Td5

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Solutions Feuille de Travaux Dirigés n◦ 5
M1, Algèbre
Semestre 8
Exercice 1 Soit K un corps et L une extension de K. Soient α, β ∈ L deux nombres algébriques sur K
de degrés respectifs p et q.
1) Montrer que
[K(α, β) : K] ≤ pq.
2) On suppose que p et q sont premiers entre eux. Montrer que
[K(α, β) : K] = pq.
Exercice 2 On considère le polynôme P (X) = X 4 + X 3 + 2X + 1.
1) Vérifier que dans Z/2Z[X], le seul polynôme de degré 2 irréductible est X 2 + X + 1. En déduire que
P est irréductible dans Z/2Z[X].
2) Soit α ∈ C une racine de P . Déterminer le degré [Q(α) : Q] et donner une base de Q(α) sur Q.
3) Exprimer dans cette base les nombres suivants :
α4 , α5 ,
1
1
,
.
α α2 + α + 1
Exercice 3 Déterminer le corps de décomposition des polynômes suivant ainsi que le degré de l’extension :
1) x4 − 1
Solution: E = Q(1, −1, i, −i) = Q(i), and thus [E : Q] = 2.
2) x4 + 1
Solution: The roots of x4 + 1 are eπi/4 , e3πi/4 , e5πi/4 , and e7πi/4 . Therefore E = Q(eπi/4 ), and
[E : Q] = 4 (since x4 +1 is irreducible over Q, for example by looking at f (x+1) and using Eisenstein).
3) x4 − 4x2 + 2
p
p
√
√
Solution: The roots are t1 = 2 + 2, t2 = 2 − 2, t3 = −t1 and t4 = −t2 . Thus E
t2 ).
√ = Q(t1 , √
However
we
claim
that
t
∈
Q(t
),
and
hence
E
=
Q(t
).
To
see
this,
note
that
t
t
=
4
−
2
=
2,
2
1
1
1
2
√
and 2 = t21 − 2. Therefore t2 = t1 − 2/t1 ∈ Q(t1 ). Thus [E : Q] = 4 (because x4 − 4x2 + 2 is
irreducible, and is the minimal polynomial for t1 ).
4) (x2 − 2)(x2 + 3)
√
√
√ √
Solution: The roots are ± 2, ± 3i. Thus E = Q( 2, 3i). Furthermore,
√ √
√ √
√
√
[Q( 2, 3i) : Q] = [Q( 2, 3i) : Q( 2)][Q( 2) : Q] = 2 × 2 = 4.
√ √
√
√
Here we have computed [Q( 2, 3i) : Q( 2)] by noting that x2 +3 is irreducible over Q( 2) because
the roots are not real.
5) x3 − 5x2 + 9x − 5
Solution: We can’t as easily write down the roots in this case. However note that the polynomial
is not irreducible, because of the root x = 1. After factorising we have f (x) = (x − 1)(x2 − 4x + 5).
The roots of the quadratic are 2 ± i. Thus
E = Q(1, 2 + i, 2 − i) = Q(i),
and so [E : Q] = 2.
Exercice 4 Dans chacun des cas suivants, déterminer un polynôme ayant le corps donné comme corps
de décomposition :
√
1) Q( 2)
Solution: There are infinitely many possible polynomials : For example f (x) = x2 − 2, or f (x) =
(x2 − 2)(x + 1).
1
√
2) Q( 3 2, e2πi/3 )
Solution: For example, f (x) = x3 − 2.
√
√
3) Q( 2 + 3)
√ √
√
√
Solution: Let t = 2+ 3. Then (t− 2)2 = 3, and so t2 −2 2t−1 = 0. Thus 8t2 = (t2 −1)2 = t4 −
4
2
4
2
2t2 +1,
√ so t√−10t
√ = 1 = 0.√So t√is a root of the polynomial f (x) = x −10x +1.
√ The
√ other
√ roots
√
√ and
−
2−
3.
Thus
the
splitting
field
of
f
(x)
is
E
=
Q(
2+
3,
2− 3).
are 2− √3, −√2+ 3, and
√
√
√
√
√
√
However 2 − 3 = −1/( 2 + 3) ∈ Q( 2 + 3), and thus E = Q( 2 + 3).
