Polynômes à coe cients réels ou complexes 1 Définition

Polynômes à coecients réels ou complexes
J. Courant
4 décembre 2010
1.2 Anneau des polynômes
Dans tout ce chapitre K désigne R ou C.
Dénition 1.3. On admet qu'on peut dénir
1 Dénition
un ensemble, noté C[X], appelé ensemble des
polynômes d'indéterminée X à coecients dans
C, vériant les propriétés suivantes :
1. C[X] étend l'ensemble des nombres complexes : C ⊂ C[X].
2. C[X] contient un élément X , diérent de
tous les complexes.
3. C[X] est muni d'une addition, notée +,
étendant l'addition sur les complexes et
d'une addition, notée ×, étendant la multiplication sur les complexes.
4. C[X] muni de ces deux opérations est un
anneau. L'élément neutre de l'addition est
0 et l'élément neutre de la multiplication est
1.
5. Pour tout entier naturel non nul k, on note
X k le polynôme X × X × . . . × X (où X
apparaît k fois dans l'expression) et on convient que X 0 = 1. Pour tout a ∈ C et tout
k ∈ N, on dit que aX k est un monôme de
degré k.
6. Pour tout polynôme P , il existe un entier n
et des coecients a0 , . . . , an tel que P soit
égal à
1.1 Anneaux
Dénition 1.1 (Anneau). On appelle anneau un
ensemble A muni de deux lois de composition internes + et × vériant les propriétés suivantes :
1. (A, +) est un groupe commutatif
2. × est associative
3. × est distributive à gauche par rapport à
l'addition, c'est-à-dire :
∀(x, y, z) ∈ A3
x×(y +z) = x×y +y ×z
4. × est distributive à droite par rapport à
l'addition, c'est-à-dire :
∀(x, y, z) ∈ A3
(x+y)×z = x×z +y ×z
5. × admet un élément neutre.
Si de plus × est commutative, on dit que A
est un anneau commutatif.
On dit que A est intègre si c'est un anneau
commutatif non trivial (c'est-à-dire possédant au
moins deux éléments distincts) tel que le produit
de deux éléments non nuls n'est jamais nul.
Exemple 1.2. (Z, +, ×)) et (C, +, ×) sont des anneaux intègres.
L'ensemble des applications de D dans R muni
de l'addition et de la multiplication d'applications
(D étant un ensemble xé) est un anneau commutatif mais n'est pas intègre si D a plus de deux
éléments.
On verra également plus tard deux exemples
intéressants d'anneaux non commutatifs : Pour
tout entier n xé, (Mn (K), +, ×) et pour tout
K-espace vectoriel E xé, (L(E), +, ◦).
Ne sont pas des anneaux :
1. (N, +, ×)
2. Les applications de R dans R munies de
l'addition de fonctions et de la composition.
n
X
ak X k
(1)
k=0
L'écriture 1 de P est appelée forme développée réduite de P
7. P étant écrit sous la forme 1, on appelle
suite des coecients de P la suite u dénie
par u0 = a0 , u1 = a1 , . . . , un = an et
pour tout k ≥ n, uk = 0. Tout polynôme P
admet une unique suite de coecients. On
dira que a0 , . . . , an sont les coecients de
P.
Soit P ∈ C[X]. On dit que P est un polynôme
à coecients réels si et seulement si la suite de ses
1
coecients est à valeurs réelles. L'ensemble des
polynômes à coecients réels est noté R[X].
D'où :
max (deg(P ),deg(Q))
X
P +Q=
1.3 Degré
(ak + bk )X k
k=0
Dénition 1.4.
0 est un élément de C donc de
C[X]. On dit que 0 est le polynôme nul. De même,
soit λ ∈ C. On dit que λ est un polynôme con-
2. λP a pour suite de coecients la suite des
(λak )k∈N :
stant.
Soit P ∈ C[X] \ { 0 }. La suite (an )n∈N des
coecients de P n'est pas la suite nulle, donc il
existe au moins un rang où elle prend une valeur
non-nulle. Par ailleurs, elle est nulle à partir d'un
certain rang. On appelle degré de P , et on note
deg(P ) le plus grand rang où la suite des coecients est non-nulle. On a alors :
1. adeg(P ) 6= 0
2. tous les coecients de P sont nuls à partir du rang deg(P ) + 1 (du rang 0 au rang
deg(P ) − 1, chacun de ces coecients peut
être nul ou non, selon P ).
On a également
deg(P )
λP =
P =
λak X k
k=0
Donc si λ est non nul, deg (λP ) = deg(P ).
Si λ est nul, deg (λP ) = −∞
3. P Q a pour suite de coecients la suite
(ck )k∈N dénie par :
∀k ∈ N
ck =
k
X
aj bk−j
j=0
De plus
deg (P Q) = deg (P ) + deg (Q)
deg(P )
X
X
an X
n
(2)
(avec la convention ∀n ∈ N ∪ { −∞ } n +
−∞ = −∞ + n = n).
n=0
adeg(P ) est appelé le coecient dominant de P ,
et adeg(P ) X deg(P ) , le monôme dominant de P .
