Polynômes irréductibles

Polynômes irréductibles
Exercice 1. Factorisation sur R de X 8 + X 4 + 1
Factoriser X 8 + X 4 + 1 sur R.
Exercice 2. Polynôme irréductible sur Q
Démontrer que 1 + (X − 1)2 (X − 3)2 est irréductible dans Q[X].
Exercice 3. Polynômes positifs sur R
Soit E = {P ∈ R[X] tq ∃ Q, R ∈ R[X] tq P = Q2 + R2 }.
1) Montrer que E est stable par multiplication.
2) Montrer que E = {P ∈ R[X] tq ∀ x ∈ R, P (x) > 0}.
3) (Centrale MP 2000, avec Maple) P = 65X 4 − 134X 3 + 190X 2 − 70X + 29. Trouver A et B dans Z[X]
tels que P = A2 + B 2 .
Exercice 4. Lemme de Gauss
Soit P ∈ Z[X]. On appelle contenu de P le pgcd des coefficients de P (notation : cont(P )).
1) Soient P, Q ∈ Z[X] avec cont(P ) = 1, et R = P Q. Soit p un facteur premier de cont(R).
a) Si p est premier avec le coefficient constant de P , Démontrer que p divise tous les coefficients de Q.
b) Si p divise le coefficient constant de P , se ramener au cas précédent.
c) En déduire que cont(Q) = cont(R).
2) Lorsque cont(P ) 6= 1, trouver cont(P Q).
3) Application : Soit R ∈ Z[X], et P, Q ∈ Q[X] tels que R = P Q. Montrer qu’il existe P1 , Q1 ∈ Z[X]
proportionnels à P et Q et tels que R = P1 Q1 (cad : un polynôme à coefficients entiers réductible sur
Q est aussi réductible sur Z.)
Exercice 5. Polynômes irréductibles sur Z
Démontrer que X 4 + X + 1 et X 6 + X 2 + 1 sont irréductibles dans Z[X].
Exercice 6. Polynômes irréductibles sur Z
Soient a1 , . . . , an ∈ Z distincts.
1) Montrer que (X − a1 ) . . . (X − an ) − 1 est irréductible dans Z[X].
2) Même question avec (X − a1 ) . . . (X − an ) + 1, n impair.
Exercice 7. Critère d’irréductibilité d’Eisenstein
Soit P ∈ Z[X], P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 X 0 et p un nombre premier tel que : a0 ≡ 0 (mod p), . . . ,
an−1 ≡ 0 (mod p), a0 6≡ 0 (mod p2 ). Montrer que P est irréductible dans Z[X].
Exercice 8. Irréductibilité de X p − a
Soit K un sous-corps de C, a ∈ K et p ∈ N premier. Montrer que le polynôme X p − a est irréductible
sur K si et seulement s’il n’a pas de racine dans K. Indication : si X p − a = P Q avec P, Q ∈ K[X]
unitaires non constants, factoriser P dans C et considérer P (0).
Exercice 9. Polynômes sans facteur carré
Soit K un corps fini de cardinal k et d ∈ N∗ . On note Ud l’ensemble des polynômes de K[X] unitaires
de degré d et Vd le sous-ensemble des ces polynômes sans facteur carré (il n’existe pas Q ∈ K[X] non
constant tel que Q2P
divise le polynôme considéré). Soient ud , vd les cardinaux de ces ensembles.
1) Montrer : ud = 2q+r=d uq vr .
2) Calculer ud puis vd .
irreduc.tex – mercredi 1er juin 2016
solutions
Exercice 1.
√
√
(X 2 − X + 1)(X 2 + X + 1)(X 2 − X 3 + 1)(X 2 + X 3 + 1).
Exercice 2.
s√
racines : α = 2 +
s√
s√
s√
2+1 +i
2 − 1, β = 2 −
2+1 −i
2 − 1 , ᾱ, β̄.
2
2
2
2
Factorisation de P sur R : P = (X 2 −2<(α)X +|α|2 )(X 2 −2<(β)X +|β|2 ) et les facteurs sont irrationnels.
Exercice 3.
1) P = |Q + iR|2 .
2) Factoriser P .
1
3) Avec Maple : P = 65
QQ avec Q = 65X 2 + (49i − 67)X + (42 + 11i) et Q est irréductible sur Q[i].
2
2
Donc si P = A + B = (A + iB)(A − iB) avec A, B polynômes à coefficients entiers alors, quitte à
changer B en −B, il existe λ ∈ Q[i] tel que : A + iB = λQ et A − iB = λ̄Q d’où :
2A = 65(λ + λ̄)X 2 + ((49i − 67)λ − (49i + 67)λ̄)X + ((42 + 11i)λ + (42 − 11i)λ̄)
2iB = 65(λ − λ̄)X 2 + ((49i − 67)λ + (49i + 67)λ̄)X + ((42 + 11i)λ − (42 − 11i)λ̄)
λλ̄ = 65.
En particulier 65λ ∈ Z[i], écrivons λ = u + iv avec u, v ∈ Z :
65
67u + 49v
42u − 11v
X+
65
65
49u − 67v
11u + 42v
B = vX 2 +
X+
65
65
A = uX 2 −
u2 + v 2 = 65.
67u + 49v est divisible par 65 si et seulement si u ≡ 8v (mod 65) et dans ce cas les autres numérateurs
sont aussi multiples de 65. La condition u2 + v 2 = 65 donne alors v = ±1, u = ±8 d’où :
A = ±(8X 2 − 9X + 5),
B = ±(X 2 + 5X + 2).
Exercice 6.
1) Si P = QR alors Q(ai )R(ai ) = −1 ⇒ Q(ai ) = −R(ai ) = ±1, donc Q + R a n racines, donc est nul, et
P = −Q2 : contradiction pour x → ∞.
2) Même raisonnement : P = Q2 , donc Q2 − 1 = (Q − 1)(Q + 1) = (X − a1 ) . . . (X − an ).
On répartit les facteurs entre Q − 1 et Q + 1 : n = 2p, contradiction.
Exercice 7.
Soit P = QR avec Q = X n1 + bn1 −1 X n1 −1 + . . . + b0 X 0 et R = X n2 + cn2 −1 X n2 −1 + . . . + c0 X 0 .
Par hypothèse sur a0 = b0 c0 , p divise un et un seul des entiers b0 , c0 . Supposons que p divise
b0 , b1 , . . . , bk−1 : alors ak ≡ bk c0 (mod p) donc p divise bk . On aboutit à «p divise le coefficient dominant de Q», ce qui est absurde.
Exercice 8.
On suppose a 6= 0 et X p − a = P Q avec P, Q ∈ K[X] unitaires non constants. Soit n = deg(P ) ∈ [[1, p − 1]]
et b = (−1)n P (0) ∈ K. b est le produit de certaines racines p-èmes de a, donc bp = an . De plus n ∧ p = 1 ;
soit nu + pv = 1 une relation de Bézout. On a alors bpu = anu = a1−pv d’où a = (bu /av )p donc bu /av ∈ K
est racine de X p − a.
Exercice 9.
1) Tout polynôme P unitaire de degré d se décompose de manière unique en P = Q2 R avec Q, R unitaires
et R sans facteur carré.
2) On a ud = k d et ud+2 = kud + vd+2 , d’où v0 = 1, v1 = k, vd = k d − k d−1 si d > 2.
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