TES LIMITES 2 Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f (x) = ln 1 + x avec u (x) = 1 + f est une fonction composée de type ln u Compléter : 2 2 lim = et lim 1 + = x → +∞ x x → +∞ x 2 lim 1 + = x x>0 or 2 . x lim ln X = X → or lim ln X = x→0 donc lim f (x) = x → +∞ donc lim f (x) = X → x→0 Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle de définition I f (x) = ln ( x − 1)( 2x + 3) f (x) = 3 − ln x I=]0;+∞[ f (x) = ln (1 + x ) I=]–1;+∞[ f (x) = (1 − x) ln x I=]0;+∞[ I=] 1 ;+∞[ 2 f (x) = ln ( 2x − 1) 3 f (x) = ln 2 x +1 ln x f (x) = 2 x 1 ln x f (x) = − x x 2x f (x) = ln x f (x) = ln ( x + 3x ) 2 f (x) = ( x − 4 ) ln ( 3 − x ) f (x) = 1 ln x 3 f (x) = ln 1 + x ln x f (x) = 3 x 1 + ln x f (x) = x 2+x f (x) = ln x I = IR I=]0;+∞[ I=]0;+∞[ I=]1;+∞[ I = ] 1; + ∞ [ I=]0;+∞[ I=]–∞;3[ I = ] 1; + ∞ [ I=]–∞;–3[ I=]0;+∞[ I=]0;+∞[ I=]0;1[ DERIVEES 4 Soit f la fonction définie sur − ; +∞ par f (x) = ln ( 2x − 3) 3 f est une fonction composée de type ln u avec u (x) = 2x − 3 4 d’après le théorème sur les fonctions composées, la fonction ln u est dérivable sur − ; +∞ 3 1 u '(x) et f '(x) = ln' [u (x)] × u '(x) d’où f '(x) = × u '(x) = . u (x) u (x) ainsi dans le cas présent u’(x) = et f ’(x) = Calculer les dérivées des fonctions définies précédemment 1 PRIMITIVES 3 3 Soit f la fonction définie sur ; +∞ par f (x) = . Si on note u (x) = 2x − 3 alors u’(x) = 2 2x − 3 2 3 u '(x) 3 f (x) = × . pour tout x de l’intervalle ; +∞ , 2x – 3 > 0 et on peut écrire 2 u (x) 2 et la fonction f est la dérivée de la fonction x ֏ la fonction F définie par F(x) = est une primitive de f . 1. Donner une primitive F de la fonction f définie sur l’intervalle I 2 2 f (x) = f (x) = I=]0;+∞[ x 2x + 3 3 2x + 1 f (x) = f (x) = 2 I=]2;+∞[ x−2 x + x +1 x 6 f (x) = f (x) = I = IR 2 1+ x 3x + 1 3 I = − ; +∞ 2 I = IR 1 I = − ; +∞ 3 2. Calculer la primitive F de la fonction f définie sur I et vérifiant la condition donnée. 2x + 1 2 f (x) = 2 I = IR F(0) = ln3 f (x) = I =] –∞ ; 3 [ F(2) = 1 x + x +3 3− x x +1 3 1 f (x) = 2 f (x) = − I = IR F(0) = 0 I = ] 2 ;5 [ F(3) = 0 x + 2x + 3 x −2 5− x 3. On donne des fonctions f définies sur un intervalle I , pour chaque fonction indiquer une formule à utiliser pour calculer une primitive, puis donner une primitive F. 1 2 2x f (x) = − f (x) = 2 I = IR I=]–3;+∞[ x + 3 ( x + 3)2 x +1 f (x) = (x 2x 2 + 1) 2 1 f (x) = 2 ( ln x ) × x I = IR f (x) = I=]0;+∞[ f (x) = x ln ( x 2 + 1) I = IR x2 +1 (x 2x 2 + 1) ln ( x 2 + 1) 2 I = IR 4. Soit g la fonction définie et dérivable sur l’intervalle I = ] – 4 ; 2 [ telle que g (x) = ( x + 4 ) ln ( x + 4 ) + ( 2 − x ) ln ( 2 − x ) . On note g’ la dérivée de g , x+4 calculer g’(x). En déduire la primitive F de la fonction f définie sur I par f (x) = ln 2−x et telle que F(1) = ln(125) 2