Le degré du polynôme nul est arbitrairement
xé à −∞. Avec la convention qu'une somme pour
k allant de 0 à −∞ est nulle, l'égalité 2 reste vraie.
Enn, pour n ∈ N, on note Kn [X] l'ensemble
des polynômes à coecients dans K de degré au
plus n.
Corollaire 1.8. Soit d ∈ N, n ∈ N, λ1 , . . . λn
n éléments de K et P1 , . . . , Pn n polynômes à
coecients dans K de degré au plus d. Alors la
combinaison linéaire
n
X
λk Pk
k=1
Exercice 1.5. Quels sont les polynômes de degré
est un polynôme à coecients dans K de degré au
plus d.
0?
Exercice 1.6. Soit
P un polynôme. Notons
(ak )k∈N la suite de ses coecients. Soit n un
entier. On suppose que pour tout k ≥ n, on a
ak = 0. Que peut-on dire du degré de P ?
a
1.4 Degré et opérations
1.5 Propriétés algébriques élémentaires
Corollaire 1.9. Soit P et Q deux polynômes on
Proposition 1.7. Soit P et Q deux polynômes
de suites de coecients respectives (ak )k∈N et
(bk )k∈N . Soit λ ∈ C. Alors :
1. P + Q a pour suite de coecients la suite
des (ak + bk )k∈N et P + Q a un degré au
plus égal au plus grand des degrés de P et
de Q :
P Q = 0 ⇐⇒ P = 0 ou Q = 0
Proposition 1.10. Soit
n ∈ N. Alors
n
(P + Q) =
(P, Q) ∈ K[X]2 . Soit
n X
n
k=0
k
P n − Qn = (P − Q)
deg (P + Q) ≤ max (deg(P ), deg(Q))
P k Qn−k
n−1
X
k=0
2
P k Qn−1−k
(3)
(4)
1.6 Composition
Remarque 2.6.
1. Le polynôme nul est divisible par tout polynôme.
Dénition 1.11. Soit (P, Q) ∈ K[X]2 . Notons d
2. Le quotient Q, s'il existe, est unique.
le degré de P et a0 ,. . . ,ad les coecients de P . Le
polynôme composé de P et de Q, noté P ◦ Q est
déni par
P ◦Q=
d
X
3. Pour tout n ∈ N et tout a ∈ K, on a
X − a|X n − an
ak Qk
k=0
Proposition 2.7. Soit P
∈ K[X] et a ∈ K. a est
racine de P si et seulement si X − a divise P .
Autrement dit :
Exemple 1.12. On pose P = X 2 + 2X + 7 et
Q = X + 3. Calculer P ◦ Q.
Remarque 1.13. On utilise parfois l'abus de notation P (Q) pour désigner P ◦ Q.
P (a) = 0 ⇐⇒ X − a|P
Corollaire 2.8. Soit P ∈ K[X], n ∈ N et
a1 , . . . , an n éléments de K distincts. Alors a1 ,
.Q. . , an sont des racines de P si et seulement si
n
k=1 (X − ak ) divise P .
2 Évaluation
2.1 Dénition
Dénition 2.1. Soit P ∈ K[X] et a ∈ K. Notons
d le degré de P et λ0 ,. . . ,λn ses coecients.
On appelle évaluation de P en a ou valeur de
P en a et on note P (a) l'élément de K déni par :
P (a) =
d
X
Dénition 2.9. Soit P
∈ K[X], a ∈ K et r ∈ N.
On dit que a est racine d'ordre r de P si et seulement si P est divisible par (X − a)r et n'est pas
divisible par (X − a)r+1 .
Remarque 2.10.
1. a est racine d'ordre 0 de P
si et seulement si P (a) 6= 0.
λn an
n=0
2. Si a est racine d'ordre r de P avec r ≥ 1,
on a P (a) = 0.
On appelle application polynomiale associée à
P et on note Pe l'application
Pe : K →
x 7→
Proposition 2.11. Soit
P ∈ K[X], a ∈ K et
r ∈ N. a est racine d'ordre r de P si et seulement
si P s'écrit sous la forme (X − a)r Q où Q(a) 6= 0.
K
P (x)
Remarque 2.2. On commettra souvent l'abus de
notation consistant à confondre P et Pe.
2.3 Nombre de racines
Proposition 2.3. Soit (P, Q) ∈ K[X]2 et λ ∈ K.
Proposition 2.12. Soit P
e
P^
+ Q = Pe + Q
(5)
∈ K[X] un polynôme
non nul. Alors P a au plus deg (P ) racines distinctes.
g
e
P
Q = Pe × Q
(6)
(7)
Corollaire 2.13. Soit
f = λPe
λP
Alors
n ∈ N et P ∈ Kn [X]. Si
P admet au moins n + 1 racines distinctes, alors
P est le polynôme nul.
2.2 Racines d'un polynôme
Corollaire 2.14. Soit n ∈ N et (P, Q) ∈ Kn [X]2 .
∈ K[X] et a ∈ K. On dit
que a est racine de P si et seulement si P (a) = 0.
