Polynômes irréductibles

Polynômes irréductibles
Exercice 1. Factorisation sur Rde X8+X4+ 1
Factoriser X8+X4+ 1 sur R.
Exercice 2. Polynôme irréductible sur Q
Démontrer que 1 + (X−1)2(X−3)2est irréductible dans Q[X].
Exercice 3. Polynômes positifs sur R
Soit E={P∈R[X] tq ∃Q, R ∈R[X] tq P=Q2+R2}.
1) Montrer que Eest stable par multiplication.
2) Montrer que E={P∈R[X] tq ∀x∈R,P(x)>0}.
3) (Centrale MP 2000, avec Maple) P= 65X4−134X3+ 190X2−70X+ 29. Trouver Aet Bdans Z[X]
tels que P=A2+B2.
Exercice 4. Lemme de Gauss
Soit P∈Z[X]. On appelle contenu de Ple pgcd des coefficients de P(notation : cont(P)).
1) Soient P, Q ∈Z[X] avec cont(P) = 1, et R=P Q. Soit pun facteur premier de cont(R).
a) Si pest premier avec le coefficient constant de P, Démontrer que pdivise tous les coefficients de Q.
b) Si pdivise le coefficient constant de P, se ramener au cas précédent.
c) En déduire que cont(Q) = cont(R).
2) Lorsque cont(P)6= 1, trouver cont(P Q).
3) Application : Soit R∈Z[X], et P, Q ∈Q[X] tels que R=P Q. Montrer qu’il existe P1, Q1∈Z[X]
proportionnels à Pet Qet tels que R=P1Q1(cad : un polynôme à coefficients entiers réductible sur
Qest aussi réductible sur Z.)
Exercice 5. Polynômes irréductibles sur Z
Démontrer que X4+X+ 1 et X6+X2+ 1 sont irréductibles dans Z[X].
Exercice 6. Polynômes irréductibles sur Z
Soient a1, . . . , an∈Zdistincts.
1) Montrer que (X−a1). . . (X−an)−1 est irréductible dans Z[X].
2) Même question avec (X−a1). . . (X−an) + 1, nimpair.
Exercice 7. Critère d’irréductibilité d’Eisenstein
Soit P∈Z[X], P=Xn+an−1Xn−1+. . . +a0X0et pun nombre premier tel que : a0≡0 (mod p), . . . ,
an−1≡0 (mod p), a06≡ 0 (mod p2). Montrer que Pest irréductible dans Z[X].
Exercice 8. Irréductibilité de Xp−a
Soit Kun sous-corps de C,a∈Ket p∈Npremier. Montrer que le polynôme Xp−aest irréductible
sur Ksi et seulement s’il n’a pas de racine dans K. Indication : si Xp−a=P Q avec P, Q ∈K[X]
unitaires non constants, factoriser Pdans Cet considérer P(0).
Exercice 9. Polynômes sans facteur carré
Soit Kun corps fini de cardinal ket d∈N∗. On note Udl’ensemble des polynômes de K[X] unitaires
de degré det Vdle sous-ensemble des ces polynômes sans facteur carré (il n’existe pas Q∈K[X] non
constant tel que Q2divise le polynôme considéré). Soient ud,vdles cardinaux de ces ensembles.
1) Montrer : ud=P2q+r=duqvr.
2) Calculer udpuis vd.
irreduc.tex – mercredi 1er juin 2016

solutions
Exercice 1.
(X2−X+ 1)(X2+X+ 1)(X2−X√3 + 1)(X2+X√3 + 1).
Exercice 2.
racines : α= 2 + s√2+1
2+is√2−1 2,β= 2 −s√2+1 2−is√2−1 2,¯α, ¯
β.
Factorisation de Psur R:P= (X2−2<(α)X+|α|2)(X2−2<(β)X+|β|2) et les facteurs sont irrationnels.
Exercice 3.
1) P=|Q+iR|2.
2) Factoriser P.
3) Avec Maple : P=1
65 QQ avec Q= 65X2+ (49i−67)X+ (42 + 11i) et Qest irréductible sur Q[i].
Donc si P=A2+B2= (A+iB)(A−iB) avec A, B polynômes à coefficients entiers alors, quitte à
changer Ben −B, il existe λ∈Q[i] tel que : A+iB =λQ et A−iB =¯ λQ d’où :
2A= 65(λ+¯ λ)X2+ ((49i−67)λ−(49i+ 67)¯ λ)X+ ((42 + 11i)λ+ (42 −11i)¯ λ)
2iB = 65(λ−¯ λ)X2+ ((49i−67)λ+ (49i+ 67)¯ λ)X+ ((42 + 11i)λ−(42 −11i)¯ λ)
λ¯ λ= 65.
En particulier 65λ∈Z[i], écrivons λ=u+iv
65 avec u, v ∈Z:
A=uX2−67u+ 49v
65 X+42u−11v 65
B=vX2+49u−67v
65 X+11u+ 42v 65
u2+v2= 65.
67u+ 49vest divisible par 65 si et seulement si u≡8v(mod 65) et dans ce cas les autres numérateurs
sont aussi multiples de 65. La condition u2+v2= 65 donne alors v=±1, u =±8 d’où :
A=±(8X2−9X+ 5), B =±(X2+ 5X+ 2).
Exercice 6.
1) Si P=QR alors Q(ai)R(ai) = −1⇒Q(ai) = −R(ai) = ±1, donc Q+Ranracines, donc est nul, et
P=−Q2: contradiction pour x→ ∞.
2) Même raisonnement : P=Q2, donc Q2−1 = (Q−1)(Q+ 1) = (X−a1). . . (X−an).
On répartit les facteurs entre Q−1 et Q+ 1 : n= 2p, contradiction.
Exercice 7.
Soit P=QR avec Q=Xn1+bn1−1Xn1−1+. . . +b0X0et R=Xn2+cn2−1Xn2−1+. . . +c0X0.
Par hypothèse sur a0=b0c0,pdivise un et un seul des entiers b0,c0. Supposons que pdivise
b0, b1, . . . , bk−1: alors ak≡bkc0(mod p) donc pdivise bk. On aboutit à «pdivise le coefficient dom-
inant de Q», ce qui est absurde.
Exercice 8.
On suppose a6= 0 et Xp−a=P Q avec P, Q ∈K[X] unitaires non constants. Soit n= deg(P)∈[[1, p−1]]
et b= (−1)nP(0) ∈K.best le produit de certaines racines p-èmes de a, donc bp=an. De plus n∧p= 1 ;
soit nu +pv = 1 une relation de Bézout. On a alors bpu =anu =a1−pv d’où a= (bu/av)pdonc bu/av∈K
est racine de Xp−a.
Exercice 9.
1) Tout polynôme Punitaire de degré dse décompose de manière unique en P=Q2Ravec Q, R unitaires
et Rsans facteur carré.
2) On a ud=kdet ud+2 =kud+vd+2, d’où v0= 1, v1=k,vd=kd−kd−1si d>2.
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