Principes variationnels et Mécanique analytique

promotion 2011
Année 2
Enseignement diversifié 1
pHY431
Principes variationnels
et
Mécanique analytique
Édition 2012
Christoph Kopper

1
Table des matières
Préface2012 ........................... 3
0 Avant-propos 5
1 L’esthétique et la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 La métaphysique et la science . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Les nombres, la musique et la physique quantique . . . . . . . 8
4 La philosophie des lumières et le principe du meilleur . . . . . 13
5 Le principe de Fermat et ses conséquences . . . . . . . . . . . 14
6 Les principes variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7 La période moderne, de Lagrange à Einstein et à Feynman . . 19
1 Principes variationnels 29
1 Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1 Réfraction......................... 31
1.2 Rayons courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 Mirages .......................... 37
2 Principe de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Principe de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Mécanique analytique et calcul variationnel 45
1 Le calcul variationnel d’Euler et Lagrange . . . . . . . . . . . 46
2 Lelagrangien ........................... 48
3 Invariances et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Moments conjugués, impulsions généralisées . . . . . . 52
3.2 Changement de coordonnées, variables cycliques. . . . . 52
3.3 Energie et translation dans le temps . . . . . . . . . . . 53
3.4 Impulsion et translations dans l’espace . . . . . . . . . 54
3.5 Moment cinétique et rotations . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Symétries dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Exemples ............................. 58
5.1 Rayons courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Forme d’une corde pesante . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Bulles de savon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2
Exercices ................................ 65
3 Théorie lagrangienne de l’électromagnétisme 71
1 Lagrangien d’une particule relativiste . . . . . . . . . . . . . 74
1.1 Particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.2 Impulsion et énergie d’une particule libre . . . . . . . . 75
1.3 Particule chargée dans un champ électromagnétique . . 76
2 Théorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1 Corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2 Equations d’Euler-Lagrange généralisées . . . . . . . . 84
2.3 Champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercices ................................ 89
4 Formalisme canonique de Hamilton 93
1 Equations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2 Crochets de Poisson ; Espace des phases . . . . . . . . . . . . . 98
2.1 Evolution temporelle, constantes du mouvement . . . . 99
2.2 Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.4 Flot hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.5 Mécanique analytique et mécanique quantique . . . . . 106
3 Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1 Poincaré et le chaos dans le système solaire . . . . . . . 108
3.2 L’effet aile de papillon ; l’attracteur de Lorenz . . . . . 110
4 L’action et l’équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . 113
4.1 L’action comme fonction des coordonnées et du temps . 113
4.2 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Limite géométrique de l’optique ondulatoire. . . . . . . 120
4.4 Approximation semi-classique en mécanique quantique. 123
Exercices ................................124
Solution des exercices 138
Bibliographie 163
Index 165

3
Préface au Cours 2012
Les principes variationnels et la mécanique analytique sont enseignés à l’Ecole
Polytechnique depuis la réforme X 2000 dans le cadre du cours PHY 431.
Parmi les neuf blocs de ce cours trois blocs ont été dédiés à ce sujet. Jean-
Louis Basdevant, qui est le fondateur de cet enseignement à l’Ecole, les a
enseignés trois fois de suite. Il a élaboré un cours original dont la dernière
version écrite a paru aux éditions Vuibert [1].
Ce polycopié se base sur celui de Jean-Louis Basdevant, qui a mis à ma
disposition les sources de son manuscrit. Il a été réaménagé à plusieurs re-
prises dans le but de le faire suivre les évolutions du cours enseigné. Nous
commençons par décrire les origines des principes variationnels et en donner
quelques exemples typiques et classiques. Ensuite nous passsons à la méca-
nique analytique de Lagrange, qui nous sert de cadre pour l’analyse de sys-
tèmes simples en mécanique des points, mais aussi pour la théorie du champ
électromagnétique. Le dernier chapitre est dédié au formalisme canonique de
Hamilton, qui donne accès à une approche geométrique aux systèmes dyna-
miques, là où les méthodes de solution explicites ont trouvé leurs limites.
Dans le cours de Jean-Louis Basdevant se trouvent en outre un exposé
sur la description de l’équilibre thermodynamique en physique statistique,
un chapitre sur le mouvement dans un espace courbe avec applications en
relativité générale et illustrations en l’astrophysique, et un chapitre sur les
intégrales des chemins de Feynman. Nous espérons que cette première in-
troduction donnera envie au lecteur de consulter l’œuvre plus complet «Le
principe de moindre action et les principes variationnels en physique» de
Jean-Louis Basdevant. Dans ce but nous reproduisons ici son magnifique
avant-propos, chef-d’œuvre dans son genre, même si c’est l’avant-propos du
livre [1] et non pas à ce cours.
C’est évidemment à Jean-Louis Basdevant que s’adressent mes profonds
remerciements pour son soutien constant et indispensable dans la préparation
de cet enseignement, qui restera dans les traces qu’il a dessinées. Je voudrais
également remercier mes collègues Denis Bernard, Francis Bernardeau, Adel
Bilal, Cédric Deffayet, David Langlois, Roland Lehoucq, Marios Petropoulos,
André Rougé, Jean-François Roussel, avec qui j’avais le privilège de pouvoir
travailler pour ce cours dans une atmosphère toujours amicale et fructueuse.
Finalement je remercie Dorian Nogneng (X2010) pour une lecture attentive
du manuscrit qui a mené à quelques améliorations du texte.
Palaiseau, au mois d’octobre 2012 Christoph Kopper