Extrait du livre - Editions Ellipses

Chapitre 1
Prérequis de physique et de
statistique
Ce chapitre commence par un résumé des notions essentielles de mécanique classique
et une présentation comparative des formalismes de Newton, de Lagrange et de Hamilton
- ceci dans le but d’introduire l’espace des phases. Les apports majeurs de la mécanique
quantique sont ensuite rappelés pour faciliter la compréhension de certains aspects de la
physique statistique ; on se borne à donner la solution de l’équation de Schrödinger d’une
particule libre dans une boite parallélépipédique pour définir la notion de dégénérescence
des états énergétiques. Puis les principaux résultats de thermodynamique classique sont
fournis dans la suite du chapitre, qui se termine par un aperçu général des méthodes
statistiques indispensables au développement de la physique statistique.
1.1
Mécanique classique
1.1.1
Formalisme de Newton
La mécanique classique repose sur l’équation de Newton :
Fi = m
d2 ri
,
dt2
(1.1)
dans laquelle Fi est la force qui agit sur la i-ième particule d’un système qui en contient
N, m est la masse de la particule et ri son rayon vecteur. Cette équation, qui permet de
décrire le mouvement de la particule, se réduit à 3 équations différentielles du second ordre
dont les solutions xi (t), yi (t) et zi (t) sont déterminées lorsque la force Fi et les conditions
initiales sont connues.
Par exemple, pour étudier le mouvement de l’oscillateur harmonique linéaire, on utilise
l’équation différentielle :
d2 X
(1.2)
m 2 = −kX,
dt
13
14
CHAPITRE 1. PRÉREQUIS DE PHYSIQUE ET DE STATISTIQUE
où X(= x − x0 ) représente l’allongement proportionnel à la force F (= −kX). La solu k 1/2
tion de l’équation différentielle est X = X0 cos(ωt + ϕ). La pulsation ω = m
dépend
des caractéristiques du système, tandis que X0 et ϕ sont les deux constantes d’intégration déterminées avec les conditions initiales. Cette solution correspond, par exemple, au
mouvement oscillatoire d’une masse m sans frottement attachée à un ressort de rigidité
k.
Pour comparer utilement les différents formalismes de la mécanique classique, considérons le mouvement d’une particule de masse m dans un champ central. L’énergie potentielle est U (r) = kr et la force qui en dérive F = −gradU = −k rr3 , de sorte que l’équation
de Newton qui régit le mouvement de la particule est :
m
d2 r
r
= −k 3 .
2
dt
r
(1.3)
Si la trajectoire est située dans le plan (xy), les projections de cette équation vectorielle
sont :
d2 x
x
m 2 = −k 2
,
dt
(x + y 2 )3/2
d2 y
y
.
m 2 = −k 2
dt
(x + y 2 )3/2
La nature du problème et la forme des équations imposent d’employer les coordonnées
polaires (r et θ) pour résoudre ce système d’équations différentielles. Après avoir effectué
les changements de variables x = r cos θ et y = r sin θ, le système d’équations différentielles
précédent s’écrit :
k
2
m(r̈ − rθ̇ ) + 2 cos θ − m(rθ̈ + 2ṙθ̇) sin θ = 0,
(1.4)
r
k
2
(1.5)
m(r̈ − rθ̇ ) + 2 sin θ + m(rθ̈ + 2ṙθ̇) cos θ = 0.
r
Pour simplifier ces équations effectuons successivement leur somme, après avoir multiplié la première équation par cos θ et la seconde par sin θ, et leur différence après avoir
multiplié la première équation par sin θ et la seconde par cos θ. On aboutit ainsi aux deux
relations suivantes :
k
= 0,
r2
m(rθ̈ + 2ṙθ̇) = 0.
2
m(r̈ − rθ̇ ) +
(1.6)
(1.7)
La seconde relation est une différentielle totale exacte qui s’intègre immédiatement sous
la forme :
mr2 θ̇ = l.
(1.8)
.
