Polynômes irréductibles

#35
Polynômes irréductibles
Khôlles - Classes prépa
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
Exercice 1.
Donner un exemple de polynôme qui n'est pas irréductible sur R et qui n'a pas de racines sur R.
Exercice 2.
Factorisation sur
Exercice 3.
Polynôme irréductible sur
Exercice 4.
Polynômes positifs sur
Exercice 5.
Lemme de Gauss
Exercice 6.
Polynômes irréductibles sur
Z
Exercice 7.
Polynômes irréductibles sur
Z
Exercice 8.
Critère d'irréductibilité d'Eisenstein
R
de
Factoriser X 8 + X 4 + 1 sur R.
X8 + X4 + 1
Q
Démontrer que 1 + (X − 1)2 (X − 3)2 est irréductible dans Q[X].
R
Soit E = {P ∈ R[X] tq ∃ Q, R ∈ R[X] tq P = Q2 + R2 }.
1) Montrer que E est stable par multiplication.
2) Montrer que E = {P ∈ R[X] tq ∀ x ∈ R, P (x) ≥ 0}.
3) (Centrale MP 2000, avec Maple) P = 65X 4 − 134X 3 + 190X 2 − 70X + 29. Trouver A et B dans
Z[X] tels que P = A2 + B 2 .
Soit P ∈ Z[X]. On appelle contenu de P le pgcd des coecients de P (notation : cont(P )).
1) Soient P, Q ∈ Z[X] avec cont(P ) = 1, et R = P Q. Soit p un facteur premier de cont(R).
a) Si p est premier avec le coecient constant de P , Démontrer que p divise tous les coecients
de Q.
b) Si p divise le coecient constant de P , se ramener au cas précédent.
c) En déduire que cont(Q) = cont(R).
2) Lorsque cont(P ) 6= 1, trouver cont(P Q).
3) Application : Soit R ∈ Z[X], et P, Q ∈ Q[X] tels que R = P Q. Montrer qu'il existe P1 , Q1 ∈ Z[X]
proportionnels à P et Q et tels que R = P1 Q1 .
(cad : un polynôme à coecients entiers réductible sur Q est aussi réductible sur Z)
Démontrer que X 4 + X + 1 et X 6 + X 2 + 1 sont irréductibles dans Z[X].
Soient a1 , . . . , an ∈ Z distincts.
1) Montrer que (X − a1 ) . . . (X − an ) − 1 est irréductible dans Z[X].
2) Même question avec (X − a1 ) . . . (X − an ) + 1, n impair.
Soit P ∈ Z[X], P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 X 0 et p un nombre premier tel que :
a0 ≡ 0 [p],
...,
an−1 ≡ 0 [p],
a0 6≡ 0 [p2 ].
Montrer que P est irréductible dans Z[X].
Exercice 9.
Xp − a
Soit K un sous-corps de C, a ∈ K et p ∈ N premier. Montrer que le polynôme X p − a est irréductible
sur K si et seulement s'il n'a pas de racine dans K. Indication : si X p −a = P Q avec P, Q ∈ K[X] unitaires
non constants, factoriser P dans C et considérer P (0).
Irréductibilité de
14 septembre 2015
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Thierry Sageaux
Polynômes irréductibles
Solutions des exercices
Exercice 2.
√
√
(X 2 − X + 1)(X 2 + X + 1)(X 2 − X 3 + 1)(X 2 + X 3 + 1).
Exercice 3.
r√
r√
r√
r√
2+1
2−1
2+1
2−1
racines : α = 2 +
+i
, α, β = 2 −
−i
, β.
2
2
2
2
2
2
2
Factorisation de P sur R : P = (X − 2 Re(α)X + |α| )(X − 2 Re(β)X + |β|2 ) et les facteurs sont
irrationnels.
Exercice 4.
1) P = |Q + iR|2 .
2) Factoriser P .
1
QQ avec Q = 65X 2 + (49i − 67)X + (42 + 11i) et Q est irréductible sur Q[i].
65
Donc si P = A2 + B 2 = (A + iB)(A − iB) avec A, B polynômes à coecients entiers alors, quitte à
changer B en −B , il existe λ ∈ Q[i] tel que : A + iB = λQ et A − iB = λQ d'où :
3)
Avec Maple : P =
2A = 65(λ + λ)X 2 + ((49i − 67)λ − (49i + 67)λ)X + ((42 + 11i)λ + (42 − 11i)λ)
2iB = 65(λ − λ)X 2 + ((49i − 67)λ + (49i + 67)λ)X + ((42 + 11i)λ − (42 − 11i)λ)
λλ = 65.
En particulier 65λ ∈ Z[i], écrivons λ =
u + iv
avec u, v ∈ Z :
65
67u + 49v
42u − 11v
X+
65
65
11u
+ 42v
49u
−
67v
X+
B = vX 2 +
65
65
A = uX 2 −
u2 + v 2 = 65.
67u + 49v est divisible par 65 si et seulement si u ≡ 8v [65] et dans ce cas les autres numérateurs sont
aussi multiples de 65. La condition u2 + v 2 = 65 donne alors v = ±1, u = ±8 d'où :
A = ±(8X 2 − 9X + 5),
B = ±(X 2 + 5X + 2).
Exercice 7.
1) Si P = QR
alors Q(ai )R(ai ) = −1 ⇒ Q(ai ) = −R(ai ) = ±1, donc Q + R a n racines, donc est
nul, et P = −Q2 : contradiction pour x → ∞.
2) Même raisonnement : P = Q2 , donc Q2 − 1 = (Q − 1)(Q + 1) = (X − a1 ) . . . (X − an ).
On répartit les facteurs entre Q − 1 et Q + 1 : n = 2p, contradiction.
Exercice 8.
Soit P = QR avec Q = X n1 + bn1 −1 X n1 −1 + · · · + b0 X 0 et R = X n2 + cn2 −1 X n2 −1 + · · · + c0 X 0 .
Par hypothèse sur a0 = b0 c0 , p divise un et un seul des entiers b0 , c0 . Supposons que p divise
b0 , b1 , . . . , bk−1 : alors ak ≡ bk c0 [p] donc p divise bk . On aboutit à p divise le coecient dominant
de Q , ce qui est absurde.
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Polynômes irréductibles
Exercice 9.
On suppose a 6= 0 et X p − a = P Q avec P, Q ∈ K[X] unitaires non constants. Soit n = deg(P ) ∈
[[1, p − 1]] et b = (−1)n P (0) ∈ K. b est le produit de cetraines p-èmes de a, donc bp = an . De plus
n ∧ p = 1 ; soit nu + pv = 1 une relation de Bézout. On a alors bpu = anu = a1−pv d'où a = (bu /av )p donc
bu /av ∈ K est racine de X p − a.
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