Feuille de Travaux Dirigés n 4 Extension de corps

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦ 4
L3, Algèbre
Semestre 6
Extension de corps
Exercice 1
1) (a) Montrer que
√
√
2 est irrationnel.
p est irrationnel pour tout nombre premier p.
√
2) Soit n ∈ N. Montrer que n est soit entier soit irrationnel.
(b) Montrer que
3) Soit n1 , n2 deux entiers qui ne sont pas des carrés parfaits.
√
√
(a) Montrer que n1 + n2 est irrationnel.
√
√
√
√
(b) Montrer que n1 + n2 est algébrique sur Q et déterminer P ∈ Q[X] tel que P ( n1 + n2 ) = 0.
√
√
(c) Déterminer le polnôme minimal de n1 + n2 .
Exercice 2
1) Soit P = X 2 + X + 1 ∈ F2 [X]. On pose F := F2 /(P ) et α = X dans F .
(a) Montrer que P est irréductible.
(b) Montrer que F = F2 [α] = {a0 + a1 α | a0 , a1 ∈ F2 }.
(c) Montrer que α est racine de P et factoriser P dans F .
2) Soit P = X 3 + X + 1 ∈ F2 [X]. On pose F := F2 /(P ) et α = X dans F .
(a) Montrer que P est irréductible.
(b) Montrer que F = F2 [α] = {a0 + a1 α + a2 α2 | a0 , a1 , a2 ∈ F2 }.
(c) Montrer que α est racine de P et factoriser P dans F .
Exercice 3
1) Énoncer le critère d’irréductibilité de Eisenstein de la feuille de Td1.
√
2) Déterminer le polynôme minimal de 2 sur Q.
√
3) Déterminer le polynôme minimal de 3 2 sur Q.
√
4) Déterminer le polynôme minimal de n 2 sur Q.
√
√
5) Déterminer le polynôme minimal de 3 sur Q[ 2].
√
√
6) Déterminer le polynôme minimal de 4 2 sur Q[ 2].
Codes correcteurs
Exercice 4 Soit C le code de
contrôle H donnée par :

1
0

0

G=
0
1

1
1
Hamming de paramètre (4, 7) de matrice génératrice G et de matrice de
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1

0
0

0

1

0

1
1
et

1
H = 1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0

0
0
1
1) Corriger le message m0 = t (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0) sachant qu’il y a eu une seule erreur.
2) Vous recevez le message m0 = t (0, 0, 1, 1, 0, 1, 0).
(a) Y-a-t-il eu des erreurs ?
(b) Corriger le message sachant qu’il y a eu une seule erreur.
(c) Si on suppose qu’il y a eu deux erreurs, déterminer les messages qui pourraient avoir été envoyés ?
1
Exercice 5 Soit q = pn où p est un nombre premier et soit Fq le corps fini à q éléments. Soit E = Fnq .
On rappelle que pour tout x ∈ Fnq , w(x) est le nombre de coordonnées non nuls dans x et que la distance
de Hamming est définie par d(x, y) = w(x − y).
1) Montrer que d est une distance sur Fnq .
2) Combien y-a-t-il d’éléments dans un s.e.v de Fnq de dimension d ?
3) Combien y-a-t-il d’éléments dans Fnq tels que w(x) ≤ 1 ? tels que w(x) ≤ 2 ?
4) Calculer le cardinal de la boule fermée Br (a) centré en a et de rayon r.
5) Soit C un code t-correcteurs de E de dimension d. Montrer que |C | ≤ q n /|Bt (0)|.
[ Aide : Un code est t-correcteur si les boules de centre les mots du code et de rayon t sont disjointes. ]
6) L’entier t peut-il être arbitrairement grand ?
7) Montrer que dans le cas du code de Hamming de paramètre (4,7), l’ensemble des boules de rayons 1
et de centre les mots du code forme une partition de F72 .
Exercice 6 Soit E = Fn2 et soit C un code linéaire de dimension k et de distance minimale dC . Soit F
le s.e.v de E formé des vecteurs de la forme (x1 , x2 , . . . , xn−(k−1) , 0, . . . , 0). Montrer que F ∩ C n’est pas
réduit à 0 et en déduire que dC ≤ n + 1 − k.
2