Remark : Sometimes we need to do some clever simplifications to see splitting fields in their simplest
formulations. The above is a good example : Suppose that we are asked to compute the splitting field
of f (x) = x4 − 10x2 + 1 (that is, working back
p the√other direction). We’d go about finding the roots,
√
√
t2 = 5 ± 25 − 1 = 5 ± 2 6. Thus t = ± 5 ± 2 6. Hang
from
√ on,
√ these
√ don’t look like the roots
√
√
the paragraph above ! We need to simplify.√Since√5 ± 2 √
6 = ( √2 ± 3)2 , we have t = ±( 2 ± 3),
and so E = Q(t1 , t2 , −t1 , −t2 ) where t1 = 2 + 3 and 2 − 3. Then, as above, since t2 = −1/t1
we have E = Q(t1 ).
2
2
Remark
√ √field E =
√ √ : Another possible polynomial is f (x) = (x − 2)(x − 3).√This√has splitting
Q( 2, 3), and as an exercise (see last week) you can check that Q( 2 + 3) = Q( 2, 3).
Exercice 5 Montrer que l’ensemble des complexes algébriques sur Q est la clôture algébrique de Q.
Solution: Rappelons la définition de clôture algébrique de Q. C’est la plus petite extension algébrique
L de Q dans laquelle tout polynôme à coefficient dans L se factorise complètement. En particulier, tout
polynôme à coefficients dans Q doit se factoriser complètement, on voit que donc l’ensemble des complexes
algébriques M sur Q estP
inclu dans L. Si on montre que M est algébriquement clos, on aura le résultat.
Soit un polynôme P =
ai X i de degré n à coefficients dans M . Le polynôme est en fait à coeffcients
dans Q(a0 , . . . , an ). Or cette extension est de degré fini puisque
Y
[Q(a0 , . . . , an ) : Q] ≤
[Q(ai ), Q].
Soit α une racine de P . On a
[Q(a0 , . . . , an , α) : Q] ≤ [Q(a0 , . . . , an , α), Q(a0 , . . . , an )] · [Q(a0 , . . . , an ) : Q] < +∞.
{z
}
|
≤n
Puisque Q[α] : Q] | [Q(a0 , . . . , an , α) : Q] on voit que α est algébrique sur Q. Ainsi M est algébriquement
clos et M = Q.
Exercice 6 On considère le polynôme P = X 3 + pX + q ∈ C[X]. Soient x1 , x2 , x3 les racines de P
dans C. On définit le discriminant de P par
∆ = (x1 − x2 )2 (x1 − x3 )2 (x2 − x3 )2 .
1) Pour k ∈ N, on note sk = xk1 + xk2 + xk3 . En utilisant les relations entre coefficients et racines, calculer
sk en fonction de p, q pour 1 ≤ k ≤ 6 .
2) On introduit la matrice de Van der Monde M ∈ M3 (C) définie par mij = xji . En remarquant que
∆ = det(t M M )
montrer que
∆ = −4p3 − 27q 2 .
3) On suppose que p et q sont réels. Discuter le nombre de racines réelles de P en fonction du signe
de ∆.
4) On suppose que p et q sont rationnels et que P est irréductible dans Q[X]. Soit L = Q(x1 , x2 , x3 ) le
corps engendré par les racines de P .
(a) Montrer que ∆ 6= 0.
(b) Déterminer le degré [Q(x1 ) : Q].
(c) En utilisant les relations entre coefficients et racines, montrer que
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) = 3x21 + p.
√
√
(d) En déduire que L = Q(x1 , ∆) où ∆ ∈ C est une racine carrée de ∆.
2
(e) En déduire que
[L : Q] =
3
6
√
si ∆ ∈ Q
sinon
5) Calculer [L : Q] pour chacun des polynômes suivants :
(a) x3 − x + 1
(b) x3 − 3x + 1
(c) x3 − 4x + 1
Exercice 7
1) Montrer que le polynôme X 2 + 1 est irréductible sur Z/7Z.
2) Soit L le corps de rupture de X 2 + 1 sur Z/7Z et i une racine de X 2 + 1 dans L. Quel est le cardinal
de L ? Donner une base de L sur Z/7Z.
3) Calculer dans L : (2 + 3i) × (4 + 5i), (3 + 2i)−1 .
4) Vérifier que 3+i est un générateur du groupe multiplicatif (L∗ , ×). Quel est le nombre de générateurs
de ce groupe ? Les exprimer en fonction de 3 + i.
5) Montrer que tout élément de Z/7Z admet une racine carrée dans . (On ne demande pas de calculer
ces racines carrées.)
6) Soit x ∈ Z/7Z. Montrer que si x admet une racine cubique dans , alors en fait x admet une racine
cubique dans Z/7Z. Déterminer explicitement les x ∈ Z/7Z qui vérifient cette propriété.
3