Td5

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Solutions Feuille de Travaux Dirigés n◦5
M1, Algèbre Semestre 8
Exercice 1 Soit Kun corps et Lune extension de K. Soient α, β ∈Ldeux nombres algébriques sur K
de degrés respectifs pet q.
1) Montrer que
[K(α, β) : K]≤pq.
2) On suppose que pet qsont premiers entre eux. Montrer que
[K(α, β) : K] = pq.
Exercice 2 On considère le polynôme P(X) = X4+X3+ 2X+ 1.
1) Vérifier que dans Z/2Z[X], le seul polynôme de degré 2irréductible est X2+X+ 1. En déduire que
Pest irréductible dans Z/2Z[X].
2) Soit α∈Cune racine de P. Déterminer le degré [Q(α) : Q]et donner une base de Q(α)sur Q.
3) Exprimer dans cette base les nombres suivants :
α4, α5,1
α,1 α2+α+ 1.
Exercice 3 Déterminer le corps de décomposition des polynômes suivant ainsi que le degré de l’extension :
1) x4−1
Solution: E=Q(1,−1, i, −i) = Q(i), and thus [E:Q]=2.
2) x4+ 1
Solution: The roots of x4+ 1 are eπi/4,e3πi/4,e5πi/4, and e7πi/4. Therefore E=Q(eπi/4), and
[E:Q] = 4 (since x4+1 is irreducible over Q, for example by looking at f(x+1) and using Eisenstein).
3) x4−4x2+ 2
Solution: The roots are t1=p2 + √2,t2=p2−√2,t3=−t1and t4=−t2. Thus E=Q(t1, t2).
However we claim that t2∈Q(t1), and hence E=Q(t1). To see this, note that t1t2=√4−2 = √2,
and √2 = t2
1−2. Therefore t2=t1−2/t1∈Q(t1). Thus [E:Q]=4(because x4−4x2+ 2 is
irreducible, and is the minimal polynomial for t1).
4) (x2−2)(x2+ 3)
Solution: The roots are ±√2,±√3i. Thus E=Q(√2,√3i). Furthermore,
[Q(√2,√3i) : Q]=[Q(√2,√3i) : Q(√2)][Q(√2) : Q] = 2 ×2 = 4.
Here we have computed [Q(√2,√3i) : Q(√2)] by noting that x2+3 is irreducible over Q(√2) because
the roots are not real.
5) x3−5x2+ 9x−5
Solution: We can’t as easily write down the roots in this case. However note that the polynomial
is not irreducible, because of the root x= 1. After factorising we have f(x)=(x−1)(x2−4x+ 5).
The roots of the quadratic are 2±i. Thus
E=Q(1,2 + i, 2−i) = Q(i),
and so [E:Q] = 2.
Exercice 4 Dans chacun des cas suivants, déterminer un polynôme ayant le corps donné comme corps
de décomposition :
1) Q(√2)
Solution: There are infinitely many possible polynomials : For example f(x) = x2−2, or f(x) =
(x2−2)(x+ 1).
1

