Logarithme Népérien

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Logarithme Népérien
I Définition
Remarque
On n'a pas trouvé, avec les résultats habituels, de primitive de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = 1
x
En particulier l'expression des primitives de x
n
, n'est utilisable que pour n # -1.
Exercice 01 (voir réponses et correction)
On considère la fonction h primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction x ֏ 1
x , telle que h(1) = 0
Donner quelques propriétés immédiates de la fonction h.
Définition
La fonction qui à x associe 1
x a des primitives sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
Parmi ces primitives, on appelle fonction logarithme népérien, celle qui s'annule en 1.
On notera : ]0 ; +∞[→ IR
x ֏ln x
Remarque
En admettant que l'on peut calculer l'aire sous une
courbe en utilisant une primitive de la fonction, on peut
remarquer que l'aire, en unités d'aires, comprise entre
l'axe Ox, la courbe de la fonction inverse et les droites
verticales d'équations x = 1 et x = 2 correspond à
ln 2 - ln 1, c'est-à-dire que cette aire est ln 2 .
Exercice 02 (voir réponses et correction)
On considère la fonction f définie par f(x) = 1
x .
Donner les valeurs de f(1) ; f(1,1) ; f(1,2) ; f(1,3) … f(2).
On considère, dans un repère orthonormal, la courbe de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 2].
En découpant l'intervalle [1 ; 2] en 10, approcher l'aire sous la courbe par des aires de rectangles comme ci-
dessous, et en déduire un encadrement de ln 2 .

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Propriétés
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +∞[.
Elle est dérivable sur cet intervalle, et on a
( )
ln x' = 1
x
Elle s'annule en 1, donc ln 1 = 0.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
• Pour x > 1 on a ln x > 0 • Pour 0 < x < 1 on a ln x < 0
Propriété
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors la fonction composée ln(u) est
dérivable sur I et on a :
( )
ln(u) ' = u'
u
Exercice 03 (voir réponses et correction)
Pour quelles valeurs de x les fonctions suivantes sont-elles définies ?
f(x) = ln (x + 3) ; f(x) = ln x + 3 ; f(x) = ln(x
2
+ 1) ; f(x) = x + ln x
2
; f(x) = ln 1
x + 1
Exercice 04 (voir réponses et correction)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions :
f(x) = ln (x + 3) ; f(x) = ln x + 3 ; f(x) = ln(x
2
+ 1) ; f(x) = x + ln x
2
; f(x) = ln 1
x + 1
Exercice 05 (voir réponses et correction)
Calculer la dérivée de chacune des fonctions :
f(x) = x ln x ; f(x) = ln x + ln (x + 1) ; f(x) = ln [x(x + 1)] ; f(x) = 1
ln x ; f(x) = ln x x
II Relation fonctionnelle
Exercice 06 (voir réponses et correction)
a étant un réel strictement positif fixé, on considère la fonction F définie par F(x) = ln(ax), pour x ∈ ]0 ; +∞[.
1°) Calculer F'(x).
En déduire que F est aussi une primitive de la fonction qui à x associe 1
x .
Comment peut-on alors écrire F(x) ?
2°) En calculant F(1) de deux façons différentes, en déduire que
pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ ln(ax) = ln a + ln x
3°) En utilisant la relation précédente, déterminer une relation entre ln 1
a et ln
a.
4°) a et b étant deux réels strictement positifs, donner une relation entre ln a
b , ln a et ln b .
Propriétés
a et b étant deux réels strictement positifs, on a
• ln (a.b) = ln a + ln b • ln
1
a = - ln a • ln
a
b = ln a - ln b

