chapitre1 sali

Chapitre 1: Ondes et vibrations
Généralités sur les vibrations
l- Introduction
ll existe deux tYPes de mouvements
un autre
DéPlacemen't d'un Point à
:
-
.Lemouvement(évolutiondusystème)s'effectueautourd'uneposition
d'équilibre'
du mouvement
ll- Détermination de l'équation
:
Pourétudierunphénomènephysique,nousdevonsleformulermathématiquementà
nous dérivons les
qui définissent le système, ensuite
travers tous les p"ràÀetr"s
le temps' la
l'évolùtion du système dans
quidéfinissent
mouuement
instant'
équations du
o" retrouver l'état du système à tout
p"rr"t
nou,
êquations,
ces
de
résorution
l|existep|usieursméthodespou,t"dérivationdeséquationsdumouvement:
de
méthoded'équiliore,méthoded'énergieetlaméthodedeLagrange'
J,équiribre : elre est basée sur'apprication
metnËol
par
ra
exempre
un
Etudions
loi de Newton'
t3""i1,:".;:,n.Jru:lniqu"
la seconde
simpre (masse
'"
nég|ige|amasseduressortet|esfrottàments.
arri rrihre verticalement'
verticalement,
- ressort)\ quivibre
t.2(1
on
7
t- ---+-l"o-l- H
-g-- -- ,ft,;;:-
/o n'h;- ê1,u'L'bru
de ra
de raideur du ressort ; x(r) : coordonnées
m : vareur de ra mass e; K..constante
'.longueur à vide du ressort , a/ :
d,équilibr ê i Io
masse par rapport J i" porition
allongement du ressort à
Etat d'équilibre
27,:A
:
- P*f*: d
*#
:
mg- k(A'l+x)
:
m'i
-
mg
-
kLl
ce qui donne finalement
-
â
-|F''
mg-
kA,l
:
m'i
En mouvement:
utilisons la2"d loide Newton
mà
|-Ê,:
4
l'équilibre'
l<x
:Q
[+
Çlflr y
m'i(t)+kx(t):g
C,estuneéquationdifférentieltelinéairedusecondordre,ellecaractériseun
mouvement oscillatoire harmonique'
on Pose klm
:
af,, ce qui donne
-^
s
1b
ao :
système.
@o
:
ii(r) + ro2ox(t):0
constituant le
ne dépend que des paramètres
,[klm pulsation propre, elle
2rlTo
:2r.f
Z, : Période Propre des oscillations
/: fréquence
des oscillations
lll- Formalisme de Lagrange
:
Le nombre de degré de liberté (nddl)
1-
:
et suffisant
(grandeurs) indépendantes nécessaire
c,est le nombre de paramètres
pour repérer la position d'un systeme
mécanique
2-
Coordonnées
génératisées
o
II y''
A
est
point maté rie| M,par rapport à un repère,
La position dans l,espace d,un
ou
par la connaissance du rayon vecteur Ofu:7'
parfaitement déterminée à l'instant r
/
de trois coordonnées :
dans un
dans un repère cylindrique i r'?'Q
x,y,z dans un rePère cartésien ; r,0,2
-ri:;tJ,:i:ll"
porition à r,insta nt t + dt,il faut connaitre sa vitesse
n
:
a
oirrû (par
exempledxldt,dyldt,dzldtquel'onpeutnoter:"'i'z);donclemouvementdecepoint
par une fonction des variable.s (x'y,z)t'i":'t-)-
matériel peut être caractérisé
à des
peuvent correspondre à des longueurs ou
.Les coordonnées généralisées
;
angles que I'on note :
qi
'Lesdérivéesdq;ldt:q,sontappeléesvitessesgénéra|isées,demême|es
:
généialisées sont définies par *qildt2 Qi'
accélérations
par 3N "
I'espace à 3 dimensions est repérer
Un systèm" o" OJnii *"tetiels dans
par la ' ' '
de degré de riberté nddr est donné
coordonnées généra'rsées. Donc re nombre
t
relation
:
nddl
:3N-,R
au système'
R : nombre de contraintes imposés
3-
Lagrangien et équations de Lagrange
:
par une fonction 4 appelée
Tout système mécanique à n ddl est caractérisé
Lagrangien
:
L(qt,Q2, " "',Q,,Qt'42' " "'Qn't) L(qi'qi't)
de moindre action comme suit :
L,évolution du système obéit au principe
Toutsystè'"unévolutionentrelesinstantS/r9t/zSuitlecheminquirendl'integrale
suivante stationnaire (minimale)'
l2
s:
I L(qi,qi,t)dt
t1
Lagrange'
Cette condition conduit aux équations de
*(#)-ffi:o
-2
système'
ces
mouvement du
constituent les équations du
n équations différentietles
à partir
J'intebr.tions que |on détermine
z, ,onii'àiË,
Leur sorution générare contient
problème'
des conditions initiales du
4-
ExPression du Lagrangien
'
a-Lagrangiend,unsystèmedansunchampdérivantd'unpotentiel:
pas du temps (gravitation'
potentielle ne dépend
Dans ce cas le potentiel ou l,énergie
totale est constante'
élastique,..) ; les toi*r ront conservitït:ï:";"rgie
énergie potentielle'
avec I: énergie cinétique et U:
(équations du mouvement)
Les équations de i"g'"ng"
d
oL\-4.:o
(
dt \ôàt )
i:1,.....,fi
|
ÔQi
n est la nombre de ddl'
à des forces extérieures (|'énergie
Lagrangien d,un système soumis
totale n'est Pas conservée) :
le
b.