2) Q(3
√2, e2πi/3)
Solution: For example, f(x) = x3−2.
3) Q(√2 + √3)
Solution: Let t=√2+√3. Then (t−√2)2= 3, and so t2−2√2t−1=0. Thus 8t2= (t2−1)2=t4−
2t2+1, and so t4−10t2= 1 = 0. So tis a root of the polynomial f(x) = x4−10x2+1. The other roots
are √2−√3,−√2+√3, and −√2−√3. Thus the splitting field of f(x)is E=Q(√2+√3,√2−√3).
However √2−√3 = −1/(√2 + √3) ∈Q(√2 + √3), and thus E=Q(√2 + √3).
Remark : Sometimes we need to do some clever simplifications to see splitting fields in their simplest
formulations. The above is a good example : Suppose that we are asked to compute the splitting field
of f(x) = x4−10x2+ 1 (that is, working back the other direction). We’d go about finding the roots,
t2= 5 ±√25 −1=5±2√6. Thus t=±p5±2√6. Hang on, these don’t look like the roots from
the paragraph above ! We need to simplify. Since 5±2√6 = (√2±√3)2, we have t=±(√2±√3),
and so E=Q(t1, t2,−t1,−t2)where t1=√2 + √3and √2−√3. Then, as above, since t2=−1/t1
we have E=Q(t1).
Remark : Another possible polynomial is f(x)=(x2−2)(x2−3). This has splitting field E=
Q(√2,√3), and as an exercise (see last week) you can check that Q(√2 + √3) = Q(√2,√3).
Exercice 5 Montrer que l’ensemble des complexes algébriques sur Qest la clôture algébrique de Q.
Solution: Rappelons la définition de clôture algébrique de Q. C’est la plus petite extension algébrique
Lde Qdans laquelle tout polynôme à coefficient dans Lse factorise complètement. En particulier, tout
polynôme à coefficients dans Qdoit se factoriser complètement, on voit que donc l’ensemble des complexes
algébriques Msur Qest inclu dans L. Si on montre que Mest algébriquement clos, on aura le résultat.
Soit un polynôme P=PaiXide degré nà coefficients dans M. Le polynôme est en fait à coeffcients
dans Q(a0, . . . , an). Or cette extension est de degré fini puisque
[Q(a0, . . . , an) : Q]≤Y[Q(ai),Q].
Soit αune racine de P. On a
[Q(a0, . . . , an, α) : Q]≤[Q(a0, . . . , an, α),Q(a0, . . . , an)]
| {z }
≤n
·[Q(a0, . . . , an) : Q]<+∞.
Puisque Q[α] : Q]|[Q(a0, . . . , an, α) : Q]on voit que αest algébrique sur Q. Ainsi Mest algébriquement
clos et M=Q.
Exercice 6 On considère le polynôme P=X3+pX +q∈C[X]. Soient x1,x2,x3les racines de P
dans C. On définit le discriminant de Ppar
∆=(x1−x2)2(x1−x3)2(x2−x3)2.
1) Pour k∈N, on note sk=xk
1+xk 2+xk 3. En utilisant les relations entre coefficients et racines, calculer
sken fonction de p, q pour 1≤k≤6.
2) On introduit la matrice de Van der Monde M∈M3(C)définie par mij =xj
i. En remarquant que
∆ = det(tMM )
montrer que
∆ = −4p3−27q2.
3) On suppose que pet qsont réels. Discuter le nombre de racines réelles de Pen fonction du signe
de ∆.
4) On suppose que pet qsont rationnels et que Pest irréductible dans Q[X]. Soit L=Q(x1, x2, x3)le
corps engendré par les racines de P.
(a) Montrer que ∆6= 0.
(b) Déterminer le degré [Q(x1) : Q].
(c) En utilisant les relations entre coefficients et racines, montrer que
(x1−x2)(x1−x3)=3x2
1+p.
(d) En déduire que L=Q(x1,√∆) où √∆∈Cest une racine carrée de ∆.
2

(e) En déduire que
[L:Q] = 3si √∆∈Q
6sinon
5) Calculer [L:Q]pour chacun des polynômes suivants :
(a) x3−x+ 1
(b) x3−3x+ 1
(c) x3−4x+ 1
Exercice 7
1) Montrer que le polynôme X2+ 1 est irréductible sur Z/7Z.
2) Soit Lle corps de rupture de X2+ 1 sur Z/7Zet iune racine de X2+ 1 dans L. Quel est le cardinal
de L? Donner une base de Lsur Z/7Z.
3) Calculer dans L:(2 + 3i)×(4 + 5i),(3 + 2i)−1.
4) Vérifier que 3+iest un générateur du groupe multiplicatif (L∗,×). Quel est le nombre de générateurs
de ce groupe ? Les exprimer en fonction de 3 + i.
5) Montrer que tout élément de Z/7Zadmet une racine carrée dans . (On ne demande pas de calculer
ces racines carrées.)
6) Soit x∈Z/7Z. Montrer que si xadmet une racine cubique dans , alors en fait xadmet une racine
cubique dans Z/7Z. Déterminer explicitement les x∈Z/7Zqui vérifient cette propriété.
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