Il est évident que la quantité mr2 θ = l correspond au moment cinétique de la particule et
que c’est une constante du mouvement. En éliminant θ̇ entre les relations (1.6) et (1.8),
on obtient l’équation radiale, soit :
mr̈ = −
l2
k
+
.
r2 mr3
(1.9)
1.1. MÉCANIQUE CLASSIQUE
15
On notera que la solution r(t) de cette équation différentielle peut s’exprimer, tout au
moins en principe, en fonction des constantes k et l. On notera également, en comparant
l2
les relations (1.9) et (1.3), la présence du terme supplémentaire mr
3 dans la relation (1.9)
qui doit être interprété comme une force fictive (force centrifuge) ne traduisant aucune
liaison extérieure mais provenant uniquement du mode de représentation adopté. La force
centrifuge et la force de Coriolis qui apparaissent dans les systèmes de coordonnées en
rotation sont deux exemples de forces fictives.
1.1.2
Formalisme de Lagrange
Le mouvement d’une particule, ou plus généralement d’un système matériel, peut être
également étudié avec le formalisme de Lagrange. Ce formalisme est utilisé lorsque les
variables sont des angles ou des fonctions compliquées des coordonnées conventionnelles,
plutôt que les coordonnées cartésiennes des particules individuelles. Dans ce formalisme,
un système de N particules interagissant les unes avec les autres est défini par ses 3N coordonnées généralisées qi , où i = 1, 2, ..., 3N. Or, pour décrire le mouvement des particules,
on doit préalablement calculer la fonction suivante, appelée lagrangien du système :
L(q1 , q2 , ..., q3N ; q̇1 , q̇2 , ..., q̇3N ; t) = T − U,
(1.10)
qui dépend des coordonnées généralisées qi , des vitesses généralisées q̇i et éventuellement
du temps t. Dans le membre de droite de la relation (1.10), T est l’énergie cinétique et U
l’énergie potentielle du système. L’énergie cinétique T est une fonction quadratique des
vitesses généralisées :
N
1
T =
mk q̇k2 ,
2 k=1
et l’énergie potentielle U ne dépend que des coordonnées généralisées quand le système
est conservatif. Si l’on connaît l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système, on
peut calculer les équations du mouvement en utilisant les équations de Lagrange qui se
présentent sous la forme suivante :
∂L
d ∂L
−
=0
où
i = 1, 2, ..., 3N.
(1.11)
dt ∂ q̇i
∂qi
A titre d’illustration, retrouvons avec le formalisme de Lagrange les équations du
mouvement des deux systèmes traités avec le formalisme de Newton. Ici il est inutile
de connaître les forces appliquées. Pour l’oscillateur harmonique linéaire utilisons comme
coordonnée généralisée q1 = X. L’énergie cinétique de la masse m est T = 12 mẊ 2 et
l’énergie potentielle est U = − (−kX)dX = 12 kX 2 , de sorte que le lagrangien a pour
expression :
.
1
1
L(X, X) = mẊ 2 − kX 2 .
(1.12)
2
2
Quant à l’équation du mouvement, elle est fournie par l’équation de Lagrange (Rel. 1.11)
qui s’écrit :
∂L
d ∂L
−
= 0,
dt ∂ Ẋ
∂X
d
soit
(mẊ) + kX = 0,
dt
16
CHAPITRE 1. PRÉREQUIS DE PHYSIQUE ET DE STATISTIQUE
et qui coïncide avec la relation (1.2).
Considérons à présent la particule, de masse m, dans un champ central. Son énergie
potentielle est U = kr et son énergie cinétique T = 21 mv 2 s’exprime en fonction des
coordonnées généralisées q1 = r et q2 = θ. Puisqu’avec les coordonnées polaires le carré
de la vitesse a pour expression :
2
v 2 = ṙ2 + r2 θ̇ ,
le lagrangien correspondant s’écrit :
k
1
2
L(r, θ, ṙ, θ̇) = m(ṙ2 + r2 θ̇ ) + .