potentiel varie dans
à des forces extérieures' le
soumis
est
système
le
Lorsque
temps, on Peut alors écrire :
U(q,t): U(q)+Uu,(q,t)
U(q): Potentiel ProPre du sYstème
U*,(q,t): potentiel dû aux forces extérieures'
Le lagrangien s'écrit donc
:
L -- T(q)
L:
- U(q) - U,,'(q't)
L-Uu,(.q,t)
Les équations de Lagrange
*(%)-ff:o
ou bien
d
(gL\-4-*ôu'ry(q't) :o
dq
dt\ôî)
finalement
a
V,
.
Siq
: x (coordonnées
oq
(Pt\-+--ôIJ't(q't)
-aq ôq
)\64
d'espace linéaire)
-
ôU't@'Ù
:
FQ)
dépendantes du temps
Correspond aux forces extérieures
g (Coordonnées angulaires)
. Siq
:
- u'"âf't' : M^(Êrit)
par rapport à un axe de rotation (a)'
correspond au moment de forces extérieures
-3
lV.Domainesénergétiquesdesvibrations:
ConsidéronslepotentielU(x)d,unsystèmemécaniqueàlddlpossédantdes
configuration suivante'
minimas et des maximas avec la
& s r*3
it"
ii
t
ir
i
I
}*
,*{
t
a
)1***
t
I
i
*.*
{
"F
&
f
tÂr*)
\
-ê*
tw
*d"
1*
s
&*f
r?û
fe"n &** p*r c*
æ #*. *ls?.-l* #'**
11
s
ksh^--ft'--,l
ffi:rsil
?${*
{
@
{Ê
â
:
par T E - rJ@), cette grandeur est
L,énergie cinétijue du système est donné
ne peut avoir lieu que dans Ie domaine
positive ou nulle, par conséquent le mouvement
:
bu f' U(x), étudions les deux cas suivants
t
-Lesystèmepossède|,énergieEr:Lemouvementn'estpossiblecarElest
toujours inférieur à U(x)'
droite qui représenle Ez coupe la courbe
Le système possède l'énergie Ez : La
et c respectivement, le mouvement n'est
u(x) en trois points A, B, c d,abscissé,
-
",b,
possiblequesilesystèmeévolueentreaetbou,decàl'infinie;A'Betcsontappelés
:
0)'
points d'arrêt (J E (Z:
^^r soumis à une force qui le
-:- :,il est
mais
Au point a le systeme à une vitesse nulle,
position'
sa uit"rr" r^1llu'" à nouveau, à cette
déplace vers les x positifs jusqu,en b où
les
revient vers a, ainsi' le système oscille entre
sous l'action de la force (négative), il
o"'T;:::i*aame
de ra force
possède une vitesse nu*e, mais sous
'action
jusqu'à I'infini'
déplace vers les x croissants
-q !
î, ir ,e
J
-
Points d'équilibres :
initiale en
si |e système est p|acé sans vitesse
nul|e,
est
:
Ë
:
-,,uforce
x
êt
xt
En x
xt êt xz sont des points 0.,éOtfO-:.:*,^
l'un de ses points, il reste immobile'
xt il sera soumis à une force F
'
si le système est écarté de la position d'équilibfê un
minimum de potentiel est
à
qui
correspond
point
tout
donc,
VêfS.xt
qui le ramènera
.
un point d'équilibre stable'
.Silesystèmeestécartéde|apositionx2,ilserasoumisàuneforcequi
un maxima
don., tout point qui correspond à
l,éloignera de sa position d;équilibre ,
potentiet est un point d'équilibre instable'
._l
-5-
de