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Remarque
La fonction logarithme népérien transforme un produit en somme, un inverse en opposé et un quotient en
différence.
Propriétés
a étant un réel strictement positif, et n un entier relatif, on a :
• ln(a
n
) = n.ln a et • ln a = 1
2 ln a
Propriété
Si a
1
, a
2
, ..., a
n
sont des réels strictement positifs, alors : ln (a
1
x a
2
x ⋯ x a
n
) = ln a
1
+ ln a
2
+ ... + ln a
n
Exercice 07 (voir réponses et correction)
Simplifier les expressions suivantes :
ln 6 - ln 2 ; ln 2 + ln 1
2 ; ln 3 - ln 9 ; ln 2 + ln 4 - ln 8 ; 1 4 ln 81
Exercice 08 (voir réponses et correction)
Simplifier les expressions suivantes :
ln 1
3 + 2 ln 3
; ln (2 + 3 ) + ln (2 - 3 ) ; ln 1
3 + 1 - ln ( 3
- 1)
Exercice 09 (voir réponses et correction)
Donner, en fonction de ln 2 et ln 5 les valeurs de :
ln 10 ; ln 25 ; ln 16 ; ln 400 ; ln 2
25 ; ln 1 100
ln 5
8 ; ln 0,4 ; ln 5
; ln 2 2 ; ln 5 10 ; ln 5 2
2
Exercice 10 (voir réponses et correction)
Écrire plus simplement :
ln 5
2 + ln 2 5 ; ln 100
ln 10 ; ln 10 000 + ln 0,001 ; ln 1
2 + ln 2 3 + ln 3 4 + ln 4 5
Exercice 11 (voir réponses et correction)
a et b étant deux réels strictement positifs, donner en fonction de ln a et ln b les valeurs de :
ln a
b
2
; ln a
3
x b
5
; ln ab
3
; ln b
2
a
3
; ln
a
b
3
; ln a
ln ab
2
; ln ab
4
ln b
Exercice 12 (voir réponses et correction)
Soit f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = ln x
2
+ 1
(x + 1)
3
.
Calculer f'(x) et étudier son signe. En déduire le sens de variations de f.
Exercice 13 (voir réponses et correction)
Montrer que pour tout x > 0 on a ln (x + 1) - ln x = ln 1 + 1
x
Calculer, de deux façons différentes, la dérivée de la fonction f définie sur ]0
; +∞[ par : f(x) = ln 1 + 1
x

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III Étude de la fonction logarithme népérien
Propriétés
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
On a
x → +∞
lim ln x = +∞ et
x → 0
x > 0
lim ln x = -∞.
Tableau de variations
Remarques
• La droite d'équation x = 0 (axe Oy) est asymptote verticale quand x tend vers 0 par valeur supérieures.
• En utilisant la calculatrice on peut obtenir le tableau de valeurs ci-dessous :
x 0,01 0,1 0,2 0,5 1 2 3 5 10
ln x -4,61 -2,30 -1,61 -0,69 0 0,69 1,10 1,61 2,30
• Les valeurs approchées ln 2 ≈ 0,7 et ln 3 ≈ 1,1 sont à connaître.
Propriété
Il existe un et un seul réel noté e tel que ln e = 1. On dit que e est la base du logarithme népérien.
On a e ≈ 2,72
On a : ln e = 1
2 et ln 1
e
= - 1
2 et pour tout entier n : ln (e
n
) = n.
Remarque
On peut aussi obtenir e et ses puissances en utilisant la touche e
x
de la calculatrice. e correspond à e
1
.
Courbe représentative
x 0 +∞
+∞
ln
-∞

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Remarque
• La tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 1 (et pour équation y = x - 1)
• On peut remarquer que la croissance de la fonction ln est assez faible quand x tend vers +∞.
En traçant simultanément la courbe de la fonction ln et la courbe de la fonction racine carrée, il semble
que pour tout réel x strictement positif on ait ln x < x
Exercice 14 (voir réponses et correction)
1°) Compléter le tableau de valeurs suivants :
x 1 10 100 1000 10
5
10
10
10
20
ln x
x
Conjecturer la valeur de
x → +∞
lim ln x
x .
2°) Démontrer que pour tout réel x strictement positif on a : ln x < x
(On pourra étudier la fonction h(x) = ln x - x )
3°) En déduire que pour tout x > 1, on a 0 < ln x
x < 1
x
4°) En utilisant le résultat de la question précédente justifier que
x → +∞
lim ln x
x = 0 .
Propriétés
x → +∞
lim ln x
x = 0 ;
x → 0
x
>
0
lim x ln x = 0 et lim
x → 0
ln (1 + x)
x = 1
Exercice 15 (voir réponses et correction)
Résoudre dans IR : ln x > 1 ; ln x = 2 ; ln x < - 1 ; 3 - ln x £ 0
Exercice 16 (voir réponses et correction)
Résoudre dans IR : ln x = -3 ; 2 ln (x + 1) = 0 ; 1
ln x + 1 > 0
Exercice 17 (voir réponses et correction)
Résoudre dans IR les équations :
ln(2x + 1) = 1 ; ln x
2
= -1 ; ln [x(x + 1)] = 0 ; ln x + ln (x + 1) = 0
Exercice 18 (voir réponses et correction)
Résoudre dans IR les équations :
2ln x - 1 = 0 ; 2x ln x + x = 0 ; (x - 1)(1 + ln x) = 0 ; x ln(x + 2) = 0
Exercice 19 (voir réponses et correction)
Résoudre dans IR l'équation : (ln x)
2
- ln x - 2 = 0
(On pourra poser X = ln x)
Exercice 20 (voir réponses et correction)
Déterminer les limites suivantes :
x → +∞
lim x + ln x ;
x → 0
x > 0
lim x + ln x ;
x → +∞
lim x ln (x + 1) ;
x → 0
x > 0
lim ln x
x