2
r
Avec les coordonnées r et θ, l’utilisation des
à:
d ∂L
−
dt ∂ ṙ
d ∂L
−
dt ∂ θ̇
équations de Lagrange conduit directement
∂L
= 0,
∂r
∂L
= 0,
∂θ
soit :
d
k
2
(mṙ) − mrθ̇ + 2 = 0,
dt
r
d 2 mr θ̇ = 0.
dt
Ces deux équations coïncident avec les relations (1.8 et 1.9). Contrairement au formalisme de Newton, elles ne requièrent la connaissance ni des forces réelles ni des forces
2
l2
fictives. En particulier, la force centrifuge mrθ̇ = mr
3 apparaît naturellement à partir
du lagrangien, ce qui constitue un avantage sur le formalisme de Newton dans lequel la
présence des forces fictives complique la mise en équation du mouvement.
Un autre avantage du formalisme de Lagrange est la mise en évidence de quantités
qui se conservent durant le mouvement et que l’on appelle intégrales premières. Une
intégrale première particulièrement importante est celle où le lagrangien ne dépend pas
explicitement du temps. Montrons le en calculant la dérivée totale de L par rapport au
temps :
dL ∂L ∂qi ∂L ∂ q̇i ∂L
=
+
+
.
(1.13)
dt
∂q
∂t
∂
q̇
∂t
∂t
i
i
i
i
∂L
i
D’après l’équation de Lagrange, dtd ∂∂L
= ∂q
, et la relation ∂q
= q̇i , la relation (1.13)
q̇i
∂t
i
s’écrit encore :
d ∂L ∂L ∂ q̇i ∂L
dL
=
q̇i
+
+
,
dt
dt
∂
q̇
∂
q̇
∂t
∂t
i
i
i
d ∂L ∂L
dL
=
q̇i
+
,
dt
dt
∂
q̇
∂t
i
i
∂L
d ∂L
= −
q̇i
−L .
∂t
dt
∂
q̇
i
i
1.1. MÉCANIQUE CLASSIQUE
17
Or, si le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps ( ∂L
= 0), la relation précédente
∂t
se réduit à :
∂L
H=
q̇i
− L = Cte.
(1.14)
∂ q̇i
i
La quantité H qui se conserve lorsque L ne dépend pas explicitement du temps est une
intégrale première très importante de la mécanique analytique. De manière analogue, si le
lagrangien L est indépendant d’une coordonnée généralisée, qj par exemple, la variation
de L par rapport à q̇j est une constante
conformément à l’équation de Lagrange (Rel. 1.11)
car, en effet,
∂L
∂qj
= 0 entraîne
d
dt
∂L
∂ q̇j
= 0 ou encore
∂L
∂ q̇j
= Cte. De manière générale, à
= pi dont l’emploi
chaque coordonnée généralisée qi on associe son moment conjugué ∂∂L
q̇i
conduit à un nouveau mode de description : le formalisme de Hamilton.
1.1.3
Formalisme de Hamilton
Dans le formalisme de Lagrange les variables indépendantes sont les coordonnées généralisées qi qui définissent l’état du système à tout instant. Ce sont des fonctions du temps,
solutions d’un système de 3N équations différentielles du second ordre. Par contre, dans
le formalisme de Hamilton, on choisit comme variables indépendantes les coordonnées
généralisées qi et les moments conjugués pi = ∂∂L
. Le fait d’introduire les moments conjuq̇i
gués pi dans la relation (1.14) n’apporte pas d’avantage évident si ce n’est de définir une
nouvelle fonction H, appelée hamiltonien, qui a les mêmes dimensions que L, c’est-à-dire
celles d’une énergie :
H(qi , pi , t) =
q̇i pi − L.
(1.15)
i
L’hamiltonien doit son intérêt au fait d’être une intégrale première lorsque le lagrangien
ne dépend pas explicitement du temps (Rel. 1.14) et de représenter, le plus souvent,
l’énergie totale du système. En effet, si le système est conservatif, l’énergie potentielle
U (= T − L) n’est fonction que des coordonnées généralisées, ce qui permet d’écrire les
moments conjugués sous la forme :
pi =
∂L
∂(T − U)
∂T
=
=
.
∂ q̇i
∂ q̇i
∂ q̇i
(1.16)
Par ailleurs, l’énergie cinétique T étant toujours une fonction quadratique des vitesses
généralisées, il est possible d’écrire :
∂T
= 2T,
q̇i
∂
q̇
i
i
(1.17)
en vertu du théorème d’Euler. Rappelons que le théorème d’Euler stipule que si une
fonction f(λx1 , λx2 , ...λxi ) est un polynôme homogène de degré m des xi , soit :
f (λx1 , λx2 , ...λxi , ...) = λm f (x1 , x2 , ..., xi , ...),
(1.18)
18
CHAPITRE 1. PRÉREQUIS DE PHYSIQUE ET DE STATISTIQUE
la fonction f est liée à ses dérivées partielles par la relation :
i
xi
∂f
= mf.
∂xi
(1.19)
Pour le démontrer, il suffit de dériver la relation (1.18) par rapport à λ et de poser λ = 1,
soit :
∂f ∂λx1
∂f ∂λx2
∂f ∂λxi
+
+ ... +
+ ... = mλm−1 f (x1 , x2 , ..., xi , ...),
∂λx1 ∂λ
∂λx2 ∂λ
∂λxi ∂λ
∂f
∂f
∂f
+ x2
+ ... + xi
+ ... = mf(x1 , x2 , ..., xi , ...).
x1
∂x1
∂x2
∂xi
Compte tenu que l’énergie cinétique T est un polynôme homogène de degré deux des
.
q i , ceci démontre la relation (1.17). Par conséquent, en combinant les relations (1.15),
(1.16) et (1.17), l’hamiltonien d’un système conservatif se réduit à l’expression :
H =
∂T
q̇i . − L,
∂ qi
i
H = 2T − L = 2T − (T − U),
soit
H = T + U = E.
Pour établir les équations du mouvement dans le formalisme de Hamilton, il convient
de calculer la différentielle totale de l’hamiltonien H(qi , pi , t), soit :
dH =
∂H
i
∂qi
dqi +
∂H
i
∂pi
dpi +
∂H
dt.
∂t
(1.20)
Comme l’élément dH est aussi donné par la différentielle de la relation (1.15), en s’aidant
de la relation (1.13), il s’écrit encore :
∂L
∂L
∂L
dH =
dq̇i pi +
q̇i dpi −
dqi +
dq̇i +
dt .
(1.21)
∂qi
∂ q̇i
∂t
i
i
i
i
En utilisant les équations de Lagrange (Rel. 1.11), soit
∂L
∂qi
=
d
dt
∂L
∂ q̇i
, et les moments
conjugués (pi = ∂∂L
), on peut transformer le terme entre crochets dans l’équation précéq̇i
dente comme suit :
d ∂L ∂L
∂L
∂L
dqi +
dq̇i +
dt =
ṗi dqi +
pi dq̇i +
dt,
dt ∂ q̇i
∂ q̇i
∂t
∂t
i
i
i
i
et simplifier la relation (1.21) sous la forme suivante :
∂L
dt ,
dH =
dq̇i pi +
q̇i dpi −
ṗi dqi +
pi dq̇i +
∂t
i
i
i
i
∂L
soit dH =
q̇i dpi −
ṗi dqi −
dt.
∂t
i
i
(1.22)
1.1. MÉCANIQUE CLASSIQUE
19
L’identification terme à terme des relations (1.20) et (1.22) permet d’obtenir les équations de Hamilton qui s’écrivent :
∂H
,
∂pi
∂H
ṗi = −
,
∂qi
∂L
∂H
= −
.
