TES. exos primitives et ln

1
L IMITES TES
Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par
2
(x) ln 1
x
f = +
f est une fonction composée de type
u
ln
avec
2
(x) 1
x
u
= +
.
Compléter :
x
2
lim
x
→ +∞
=
et
x
2
lim 1 x
→ +∞
+ =
or
=
→
X
X
lnlim donc
x
lim (x)
f
→ +∞
=
x 0
x 0
2
lim 1 x
→
>
+ =
or
=
→
X
X
lnlim donc
x 0
lim (x)
f
→
=
Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle de définition I
(x) 3 ln x
f
= −
I = ] 0 ; +
∞
[
(
)
(
)
(x) ln x 1 2x 3
f= − + I = ] 1; +
∞
[
(
)
(x) ln 1 x
f
= +
I = ] – 1 ; +
∞
[
(
)
2
(x) ln x 3x
f= + I = ] 0 ; +
∞
[
(x) (1 x)ln x
f
= −
I = ] 0 ; +
∞
[
(
)
(
)
(x) x 4 ln 3 x
f
= − −
I = ] –
∞
; 3 [
(
)
(x) ln 2x 1
f
= −
I = ]
2
1 ; +
∞
[
1
(x)
ln x
f= I = ] 1; +
∞
[
2
3
(x) ln
x 1
f =
+
I = IR
3
(x) ln 1
x
f = +
I = ] –
∞ ; –
3 [
2
ln x
(x)
x
f= I = ] 0 ; +
∞
[
3
ln x
(x)
x
f= I = ] 0 ; +
∞ [
1 ln x
(x)
x x
f= − I = ] 0 ; +
∞
[
1 ln x
(x)
x
f
+
= I = ] 0 ; +
∞
[
2x
(x)
ln x
f= I = ] 1 ; +
∞
[
2 x
(x)
ln x
f
+
= I = ] 0
; 1 [
D ERIVEES
Soit f la fonction définie sur 4;
3
− +∞
par
(
)
(x) ln 2x 3
f
= −
f est une fonction composée de type
u
ln
avec
(x) 2x 3
u
= −
d’après le théorème sur les fonctions composées, la fonction
u
ln
est dérivable sur 4;
3
− +∞
et
[
]
'(x) ln' (x) '(x)
f u u= × d’où
1 '(x)
'(x) '(x)
(x) (x)
u
f u
u u
= × = .
ainsi dans le cas présent u’(x) = et f ’(x) =
Calculer les dérivées des fonctions définies précédemment

2
PRIMITIVES
Soit f la fonction définie sur 3;
2
+∞
par
3
(x)
2x 3
f=
−
. Si on note
(x) 2x 3
u
= −
alors u’(x) = 2
et on peut écrire
3 '(x)
(x)
2 (x)
u
fu = × . pour tout x de l’intervalle 3;
2
+∞
, 2x – 3 > 0
et la fonction f est la dérivée de la fonction x ֏
la fonction F définie par F(x) = est une primitive de f .
1. Donner une primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle I
2
(x)
x
f
=
I = ] 0 ; +
∞
[
2
(x)
2x 3
f=
+
I =
3;
2
− +∞
3
(x)
x 2
f=
−
I = ] 2 ; +
∞
[
2
2x 1
(x)
x x 1
f
+
=
+ +
I = IR
2
x
(x)
1 x
f=+ I = IR
6
(x)
3x 1
f=
+
I =
1;
3
− +∞
2. Calculer la primitive F de la fonction f définie sur I et vérifiant la condition donnée.
2
2x 1
(x)
x x 3
f
+
=
+ +
I = IR
F(0) = ln3
2
(x)
3 x
f=
−
I =] –
∞ ; 3 [
F(2) = 1
2
x 1
(x)
x 2x 3
f
+
=
+ +
I = IR
F(0) =
0
3 1
(x)
x 2 5 x
f= −
− −
I = ] 2 ;5 [ F(3) = 0
3. On donne des fonctions f définies sur un intervalle I ,
pour chaque fonction indiquer une formule à utiliser pour calculer une primitive,
puis donner une primitive F.
2
2x
(x)
x 1
f=
+
I = IR
( )
2
1 2
(x) x 3
x 3
f= −
++
I = ] – 3 ; +
∞
[
( )
2
2
2x
(x)
x 1
f=+ I = IR
(
)
2
2
xln x 1
(x)
x 1
f
+
=+ I = IR
( )
1
(x) 2 ln x
x
f = ×
I = ] 0 ; +
∞
[
( ) ( )
2 2 2
2x
(x) x 1 ln x 1 f=
+ +
I = IR
4. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’intervalle I = ] – 4 ; 2 [
telle que
(
)
(
)
(
)
(
)
(x) x 4 ln x 4 2 x ln 2 x
g
= + + + − −
. On note g’ la dérivée de g ,
calculer g’(x). En déduire la primitive F de la fonction f définie sur I par
x 4
(x) ln
2 x
f
+
=
−
et telle que F(1) = ln(125)