Si P et Q coïncident sur au moins n + 1 points,
alors P = Q.
Dénition 2.5. Soit P et D deux polynômes à
Corollaire 2.15. Soit
(P, Q) ∈ K[X]2 . Si P et
Corollaire 2.16. Soit
(P, Q) ∈ K[X]2 . Si Pe =
Dénition 2.4. Soit P
Q coïncident sur une innité de valeurs, alors
P = Q.
coecients dans K. On dit que D divise P ou
que P est un multiple de D ou que P est factorisable par D et on note D|P si et seulement
s'il existe un polynôme Q à coecients dans K
vériant P = D × Q.
e , alors P = Q.
Q
3
3 Dérivation d'un polynôme
Proposition 3.8. Soit
P ∈ K[X], r ∈ N et
a ∈ K.
a est racine d'ordre r de P si et seulement si
P (r) (a) 6= 0 et pour tout k ∈ [[0, r−1]], P (k) (a) = 0
3.1 Dénition
Dénition 3.1. Soit P ∈ K[X]. Posons d =
deg(P ) et notons a0 ,. . . ,ad les coecients de P .
On appelle polynôme dérivé de P et on note P 0
Corollaire 3.9. Soit P
∈ K[X], r ∈ N∗ et a ∈ K.
Si a est racine d'ordre r de P , alors a est
racine d'ordre r − 1 de P 0 .
le polynôme déni par :
P0 =
d
X
4 Factorisation d'un polynôme
ak kX k−1
k=1
4.1 Dans C[X]
Remarque 3.2.
1. Sur R[X], cette opération
coïncide avec la dérivation des applications
à valeurs réelles :
Théorème 4.1 (d'Alembert-Gauss). Tout
polynôme non constant à coecients dans C admet au moins une racine dans C.
0
g0 ) = Pe
(P
∀P ∈ R[X]
Corollaire 4.2. Soit
n ∈ N, P un polynôme de
degré n et de coecient dominant c. Alors il existe z1 ,. . . , zn des complexes vériant :
2. Si P est de degré 0 ou −∞, alors P = 0.
Sinon deg (P 0 ) = deg (P ) − 1.
0
Dénition 3.3. Soit P
∈ K[X]. On dénit, pour
n ∈ N, le n-ième dérivé de P , noté P (n) par
P =c
où les zk , pour k ∈ [[1, n]] sont les racines de P ,
éventuellement répétées.
Corollaire 4.3. Soit n ∈ N, P
∈ C[X] de degré
n et de coecient dominant c. Alors, en notant
p le nombre de racines distinctes de P , z1 , . . . ,
zp les racines distinctes de P , et n1 , . . . , np leurs
3.2 Propriétés
Proposition 3.4. Soit
(λ, µ) ∈ K . Alors
2
(P, Q) ∈ K[X]2 et
0
(λP + µQ) = λP 0 + µQ0
0
(P Q) = P 0 Q + P Q0
(P ◦ Q) = Q0 × (P 0 ◦ Q)
multiplicités respectives, on a :
(8)
(9)
(10)
n=
4.2 Dans R[X]
n X
k
=
P (k) Q(n−k)
n
Proposition 4.4. Soit
P un polynôme à coecients réels, z ∈ C et r ∈ N∗ . Alors z est racine
d'ordre r de P si et seulement si z est aussi racine
d'ordre r de P .
Les racines de P non réelles sont donc deux à
deux conjuguées.
k=0
Lemme 3.6 (Formule de Taylor Mac-Laurin).
Soit n ∈ N et P ∈ Kn [X]. Alors
n
X
P (k) (0)
k!
k=0
Xk
Théorème 4.5. Soit
P un polynôme à coecients réels, alors on peut écrire P sous la forme
Proposition 3.7 (Formule de Taylor). Soit n ∈
N, P ∈ Kn [X] et a ∈ K. Alors
P =
n
X
P (k) (a)
k=0
k!
P =c
n
Y
k=1
(X − a)
nk
(X − zk )
k=1
(P, Q) ∈ K[X] et n ∈ N. Alors
P =
nk
et P = c
2
(n)
p
X
k=1
n
Y
Proposition 3.5 (Formule de Leibniz). Soit
(P Q)
(11)
(X − zk )
k=1
P (0) = P
0
P (n+1) = P (n)
et ∀n ∈ N
n
Y
k
(X − ak )
m
Y
(X − zk )(X − z k )
k=1
où a1 , . . . , an sont les racines réelles de P
(répétées avec leur multiplicité), z1 , . . . , zm ,
4
Corollaire 4.6. Tout polynôme à coecients
z 1 , . . . , z m les racines complexes non réelles
(répétées avec leur multiplicité), c le coecient
dominant de P , et n + 2m = deg (P ).
réels de degré impair a au moins une racine réelle.
Exercice 4.7. Factoriser sur
On a donc
P =c
n
Y
k=1
(X − ak )
m Y
2
X 2 − 2Re(zk ) + |zk |
X 5 + 1 et X 4 + 1.
k=1
5
R les polynômes