∂t
∂t
q̇i =
(1.23)
La dernière de ces relations montre que si le lagrangien ne dépend pas explicitement du
temps, l’hamiltonien n’en dépend pas non plus. Quant aux deux premières relations, elles
constituent les équations du mouvement dans le formalisme de Hamilton. Elles forment
un système de 6N équations différentielles du premier ordre qui requièrent la connaissance des 6N conditions initiales (3N pour p et 3N pour q). Elles remplacent les 3N
équations différentielles du second ordre du formalisme de Lagrange, qui requièrent aussi
6N conditions initiales. Les équations du mouvement de Hamilton ne représentent pas
un progrès par rapport aux équations du mouvement de Lagrange ; leur seul avantage
est de fournir une base adaptée au développement de la mécanique quantique et de la
physique statistique. En effet, dans le formalisme de Hamilton, on introduit un espace à
6N dimensions, appelé espace des phases Γ, où un point défini par les 3N variables qi et
les 3N variables pi décrit une trajectoire qui permet de suivre l’évolution du système au
cours du temps.
Pour illustrer la méthode, considérons de nouveau l’oscillateur harmonique linéaire
dont le lagrangien (Rel. 1.12) s’écrit sous la forme :
1
1
L(q, q̇) = mq̇ 2 − kq 2 .
2
2
Le moment conjugué est p =
expression :
soit
∂L
∂ q̇
= mq̇, de sorte que l’hamiltonien H = pq̇ − L a pour
1
1
H = mq̇ 2 − ( mq̇ 2 − kq 2 ),
2
2
1 p2 1 2
H =
+ kq ,
2m 2
(1.24)
et que les équations du mouvement sont :
∂H
p
= ,
∂p
m
∂H
ṗ = −
= −kq.
∂q
q̇ =
(1.25)
(1.26)
Après avoir substitué ṗ (= mq̈) dans la seconde équation, on peut procéder à l’intégration de l’équation différentielle du second ordre et calculer successivement q et p,
soit :
q = q0 cos(ωt + ϕ),
(1.27)
p = mq̇ = −mωq0 sin(ωt + ϕ),
(1.28)
20
CHAPITRE 1. PRÉREQUIS DE PHYSIQUE ET DE STATISTIQUE
F. 1.1 — Trajectoire du point représentatif de l’état dynamique de l’oscillateur harmonique linéaire dans l’espace des phases.
k
où ω 2 = m
. Puisque le système est conservatif, on peut également calculer l’énergie totale
avec la relation (1.24), soit :
E = H=
1 p2 1
+ mω2 q2 ,
2m 2
1
1
[−mωq0 sin(ωt + ϕ)]2 + mω2 [q0 cos(ωt + ϕ)]2 ,
2m
2
1
mω2 q02 .
E =
2
(1.29)
E =
(1.30)
Notons que l’évolution du système mécanique peut être représentée dans l’espace des
phases à deux dimensions en traçant p en fonction de q (Fig. 1.1). En supposant que
la phase ϕ soit nulle à l’instant initial, les expressions de q et de p (Rels. 1.27 et 1.28)
s’écrivent en fonction de E (Rel. 1.30) sous la forme :
1 2E
cos ωt,
q =
ω√ m
p = − 2mE sin ωt.
Il est facile de vérifier que la trajectoire dans l’espace des phases est une ellipse décrite
dans le sens des aiguilles d’une montre.
1.2
1.2.1
Mécanique quantique
Généralités
La mécanique classique permet de déterminer le mouvement d’une particule ou d’un
ensemble de particules classiques au moyen des équations du mouvement, lorsque les
positions et les vitesses initiales sont connues. Cependant, il est apparu au cours des
années 1920 que pour certaines particules il est impossible de déterminer précisément et
simultanément la position et la vitesse : c’est le principe d’incertitude d’Heisenberg. Pour
ces particules, la description de la mécanique classique ne s’applique pas. En particulier,
le point représentatif de l’état dynamique, dans l’espace des phases, à un instant donné,