par suite A est un sous anneau de (Q, +, ×). b) x ∈ A est inversible si, et seulement si, il existe y ∈ A tel que xy = 1. m0 0 0 0 x= m n , y = n0 avec n, n impairs. xy = 1 ⇒ mm = nn donc m est impair et la réciproque est immédiate. Ainsi nm o U (A) = /m ∈ Z, n ∈ N? impairs n Exercice 5 : [énoncé] a) A ⊂ Q, 1 ∈ A, ∀x, y ∈ A, x − y ∈ A et xy ∈ A : facile. Ainsi A est un sous anneau de (Q, +, ×). b) x ∈ A est inversible si, et seulement si, il existe y ∈ A tel que xy = 1. 0 Puisqu’on peut écrire x = 2mn , y = 2mn0 avec m, m0 ∈ Z et n, n0 ∈ N, xy = 1 ⇒ mm0 = 2n+n 0 Par suite m est, au signe près, une puissance de 2. La réciproque est immédiate. Finalement U (A) = ±2k /k ∈ Z 1 a − i.b ∈ Z [i] = 2 a + ib a + b2 a b ∈ Z et 2 ∈Z 2 +b a + b2 ∈ Z or a2ab 2 +b 6 a a2 +b2 b a2 +b2 2 1 2 donc ab = 0. 1 a 1 b Si b = 0 alors = ∈ Z donne a = ±1. Si a = 0 alors = ∈ Z donne b = ±1. Ainsi, si x = a + i.b est inversible, x = 1, i, −1 ou −i. La réciproque est immédiate. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD