PDF - 274.5 ko

6 septembre 2012
Nombres omplexes
I Dénitions algébrique et géométrique de C
I.A Constrution de C
Dénition 1. On onsidère l'ensemble R2 des ouples px, y q de nombres réels, muni des deux
lois de omposition internes suivantes :
1) L'addition, dénie par : px, y q px1 , y 1q px x1 , y y 1q
2) La multipliation, dénie par : px, y q px1 , y 1 q pxx1 yy 1, xy 1 yx1 q
Cet ensemble est noté C, et ses éléments sont appelés nombres omplexes.
Remarques 1 (Propriétés à démontrer).
I pC, q est un groupe ommutatif :
1) dans C est ommutative : pz, z 1 q P C2 z z 1 z 1 z
2) L'addition dans C est assoiative : pz, z 1 , z 2 q P C3 pz z 1 q z 2 z pz 1 z 2 q
3) p0, 0q est élément neutre de C pour : z P C z p0, 0q z
4) Tout élément de C admet un symétrique pour
: z px, y q admet z 1 px, y q
omme symétrique. z z 1 p0, 0q.
II pC , q est un groupe ommutatif :
1) dans C est ommutative : pz, z 1 q P C2 z z 1 z 1 z
2) dans C est assoiative : pz, z 1 , z 2 q P C3 pz z 1 q z 2 z pz 1 z 2 q
3) p1, 0q est élément neutre de C pour : z P C z p1, 0q p1, 0q z z
4) Tout élément non
nul de C admet un symétrique pour : z px, y q admet z 1 x
y omme symétrique. z z1 p1, 0q.
,
x2
y 2 x2
y2
III est distributive par rapport à : pz z 1 q z 2 z z 2 z 1 z 2
IV Ces propriétés onfèrent à pC, , q une struture de orps ommutatif.
V Soit z px, y q P C. On a :
VI
px, yq px, 0q p0, yq px, 0q py, 0q p0, 1q
Si l'on note i le ouple p0, 1q et 1 le ouple p1, 0q, on peut alors érire tout omplexe z de
façon unique sous la forme : z x p1, 0q y p0, 1q x iy .
1) R € C. En eet, pour tout réel x, x P C
2) i2 p0, 1q p0, 1q p1, 0q 1.
Dénition 2. Pour tout nombre omplexe z , par dénition, px, y q est l'unique ouple de réels
tels que z x iy . Cette ériture est appelée ériture
x est appelé partie réelle de z notée Repz q ;
y est appelé partie imaginaire de z notée Impz q.
On érit don :
z
Lyée Jean Perrin 2012/2013
Repzq
1 / 19
algébrique.
i Impz q
Nombres omplexes
I.B Le plan omplexe
6 septembre 2012
Proposition 1. Soit pz, z 1 q P C2 et λ P R, alors :
1.
2.
3.
4.
z1 ðñ pRepzq Repz1 q et Impzq Impz1 qq
z 0 ðñ pRepz q 0 et Impz q 0q
Repλz q λ Repz q et Repz z 1 q Repz q Repz 1 q.
Impλz q λ Impz q et Impz z 1 q Impz q Impz 1 q.
z
I.B Le plan omplexe
Dénition 3. On appelle plan omplexe le plan P rapporté à un repère orthonormé pO, ~u, ~v q
ave :
1. Le nombre omplexe z x iy , où x Repz q et y
M de oordonnées M px, y q.
2. Le point M est appelé l'image de z .
3. z est appelé l'axe de M .
ÝÝÑ
4. De même le veteur OM admet z omme axe.
ÝÝÑ
5. z admet don OM omme veteur image.
6. L'axe pO, ~uq est appelé axe des réels.
7. L'axe pO, ~vq est appelé axe des imaginaires.
Impzq, est représenté par le point
pq
Im z
b
M
ÝOÝÑ
M
Ñ
Ýv
b
O
Ñ
Ýu
pq
Re z
On onsidère deux points M pz q et M 1 pz 1 q du plan omplexe.
ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ ÝÝÑ
ÝÝÝÑ
Comme MM 1 OM 1 OM (Relation de Chasles) l'axe de MM 1 est le omplexe z 1 z .
ÝÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÝÑ
On onsidère le point M 2 tel que OM 2 OM OM 1 alors, l'axe de M 2 est z z 1
p 2q
M
Im z
p 1q
M
Im z
b
Ýv
p qÑ
b
Lyée Jean Perrin 2012/2013
z
1q
b
1 pz1 q
pq
M z
Im z
O
2 pz
b
Ñ
Ýu
p 1q
pq
Re z
Re z
2 / 19
p 2q
Re z
Nombres omplexes
I.C Conjugué, module et arguments d'un nombre omplexe
6 septembre 2012
Exerie I.1. Soient ABCD un quadrilatère quelonque et zA , zB , zC , zD les axes respetives
des sommets. On note I, J, K, L les milieux respetifs des tés rAB s, rBC s, rCDs et rDAs.
ÝÑ ÝÝÑ
Caluler les axes des veteurs IJ et LK , et en déduire la nature du quadrilatère IJKL.
I.C Conjugué, module et arguments d'un nombre omplexe
I.C.1 Conjugué d'un nombre omplexe
Dénition 4. On appelle onjugué de z
Repz q i Impz q
x
iy (ave px, y q
P R2) le nombre z̄ x iy Interprétation géométrique de la transformation z ÞÑ z̄ Si on note M l'image de z et
M 1 l'image de z̄ , la transformation M
ÞÑ M 1 est la symétrie d'axe pO, ~uq.
pq
pq
Im z
M z
Ñ
Ýv
Ñ
Ýu
pq
Re z
1p q
Impzq
M z̄
Propriétés 1. z P C, on a :
z̄
2 Repzq
(iii) z̄¯ z
(ii) z z̄
2i Impzq
(iv) z P R z
(i) z
z̄
Propriétés 2 (Opérations sur les onjugués).
(i) z
z1
(ii) z z 1
z̄
z¯1
z̄ z¯1
(v) z P iR z z̄ . Dans
e as, on dit que z est un
imaginaire pur pz, z1 q P C2, on a :
z̄z¯1
1
1
z
z̄
(iii) zz 1
(v)
(iv)
(vi)
z
z¯z̄1
z n z̄ n n P Z
z1
I.C.2 Module d'un nombre omplexe
Dénition? 5. Soit
az
réel :|z | zz̄
Lyée Jean Perrin 2012/2013
x2
x
iy
P C (px, yq P R2). On a zz̄ x2
y2
3 / 19
y 2 . Le
module de z est le
Nombres omplexes
I.C Conjugué, module et arguments d'un nombre omplexe
6 septembre 2012
Interprétation géométrique Si M est l'image de z et M 1 l'image de z 1 , alors |z | OM et
|z1 z| MM 1 .
Propriétés 3 (Opérations sur les modules). z, z 1 P C, on a :
n
n
|z|
z
(iii) 1 1 lorsque z P C (iv) |z | |z | n P Z
z
|z |
(v) |z | |z̄ |
(i) |z |2 zz̄
(ii) |zz 1 | |z |.|z 1|
Démonstration.
|zz1|2 zz 1zz 1
zz 1z̄ z̄ 1
|z|2.|z1|2.
z z̄z 1z̄ 1
Remarque 2. On peut érire sous forme algébrique le nombre omplexe
utilisant le onjugué de z :
1
z
1
ave z
z
0 en
zz̄z̄ |zz̄|2 x2 z̄ y2 xx2 iyy2
De la même manière, on peut mettre un quotient sous forme algébrique :
z
z1
¯1
¯1
¯1
zz1zz¯1 |zzz1|2 x12zz y12
Exerie I.2. Donner l'ériture algébrique des inverses de 1 i et 4 6i. Vériez.
Exerie I.3.
?
p3 iqp2 iq .
i 3
Érire sous la forme algébrique les nombres omplexes ?
et
2 i
3 2i
2
Exerie I.4. Déterminer l'ensemble des nombres omplexes z tels que Z
nombre réel.
pz, z1 q P C2z, on a :|z
L'égalité est vériée si et seulement si z 1 0 ou 1 P R
z
Proposition 2 (inégalité triangulaire).
Lyée Jean Perrin 2012/2013
4 / 19
z 1 | ¤ |z |
2z 4
soit un
zi
|z1 |
Nombres omplexes
I.C Conjugué, module et arguments d'un nombre omplexe
6 septembre 2012
Interprétation géométrique de l'inégalité triangulaire Si M est l'image de z , M 1 l'image
de z 1 , et P l'image de z
z 1 , alors OP
¤ OM
z
OM 1 . L'égalité est réalisée lorsque 1
z
ÝÝÑ ÝÝÝÑ
'est à dire si les veteurs OM et OM 1 sont positivement olinéaires.
PR
Les deux membres de l'inégalité étant des réels
positifs, omparons leurs arrés.
|z z1|2 pz z1qpz̄ z̄1q zz̄ z1z̄ z1z̄ z1z̄1 |z2| 2 Repzz̄1q |z12|
p|z| |z1|q2 |z|2 2|zz1| |z1|2
Or Repz z̄ 1q ¤ |z z̄ 1|. En eet : RepZ q ¤ |Z | en omparant
leurs arrés, on a l'égalité uniquement si ImpZ q 0..
L'égalité est vériée si Repz z̄ 1q |z z̄ 1| 'est à dire si
z z̄ 1 P R , ette ondition est satisfaite si z 1 0, ou, en
z
1
1
2
1
divisant par z z̄ |z | si 1 P R .
Démonstration.
z
Exerie I.5. Montrer que :
P C on a : |z| ¤ | Repzq| | Impzq|.
?
z P C, |z| ¤ 12 ñ |2iz 1 i| ¤ 1 2
1) z
2)
Exerie I.6. 1) Montrer que pz, z 1 , z 2 q P C3 on a : |z z 2 | ¤ |z z 1 |
2) Interprétez géométriquement e résultat.
|z 1 z 2 | .
Dénition 6. A étant un point du plan omplexe d'axe a et R un nombre réel positif (i.e.
a P C et R P R ).
1. Le disque fermé de entre A et de rayon R est l'ensemble des points M du plan omplexe
tels que |z a| ¤ R
2. Le disque ouvert de entre A et de rayon R est l'ensemble des points M du plan omplexe
tels que |z a| R
3. Le erle de entre A et de rayon R est l'ensemble des points M du plan omplexe tels
que |z a| R
Lyée Jean Perrin 2012/2013
5 / 19
Nombres omplexes
I.D Arguments d'un nombre omplexe non nul
6 septembre 2012
I.D Arguments d'un nombre omplexe non nul
Dénition 7. z étant un omplexe non nul, d'image M dans leÝplan
ÝÑ omplexe.
On appelle argument de z toute mesure de l'angle orienté p~u, OM q.
ÝÑ
p~u, Ý
OM q r2π s. On note argpz q θ.
L'ensemble des arguments de z est alors tθ 2kπ, k P Zu
θ
Remarque 3. Le omplexe 0 n'a pas d'argument ar il est impossible de dénir l'angle p~u, ~0q.
Remarque 4. Le module ρ |z | et un argument θ argpz q d'un nombre omplexe forment
un ouple de oordonnées polaires pρ, θq du point M d'axe z .
Dans e as, on peut érire z ρpcos θ i sin θq.
pq
p q ρ sin θ
M z
Im z
b
Ñ
Ýv
θ
b
O
Ñ
Ýu
p q ρ cos θ
Re z
II Forme trigonométrique d'un nombre omplexe
II.A Le groupe pU, q des nombres omplexes de module 1
Dénition 8. On note U l'ensemble des nombres omplexes de module 1.
U tz
P Cz|z| 1u
Remarque 5. L'ensemble image de U est le erle de entre 0 et de rayon 1 (erle unité du
plan).
1
sin θ
b
Ñ
Ýv
M
θ
Ñ
Ýu
1
cos θ
1
1
Lyée Jean Perrin 2012/2013
6 / 19
Nombres omplexes
II.B Dénition de eiθ
6 septembre 2012
1. U muni de sur C est un groupe ommutatif ('est un sous groupe de C)
1
- pz, z q P U2 , z z 1 P U (en eet |zz 1 | |z | |z 1 | 1)
Remarque 6.
1
- Tout élément z de U est non nul et possède don un inverse dans C de plus z
don
1
z
PU
2. Tout point M du plan omplexe d'axe z tel que |z |
un point du erle unité (et réiproquement).
|1z| 1
1 vérie OM 1. Don M
est
II.B Dénition de eiθ
Dénition 9. Soit θ P R. On note eiθ le nombre omplexe déni par :
eiθ
cos θ
i sin θ
Proposition 3. U teiθ , θ P Ru
Soit θ P R, on a |eiθ|2 cos2 θ sin2 θ 1,
don eiθ P U.
Si, réiproquement, z P U, alors Repzq2 Impzq2 1.
On pose θ argpz q, ainsi :z cos θ i sin θ eiθ
Démonstration.
Remarque 7.
1. On onsidère la fontion réelle à valeurs omplexes
ϕ : R Ñ C ave ϕpθq cos θ i sin θ eiθ .
Cette fontion est dérivable sur R et sa dérivée est
ϕ1 pθq sin θ i cos θ ipcos θ i sin θq ieiθ .
