Feuille de Travaux Dirigés n 4 Extension de corps

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦4
L3, Algèbre Semestre 6
Extension de corps
Exercice 1
1) (a) Montrer que √2est irrationnel.
(b) Montrer que √pest irrationnel pour tout nombre premier p.
2) Soit n∈N. Montrer que √nest soit entier soit irrationnel.
3) Soit n1, n2deux entiers qui ne sont pas des carrés parfaits.
(a) Montrer que √n1+√n2est irrationnel.
(b) Montrer que √n1+√n2est algébrique sur Qet déterminer P∈Q[X]tel que P(√n1+√n2)=0.
(c) Déterminer le polnôme minimal de √n1+√n2.
Exercice 2
1) Soit P=X2+X+ 1 ∈F2[X]. On pose F:= F2/(P)et α=Xdans F.
(a) Montrer que Pest irréductible.
(b) Montrer que F=F2[α] = {a0+a1α|a0, a1∈F2}.
(c) Montrer que αest racine de Pet factoriser Pdans F.
2) Soit P=X3+X+ 1 ∈F2[X]. On pose F:= F2/(P)et α=Xdans F.
(a) Montrer que Pest irréductible.
(b) Montrer que F=F2[α] = {a0+a1α+a2α2|a0, a1, a2∈F2}.
(c) Montrer que αest racine de Pet factoriser Pdans F.
Exercice 3
1) Énoncer le critère d’irréductibilité de Eisenstein de la feuille de Td1.
2) Déterminer le polynôme minimal de √2sur Q.
3) Déterminer le polynôme minimal de 3
√2sur Q.
4) Déterminer le polynôme minimal de n
√2sur Q.
5) Déterminer le polynôme minimal de √3sur Q[√2].
6) Déterminer le polynôme minimal de 4
√2sur Q[√2].
Codes correcteurs
Exercice 4 Soit Cle code de Hamming de paramètre (4,7) de matrice génératrice Get de matrice de
contrôle Hdonnée par :
G=
1000
0100
0010
0001
1110
1101
1011
et H=
1110100
1101010
1011001
1) Corriger le message m0=t(1,1,0,1,1,0,0) sachant qu’il y a eu une seule erreur.
2) Vous recevez le message m0=t(0,0,1,1,0,1,0).
(a) Y-a-t-il eu des erreurs ?
(b) Corriger le message sachant qu’il y a eu une seule erreur.
(c) Si on suppose qu’il y a eu deux erreurs, déterminer les messages qui pourraient avoir été en-
voyés ?
1

Exercice 5 Soit q=pnoù pest un nombre premier et soit Fqle corps fini à qéléments. Soit E=Fn
q.
On rappelle que pour tout x∈Fn
q,w(x)est le nombre de coordonnées non nuls dans xet que la distance
de Hamming est définie par d(x, y) = w(x−y).
1) Montrer que dest une distance sur Fn
q.
2) Combien y-a-t-il d’éléments dans un s.e.v de Fn
qde dimension d?
3) Combien y-a-t-il d’éléments dans Fn
qtels que w(x)≤1? tels que w(x)≤2?
4) Calculer le cardinal de la boule fermée Br(a)centré en aet de rayon r.
5) Soit Cun code t-correcteurs de Ede dimension d. Montrer que |C| ≤ qn/|Bt(0)|.
[Aide : Un code est t-correcteur si les boules de centre les mots du code et de rayon tsont disjointes. ]
6) L’entier tpeut-il être arbitrairement grand ?
7) Montrer que dans le cas du code de Hamming de paramètre (4,7), l’ensemble des boules de rayons 1
et de centre les mots du code forme une partition de F7
2.
Exercice 6 Soit E=Fn
2et soit Cun code linéaire de dimension ket de distance minimale dC. Soit F
le s.e.v de Eformé des vecteurs de la forme (x1, x2, . . . , xn−(k−1),0,...,0). Montrer que F∩Cn’est pas
réduit à 0et en déduire que dC≤n+ 1 −k.
2