TS DEVOIR MAISON no3correction
Exercice 1
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x
x2+ 1 et la fonction gdéfinie sur Rpar g(x) = x3
x2+ 1 .
1. I1=Z1
0
f(x) dx.
fest de la forme 1
2
u
uavec u(x) = x2+ 1
Une primitive de fest F(x) = 1
2ln(x2+ 1)
Donc I1="1
2ln(x2+ 1)#1
0
=1
2ln2 1
2ln1 = 1
2ln2
2. I1+ I2=Z1
0
x
x2+ 1 dx+Z1
0
x3
x2+ 1 dx=Z1
0
x+x3
x2+ 1 dx=Z1
0
x(x2+ 1)
x2+ 1 dx=Z1
0
xdx="1
2x2#1
0
=1
2
Donc I2=1
2I1=1
21
2ln2
Exercice 2
1. Zln2
0
ex
ex+4 dx
Soit f(x) = ex
ex+4
fest de la forme u
uavec u(x) = ex+4
Une primitive de fest F(x) = ln(ex+4)
Donc Zln2
0
ex
ex+4 dx= [ln(ex+4)]ln2
0= (ln(eln2 +4) (ln(e0+4)) = (ln(1/2 + 4)) + ln5 = ln(7/2) + ln5
2. Z2
1
t(t2+ 3)4dt
Soit f(t) = t(t2+ 3)4
fest de la forme 1
2uu4avec u(t) = t2+ 3
Une primitive de fest F(t) = 1
2×1
5(t2+ 3)5=1
10(t2+ 3)5
Donc Z2
1
t(t2+ 3)4dt="1
10(t2+ 3)5#2
1
= 1
1016807! 1
101024!= 1578,3
3. Z2e
e
1
xlnxdx
Soit f(x) = 1
xlnx
fest de la forme u
uavec u(x) = lnx
Une primitive de fest F(x) = ln(lnx)
Donc Z2e
e
1
xlnxdx= [ln(lnx)]2e
e= (ln(ln(2e)) (ln(ln(e)) = ln(ln2 + 1) ln(1) = ln(ln 2 + 1)
Exercice 3
On considère la fonction fdéfinie ]0 ; +[ par : f(x) = xln x1.
Partie A : Étude d’une fonction
1. a. lim
x+x= +et lim
x+lnx= +donc lim
x+f(x) = +.
b. On sait que lim
x0xlnx= 0, donc lim
x0f(x) = 1.
2. f(x) = ln x+x×1
x= lnx+ 1.
f(x)>0
lnx+ 1 >0
lnx > 1
x > e1
On a fe1= e1lne11 = e11.
On a donc le tableau de variations de la fonction fsur ]0 ; +[ suivant :
x0 e1+
f(x)0+
f(x)
1
e11
+
3. Sur i0 ; e1h, f (x)61<0 donc l’équation n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur l’intervalle he1; +h, la fonction fest continue et croissante . De plus 0 he11 ; +hdonc il existe un réel
unique αde l’intervalle he1; +htel que f(α) = 0.
La calculatrice donne successivement : 1,76 <α<1,77.
4. sur ]0 ; α[, f (x)<0 ;
sur ]α; +[, f (x)>0.
5. f(α) = 0 soit αlnα1 = 0 soit αln α= 1 soit lnα=1
α.
Partie B : Calcul d’une intégrale
On donne en annexe la courbe C, représentation graphique de la fonction fdans un repère orthonormé. On considère
l’intégrale suivante : I = Z4
α
f(x) dx.
1. On sait que sur l’intervalle [α; 4] la fonction fest positive, donc l’intégrale est (en unité d’aire) l’aire de la surface
hachurée limitée par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=αet x= 4.
2. F(x) = 1
4x2(2ln x1)
F(x) = 1
4×2x(2ln x1) + 1
4x2(2
x) = xlnx1
2x+1
2x=xlnx
Ce qui prouve que F est une primitive de la fonction x7→ xlnx.
3. J = Z4
α
xlnxdx="1
4x2(2ln x1)#4
α
= 1
416(2ln 4 1)! 1
4α2(2ln α1)!= 8ln4 41
2α2lnα+1
4α2
4. I = Z4
α
xlnx1 dx=Z4
α
xlnxdxZ4
α
1 dx= J [x]4
α= J (4 α) = 8ln4 41
2α2lnα+1
4α24 + α
= 8ln4 81
2α2lnα+1
4α2+α
Or d’après la partie A question 5, ln α=1
α
donc I = 8ln(22)81
2α2×1
α+1
4α2+α= 16ln2 81
2α+1
4α2+α= 16ln2 8 + 1
4α2+1
2α
I4,8 (u. a.) à 0,1 près.
1
2
3
4
5
1
2
123456
12x
y
O
C
1 / 3 100%
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