Sous-anneau

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Sous-anneau
Exercice 1 [ 02237 ] [correction]
Soit d∈N, on note
Zh√di=na+b√d|(a, b)∈Z2o
Montrer que Zh√diest un sous-anneau de (R,+,×).
Exercice 2 [ 02238 ] [correction]
On note
D=nn
10k|n∈Z, k ∈No
l’ensemble des nombres décimaux.
Montrer que Dest un sous-anneau de (Q,+,×).
Exercice 3 [ 02239 ] [correction]
[Anneau des entiers de Gauss 1777-1855)
On note
Z[i] = a+ib |(a, b)∈Z2
a) Montrer que Z[i]est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication
des nombres complexes.
b) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau Z[i].
Exercice 4 [ 02240 ] [correction]
Soit
A=nm
n/m ∈Zet n∈N?,impairo
a) Montrer que Aest un sous anneau de (Q,+,×).
b) Quels en sont les éléments inversibles ?
Exercice 5 [ 02241 ] [correction]
Soit
A=nm
2n/m ∈Zet n∈No
a) Montrer que Aest un sous anneau de (Q,+,×).
b) Quels en sont les éléments inversibles ?
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Zh√di⊂R,1∈Zh√di.
Soient x, y ∈Zh√di, on peut écrire x=a+b√det y=a0+b0√davec
a, b, a0, b0∈Z.
x−y= (a−a0)+(b−b0)√davec a−a0, b −b0∈Zdonc x−y∈Zh√di.
xy = (aa0+bb0d)+(ab0+a0b)√davec aa0+bb0d, ab0+a0b∈Zdonc xy ∈Zh√di.
Ainsi Zh√diest un sous-anneau de (R,+,×).
Exercice 2 : [énoncé]
D ⊂ Qet 1∈ D car 1 = 1
100.
Soient x, y ∈ D, on peut écrire x=n
10ket y=m 10`avec n, m ∈Zet k, ` ∈N.
x−y=n10`−m10k
10k+`avec n10`−m10k∈Zet k+`∈Ndonc x−y∈ D.
xy =nm
10k+`avec nm ∈Zet k+`∈Ndonc xy ∈ D.
Ainsi Dest un sous-anneau de (Q,+,×).
Exercice 3 : [énoncé]
a) Montrer que Z[i]est un sous anneau de (C,+,×).Z[i]⊂C,1∈Z[i].
∀x, y ∈Z[i], on peut écrire x=a+i.b et y=a0+i.b0avec a, b, a0, b0∈Z.
x−y= (a−a0) + i.(b−b0)avec a−a0, b −b0∈Zdonc x−y∈Z[i].
xy = (aa0−bb0) + i(ab0+a0b)avec aa0−bb0, ab0+a0b∈Zdonc xy ∈Z[i].
Ainsi Z[i]est un sous-anneau de (C,+,×).
b) Soit x=a+i.b ∈Z[i]avec a, b ∈Z.
Si xest inversible dans Z[i], il l’est aussi dans Cet de même inverse.
Donc x6= 0 (i.e. (a, b)6= (0,0)) et
x−1=1
a+ib =a−i.b a2+b2∈Z[i]
d’où a
a2+b2∈Zet b a2+b2∈Z
Par suite ab
a2+b2∈Zor 
ab
a2+b2
61
2donc ab = 0.
Si b= 0 alors a
a2+b2=1 a∈Zdonne a=±1.
Si a= 0 alors b
a2+b2=1 b∈Zdonne b=±1.
Ainsi, si x=a+i.b est inversible, x= 1, i, −1ou −i.
La réciproque est immédiate.
Exercice 4 : [énoncé]
a) A⊂Q,1∈A,∀x, y ∈A, x −y∈Aet xy ∈A: clair.
Par suite Aest un sous anneau de (Q,+,×).
b) x∈Aest inversible si, et seulement si, il existe y∈Atel que xy = 1.
x=m
n, y =m0 n0avec n, n0impairs. xy = 1 ⇒mm0=nn0donc mest impair et la
réciproque est immédiate.
Ainsi
U(A) = nm
n/m ∈Z, n ∈N?impairso
Exercice 5 : [énoncé]
a) A⊂Q,1∈A,∀x, y ∈A, x −y∈Aet xy ∈A: facile.
Ainsi Aest un sous anneau de (Q,+,×).
b) x∈Aest inversible si, et seulement si, il existe y∈Atel que xy = 1.
Puisqu’on peut écrire x=m
2n, y =m0
2n0avec m, m0∈Zet n, n0∈N,
xy = 1 ⇒mm0= 2n+n0
Par suite mest, au signe près, une puissance de 2.
La réciproque est immédiate.
Finalement
U(A) = ±2k/k ∈Z
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