D'où l'analogie ave la fontion exponentielle.
2. |z | 1 Dθ P R, z eiθ
II.C Formules d'Euler
" iθ
e
Pour tout réel θ :
iθ
e
cos θ i sin θ
d'où les
cos θ i sin θ
eiθ
iθ
cos θ
Lyée Jean Perrin 2012/2013
e
2
sin θ
7 / 19
formules d'Euler
iθ
iθ
e 2ie
Nombres omplexes
II.D Propriétés de θ Ñ eiθ , formule de Moivre
6 septembre 2012
II.D Propriétés de θ Ñ eiθ , formule de Moivre
Propriétés 4.
eiθ eiθ1
eiθ
1
eipθθ q iθ1
e
(i) eipθ
(ii)
θ1
pθ, θ1q P R2 :
q
(iii) eiθ
(iv)
(v)
e1iθ
eiθ eiθ
n P Z : peiθ qn einθ
Démonstration.
eipθ
θ1q
cos pθ θ1q i sin pθ θ1q
1
1
1
1
cos θ cos θ sin θ sin θ i sin θ cos θ sin θ cos θ
cos θ1 pcos θ i sin θq i sin θ1 pcos θ i sin θq
pcos θ i sin θq cos θ1 i sin θ1
eiθeiθ1
On démontre les autres propriétés de façon similaire (démonstration par réurrene pour n P Z : peiθ qn einθ )
Exerie II.1. En utilisant la formule d'Euler, linéariser cos x sin2 x.
Une onséquene direte de la dernière propriété 4 est la formule
pcos θ
i sin θqn
cos pnθq
de Moivre :
i sin pnθq
Exerie II.2. En utilisant la formule de Moivre, aluler cos p3xq en fontion de cos x.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
8 / 19
Nombres omplexes
II.E Forme trigonométrique d'un nombre omplexe non nul
6 septembre 2012
II.E Forme trigonométrique d'un nombre omplexe non nul
Dénition 10. Tout nombre omplexe non nul s'érit de manière unique sous la forme :
ρeiθ ave ρ ¡ 0 et θ P R (déni modulo 2π).
On a ρ |z | et θ argpz q. Cette ériture est appelée forme trigonométrique (ou exponentielle,
ou polaire ) de z . On note aussi rρ, θs ρpcos θ i sin θq.
z
Remarque 8. Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique :
Si z a
ib 0, alors ρ ?
a2
cos θ
b2 , et θ est déni à 2kπ près par :
?
a
a2
b2
et sin θ ?
b
a2
b2
Exerie II.3.
1. Déterminer le module et un argument du nombre omplexe z1
et le mettre sous forme trigonométrique.
2. Érire z2 sous forme algébrique sahant que |z2 | 2 et argpz2 q ?
3 i,
2π
.
3
Exerie II.4. Érire sous forme trigonométrique 1 i et 1 i. En déduire la forme algébrique
de
p1 iq20 .
p1 iq16
Exerie II.5.
π
π
1. Érire sous forme exponentielle l'expression ei 9 ei 3 (on pourra fatoriser
2π
par ei 9 puis utiliser les formules d'Euler).
2. Généraliser la méthode pour érire sous la forme ρeiθ (ρ P R) les expressions eiθ e3iθ ,
eiα eiβ et 1 eiθ .
La méthode utilisée est appelée méthode de l'ar moitié (à retenir).
III Exponentielle omplexe
Dénition 11. On dénit l'appliation exp :
"
z
x
C
iy
Ñ
Þ
Ñ
C
ex eiy
Cette appliation est appelée fontion exponentielle omplexe (C'est un prolongement sur C de
la fontion exponentielle sur R).
Proposition 4.
1. Pour tout nombre omplexe z , on a ez 0.
1
1
2. z, z 1 P C, on a ez z ez ez (en partiulier ez est l'inverse de ez ).
Lyée Jean Perrin 2012/2013
9 / 19
Nombres omplexes
6 septembre 2012
Démonstration.
Remarque 9. Attention : tout omplexe Z non nul peut s'érire sous la forme ez , mais un tel
omplexe z n'est pas unique.
ez
ρeiα ðñ z ln ρ
iα
2ikπ
ave k P Z
IV Appliations des nombres omplexes
IV.A À la trigonométrie
IV.A.1 Linéarisation, fatorisation...
Retour sur les formules d'Euler et de Moivre.
On veut linéariser une expression trigonométrique, 'est à dire érire une puissane (produit)
de cos ou sin sous forme de somme. On dispose d'une méthode utilisant les nombres omplexes.
Observons la sur un exemple : la linéarisation de cos4 θ.
4
iθ
e
eiθ
4
cos θ 1 pe4iθ 4e2iθ 6 4e2iθ e4iθ q
2
Or e4iθ
e4iθ
16
2 cos p4θq et e2iθ e2iθ 2 cos p2θq en vertu des formules d'Euler, d'où :
1
1
3
cos p2θq
cos4 θ cos p4θq
8
2
8
Exerie IV.1. Linéariser sin3 θ. (Brève déouverte du triangle de Pasal)
Dans e paragraphe, la démarhe est inverse. Il s'agit au ontraire d'érire une somme de cos
ou sin sous forme d'un produit (fatoriser). On utilise la méthode de l'ar moitié.
Exemple 1. Fatorisation de cos p cos q .
On érit cos p
cos q
Re
eiq , ave :
ei ei pq
cos q 2 cos p
q cos p p q q.
eip
Don cos p
eip
eiq
p q
2
2
p q
2
ei
q p
2
2 cos p p 2 q qei
p q
2
2
Exerie IV.2. Fatoriser sin p sin q et cos p cos q .
Exerie IV.3. Formule de Moivre.
Exprimer sinp5xq en fontion de sin x.
Remarque 10. Pour tout entier naturel n :
cospnxq est un polynme en cos x
Si n est impair sinpnxq est un polynme en sin x
Si n est pair sinpnxq est le produit de cos x par un polynme en sin x.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
10 / 19
Nombres omplexes
IV.A À la trigonométrie
6 septembre 2012
IV.A.2 Rédution de a cos x b sin x où pa, b, xq P R3
Posons : z
a
ib.
z̄eix
pa ibqpcos x i sin xq
a cos x b sin x ipa sin x b sin xq
don :
b sin x Re z̄eix
a cos x
Si z s'érit sous forme trigonométrique z reiα alors z̄eix reipxαq
d'où :
a cos x
Ave reiα a
ib.
Exerie IV.4. Résoudre cos x
b sin x r cospx αq
?
3 sin x ?
2
IV.A.3 Calul de sommes trigonométriques.
Soit z
P C on onsidère la somme : Sn k¸n
z k (où l'on reonnaît la somme des termes
k 0
d'une suite géométrique).
Si z 1, alors on obtient diretement Sn n 1 (le nombre de termes de la somme)
Sinon, l'astue lassique pour aluler ette somme est à onnaître :
k¸
n
z Sn zk 1 et en sommant es deux égalités on obtient : p1 zq Sn 1 zn
k 0
Soit :
n 1
Sn
Considérons à présent les sommes :
Soit S
eia .
k¸n
k¸n
1 1z z
cospa
kbq et
k 0
eipa
k¸n
sinpa
1
kbq
k 0
q.
kb
k 0
On reonnaît la somme des termes d'une suite géométrique de raison eib et de premier terme
Si b P 2πZ, alors eib 1 et S pn 1qeia
1 eipn 1qb
Sinon, S eia on obtient alors :
ib
1e
k¸n
cospa
kbq cos a
k 0
et
k¸n
sinpa
kbq sin a
k 0
Lyée Jean Perrin 2012/2013
11 / 19
nb
2
nb
2
sin pn 21qb
sin 2b
pn 1qb
sinsin 2b
2
Nombres omplexes
IV.B À la résolution d'équation
6 septembre 2012
IV.B À la résolution d'équation
IV.B.1 Raine n-ièmes de l'unité
1. En érivant z sous forme trigonométrique : z ρeiθ
On herhe à résoudre l'équation z n
et 1 ei0 , ette équation devient :
ρn einθ
ei0
Par identiation du module et de l'argument (modulo 2π ), on obtient ρn 1 et nθ 0 r2π s,
soit :
$ n
& ρ
%
Don ρ 1 et θ 2kπ
, ave k
n
1
2kπ, k
et
nθ
PZ
P Z, e qui donne un ensemble Un de solutions :
Un
!
ei
2kπ
n
)
,k
PZ
Il nous sut alors de onstater que la formule donnant l'expression des solutions est périodique d'ordre n ar :
ei
p
q
2 k n π
n
ei
2kπ
n
2π
ei
2kπ
n
e qui fait qu'il n'y a que n solutions distintes.
Plus préisément :
Théorème 1. L'ensemble des raines nièmes de l'unité est :
Un
!
i 2kπ
n
e
:k
)
P t0, . . . , n 1u
Remarque 11. On onstate géométriquement que les raines nièmes de l'unité sont les axes
des sommets du polygne régulier à n tés insrit dans le erle unité, et dont l'un des sommets
est le point d'axe 1. Cei revient à partager le erle en n parties égales. Il est don faile de
les retrouver graphiquement dans ertains as, par exemple pour n 3 ou n 4.
e
b
e
2iπ
5
Ñ
Ýv
4iπ
5 b
Ñ
Ýu
b
e
b
1
6iπ
5
b
e
Exemple 2.
8iπ
5
1. Les raines ubiques de 1 sont 1, j et j 2 ave j
2. Les raines quatrièmes de 1 sont 1, 1, i et i.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
12 / 19
ei
2π
3
.
Nombres omplexes
IV.B À la résolution d'équation
6 septembre 2012
!
Remarque 12. On peut aussi noter : Un ei
Exerie IV.5.
2kπ
n
1. Montrer que pour tout z
P t1, . . . , nu
P C ave z 1, on a :1
1z
1z
2. Soit ξ une raine nième de l'unité. Caluler 1
n 1
)
:k
ξ2
ξ
z
z2
zn
ξ n1 .
Remarques 13.
1. On note Un l'ensemble des raines nièmes de l'unité. Un est un sousensemble de U.
2. La somme des raines nièmes de l'unité est nulle.
IV.B.2 Raine n-ièmes d'un omplexe non nul
Remarque 14. Si a 0 l'équation z n a admet z 0 omme unique solution.
Soit a P C , d'ériture trigonométrique a reiα ave r |a| et α arg paq.
On herhe les nombres z ρeiθ P C tels que z n a (raines nièmes de a).
Commençons par herher une solution partiulière de ette équation.
1
α
En érivant a sous forme trigonométrique a reiα , on remarque que z0 r n ei n en est une,
ar :
z0n
1
n
iα
n
n
r e
1
n
rn
α
ei n
n
reiα
Exerie IV.6. Donner, sous forme algébrique, une raine ubique de 8i (on pourra utiliser
la forme trigonométrique). Vérier le résultat par le alul.
Proposition 5. Si z0 est une raine nième de a, alors l'ensemble des raines nièmes de a est :
tz0 ξ : ξ P Unu
n
S
Démonstration.
z
n
a 1 P Un
z
z0
z0n
z
z0
On déduit des deux résultats préédents le théorème suivant, qui fournit les autres solutions :
Théorème 2. r étant un réel positif et α un réel quelonque.
Soient a reiα .
Les solutions de l'équation z n
S
a sont :
!
!
1
α
1
α 2kπ
n
r n ei n ei
r n ei
2kπ
n
)
P t0, . . . , n 1u)
: k P t0, . . . , n 1u
:k
Autrement dit, on obtient l'ensemble des solutions de z n
partiulière z0 par les raines nièmes de l'unité.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
13 / 19
a en multipliant une solution
Nombres omplexes
IV.B À la résolution d'équation
6 septembre 2012
Exerie IV.7. Résoudre l'équation z 5 1 i.
Exerie IV.8. Cherher les raines ubiques, puis les raines quatrièmes, de 1.
Remarque 15. Tout omplexe non nul admet don n raines n-ièmes distintes.
IV.B.3 Cas partiulier des raines arrées
On résout l'équation d'inonnue omplexe z : z 2 Z (z est une raine arrée de Z dans C).
La méthode générale présentée au paragraphe préédent n'est envisageable que si l'on sait
érire z sous forme trigonométrique, e qui n'est pas toujours le as.
La méthode qui suit est plus systématique dans e as partiulier du rang 2.
Si z x iy et Z X iY ave px, y, X, Y q P R4 alors :
z2
Z ðñ
ðñ
2
2
x
" 2 y 2 2ixy X
x y X
2xy
Y
De plus, omme |z 2 | |z |2 |Z | alors x2
y2
?
X2
iY
Y2
Exerie IV.9. Cherher les raines arrées de :
1. 3 4i
2. 48 14i
Remarque 16. Tout omplexe non nul admet don 2 raines arrées distintes.
Remarque 17.
Attention!. Ne pas érire ??z lorsque z P C ! Cette ériture est réservée aux
seuls réels positifs. Par exemple, érire i 1 est inorret.
IV.B.4 Équations du seond degré à oeients omplexes
Le prinipe de résolution est le même que pour l'équation du seond degré à oeients
réels.
On onsidère l'équation suivante où A P C , pB, C q P C2 :
AZ
2
BZ
C
0 ðñ A
Z
B
2A
2
2
B
4A
C
Cette équation équivaut don à
Z
B
2A
2
2
4AC
B 4A
2
On pose don ∆ B 2 4AC appelé le disriminant de l'équation.
Si ∆ 0 il y a une unique solution qui est Z
Lyée Jean Perrin 2012/2013
B
2A
14 / 19
Nombres omplexes
IV.C À la géométrie
6 septembre 2012
Sinon le nombre omplexe ∆ admet deux raines arrées omplexes δ et δ , les solutions de
l'équation sont
Z1
Z2
Exerie IV.10. Résoudre Z 2 p5 3iqZ
B2A δ
B δ
2A
7i
4 0.
IV.C À la géométrie
IV.C.1 Ensembles de points
Rappel : Si A et B sont deux points du plan omplexe, d'axes respetives zA et zB ,
alors :AB
|zB zA|
Exerie IV.11. Déterminer l'ensemble des points M (du plan omplexe) d'axe z P C tels
que :
?
a) |z 2 i| 2 2
b) |z 1 i| ¤ 3
) |z i| |z i 1|
d) |p1 iqz 2i| 2
IV.C.2 Propriétés des arguments
Propriétés 5. Soient z, z 1 P C , alors :
(i) arg z̄ arg z r2π s
(ii) arg pzz 1 q arg z arg z 1 r2π s
1
arg z r2πs
z
z
(iv) arg 1 arg z arg z 1 r2π s
z
(iii) arg
On démontre les deux premières propriétés. Pour
z 1 sous la forme trigonométrique : z ela, érivons z et
1
1
iθ
iθ1
ρe et z ρ e .
1) z̄ ρeiθ ρeiθ , don arg z̄ θ arg z .
1
1
2) zz 1 ρeiθ ρ1eiθ ρρ1eipθ θ q, don arg pzz 1q θ θ1 arg z arg z 1
Démonstration.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
15 / 19
Nombres omplexes
IV.C À la géométrie
6 septembre 2012
IV.C.3 Congurations de trois points
Proposition 6. Soient A, B, C trois points distints du plan, alors :
ÝAB,
ÝÑ ÝAC
ÝÑ arg
AC
AB
Démonstration.
zC zA
arg
zB zA
zC
z
zC zA
zB zA
r2πs
zA B zA
argpzC zAq argpzB zAq
Ý
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ñ
~i, AC ~i, AB AB, AC
Corollaire 1. Si A, B et C sont trois points distints du plan, alors :
zC zA
est un imaginaire pur.
zB zA
z zA
2. A, B, C sont alignés ðñ C
est un réel.
zB zA
π
z zA
ei 3
3. ABC est équilatéral ðñ C
zB zA
z zA
4. ABC est isoèle retangle en A ðñ C
i
zB zA
1. pAB q K pAC q ðñ
π
Ý
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ñ
1. pAB q K pAC q AB, AC rπ s
2
arg zzC zzA π2 rπs
B
A
zzC zzA est un imaginaire pur.
B
A
Ý
Ý
Ñ
Ý
Ý
Ñ
A, B, C alignés AB, AC 0 rπ s
zC zA
arg z z 0 rπs
B
A
zC zA
z z est un réel.
Démonstration.
2.
B
Lyée Jean Perrin 2012/2013
16 / 19
A
Nombres omplexes
IV.C À la géométrie
6 septembre 2012
Exerie IV.12. Soient Ap2, 0q, B p0, 3q et C p1, 2q trois points du plan.
Montrer, en utilisant les nombres omplexes, que ABC est un triangle retangle en A.
?
?
Exerie IV.13. Soient Ap1, 1q, B p3, 1q et C p1 3, 2 3q. Montrer que ABC est un
triangle équilatéral indiret.
IV.C.4 Baryentres
A et B étant deux points du plan, α et β deux réels tels que α
unique point G tel que :
ÝÝÑ ÝÝÑ
αGA β GB ~0
β
0, alors il existe un
baryentre des points pondérés pA, αq et pB, β q (points A et B aetés des oe-
G est appelé
ients α et β ).
Dans e as, si M est un point quelonque du plan, on a également (rédution de sommes
vetorielles) :
ÝÝÑ
MG α
α
β
Ý
ÝÑ
MA
β
α
β
Ý
ÝÑ
MB
ÝÝÑ 2Ý
ÝÑ
Exemple 3. Le baryentre G de pA, 1q et pB, 2q est déni par la relation GA
GB ~0, et
ÝÝÑ
1 ÝÑ
3
peut se onstruire en utilisant : AG AA
ÝÝÑ
2 ÝÝÑ
AB
3
ÝÝÑ ÝÝÑ
ÝÝÑ ÝÝÑ
αpGM M Aq β pGM M B q ~0
ÝÝÑ ÝÝÑ
pα β qÝMÝÑ
G αM A β M B
α ÝÝÑ
β ÝÝÑ
ÝMÝÑ
G
MA
MB
α β
α β
Don il existe bien un unique point G vériant la relation
p1q, et e point est déni par la relation p2q.
Démonstration.
αGA
ÝÝÑ ~0 β GB
Proposition 7. Si G est le baryentre de pA, αq et pB, β q, alors :
zG
Démonstration.
α α β zA
β
α
β
zB
On introduit O...
Cette dénition du baryentre de deux points pondérés peut s'étendre à un ensemble de n
points pondérés :
Lyée Jean Perrin 2012/2013
17 / 19
Nombres omplexes
IV.C À la géométrie
6 septembre 2012
Dénition 12. Soient A1 , A2 , . . . , An n points du plan et α1 , α2 , . . . , αn n réels tels que α1
α2
αn
0.
On appelle baryentre du système de points pondérés
nique point G tel que :
tpA1 , α1q, pA2, α2q, . . . , pAn, αnqu l'uÝÝÑ ÝÝÑ
ÝÝÑ
α1 GA1 α2 GA2 αn GAn ~0
Dans e as, M étant un point quelonque du plan, on a également :
ÝMG
ÝÑ 1
α1
α2
αn
ÝÝÝÑ
α1 MA1
ÝÝÝÑ
α2 MA2 Ý
ÝÝ
Ñ
αn MAn
Remarques 18.
1. Le baryentre ne hange pas si on multiplie tous les oeients par le même réel non nul
k , en eet :
ÝÝÑ α1 GA1
ÝÝÑ
ÝÝÑ ~0 ðñ pα1 kqÝÝÑ
GA1 pαn k qGAn ~0
αn GAn
2. Si α1 α2 αn , on dit que G est l'isobaryentre de A1 , A2 , . . . , An .
Proposition 8. Si G est le baryentre de pA1 , α1 q, pA2 , α2 q, . . . , pAn , αn q, alors :
zG
α
1
1
α2
αn
pα1zA
1
α2 zA2
αn zAn q
Exerie IV.14. Caluler les oordonnées de l'isobaryentre des points Ap1, 0q, B p0, 1q, C p1, 2q
et Dp2, 1q.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
18 / 19
Nombres omplexes
TABLE DES MATIÈRES
6 septembre 2012
Table des matières
I Dénitions algébrique et géométrique de C
I.A Constrution de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Le plan omplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C Conjugué, module et arguments d'un nombre omplexe
I.C.1 Conjugué d'un nombre omplexe . . . . . . . .
I.C.2 Module d'un nombre omplexe . . . . . . . . . .
I.D Arguments d'un nombre omplexe non nul . . . . . . .
II Forme trigonométrique d'un nombre omplexe
II.A
II.B
II.C
II.D
II.E
Le groupe pU, q des nombres omplexes de module 1 .
Dénition de eiθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés de θ Ñ eiθ , formule de Moivre . . . . . . . .
Forme trigonométrique d'un nombre omplexe non nul
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III Exponentielle omplexe
1
2
3
3
3
6
6
6
7
7
8
9
9
IV Appliations des nombres omplexes
IV.A À la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.A.1 Linéarisation, fatorisation... . . . . . . . . . . . . .
IV.A.2 Rédution de a cos x b sin x où pa, b, xq P R3 . . .
IV.A.3 Calul de sommes trigonométriques. . . . . . . . . .
IV.B À la résolution d'équation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.B.1 Raine n-ièmes de l'unité . . . . . . . . . . . . . . .
IV.B.2 Raine n-ièmes d'un omplexe non nul . . . . . . .
IV.B.3 Cas partiulier des raines arrées . . . . . . . . . .
IV.B.4 Équations du seond degré à oeients omplexes
IV.C À la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.C.1 Ensembles de points . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.C.2 Propriétés des arguments . . . . . . . . . . . . . . .
IV.C.3 Congurations de trois points . . . . . . . . . . . .
IV.C.4 Baryentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lyée Jean Perrin 2012/2013
1
19 / 19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
11
11
12
12
13
14
14
15
15
15
16
17
Nombres omplexes