Feuille de TD 1 - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1
Année 2006-2007
Master M1 de mathématiques
H04. Théorie algébrique des nombres
Feuille de TD 1
Révisions sur les corps nis
Exercice 1
1. Montrer que X 2 +X+1 est l'unique polynôme irréductible de degré 2 sur
F2 . F2 [X]/(X 2 + X + 1) est donc un corps de cardinal 4. Écrire sa table
d'addition et de multiplication dans la base (cl(1), cl(X)). Déterminer
l'ordre multiplicatif de chacun de ses éléments non nuls, et exhiber un
générateur du groupe multiplicatif. Expliciter les automorphismes de
ce corps.
2. Déterminer les polynômes irréductibles unitaires de degré d à coecients dans Fp lorsque (p, d) = (2, 3) et (3, 2). Si P est un tel polynôme,
Fp [X]/(P ) est un corps de cardinal pd ; vérier que les corps obtenus
sont deux à deux isomorphes et exhiber un générateur de leur groupe
multiplicatif.
Exercice 2
1. Rappeler la dénition de la caractéristique d'un corps (voire d'un anneau). Montrer que la caractéristique d'un corps est zéro ou un nombre
premier.
2. Soit k un corps ni. Montrer que la caractéristique de k est un nombre
premier p, et que le cardinal de k est une puissance de p.
3. Montrer que tout sous-groupe ni du groupe multiplicatif d'un corps
est cyclique (on pourra utiliser le théorème de structure des groupes
abéliens nis). En particulier, le groupe multiplicatif d'un corps ni est
cyclique.
4. Soit p un nombre premier et k un corps de caractéristique p. Montrer
que l'application ϕp : k → k dénie par x 7→ xp est un endomorphisme
de corps. Montrer que ϕp est un automorphisme si k est ni ou si k est
algébriquement clos.
5. Soit p un nombre premier, et n > 1 un entier. Soit k une extension de
n
Fp sur laquelle le polynôme
X p −X est scindé. Montrer que l'ensemble
n
des racines de X p − X dans k est un sous-corps de k à pn éléments.
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En déduire que toute extension de décomposition sur Fp du polynôme
n
X p − X est un corps ni à pn éléments (en particulier, il existe des
corps nis à pn éléments).
6. Montrer que tout corps ni à pn éléments est une extension de décomn
position sur Fp du polynôme X p − X (en particulier, tous les corps
nis à pn éléments sont isomorphes).
7. Soit p un nombre premier et k une extension algébriquement close de
Fp . Soit n > 1 un entier. Montrer que k contient un unique sous-corps
à pn éléments, qui est le sous-corps de k xé par ϕnp . On le note Fpn .
Montrer qu'on a l'inclusion Fpd ⊂ Fpn si et seulement si d divise n. Si d
divise n, montrer que le groupe des automorphismes du corps Fpn xant
le sous-corps Fpd est cylique d'ordre n/d, engendré par ϕdp . Montrer que
la réunion des Fpn pour n > 1 est la clôture algébrique de Fp dans k.
8. Soit k un corps ni de cardinal q . Pour n > 1, soit I(k, n) l'ensemble
des polynômes irréductibles unitaires de degré n à coecients dans k.
Montrer les relations
n
Xq − X =
Y Y
P
d|n P ∈I(k,d)
et
qn =
X
d #I(k, d).
d|n
Combien y a-t-il de polynômes irréductibles de degré 17 (respectivement 172 ) sur F2 ?
9. Soit k un corps ni de cardinal q et P un polynôme de degré n à
coecients dans k. Montrer que P est irréductible sur k si et seulement
d
si le pgcd de P et X q −X vaut 1 pour tout entier d strictement inférieur
à n.
10. Soit P un polynôme irréductible à coecients dans un corps ni k.
Montrer que tout corps de rupture de P sur k est un corps de décomposition de P .
Exercice 3
1. Soit n > 1 et Φn ∈ C[X] le polynôme unitaire dont les racines sont
simples et données par les racines primitives n-èmes de l'unité (c'est-àdire les éléments de C∗ d'ordre n). Montrer l'égalité
∀n > 1,
Xn − 1 =
Y
d|n
2
Φd .
2. Pour tout nombre premier p, calculer Φp . Calculer Φ15 . Pour tout
nombre premier p et tout entier n > 1, montrer la relation
Φ
pn
= Φp X
pn−1
.
3. (a) (Division euclidienne dans Z[X]) Soit A et B deux éléments de
Z[X], B étant supposé unitaire. Montrer qu'il existe un unique
couple (Q, R) d'éléments de Z[X] vérant
i. R = 0 ou deg(R) < deg(B)
ii. A = B Q + R.
(b) Soit A et B deux éléments de Z[X], B étant supposé unitaire. On
suppose que B divise A dans C[X]. Montrer que B divise A dans
Z[X].
(c) En raisonnant par récurrence sur n, en déduire qu'on a Φn ∈ Z[X]
pour tout n. Pour tout corps k, on peut donc considérer le polynôme Φn comme un polynôme à coecients dans k (en prenant
les images dans k des coecients de Φn par l'unique morphisme
d'anneau Z → k).
4. Soit p un nombre premier premier et k un corps de caractéristique p.
Montrer que pour tout entier n > 1 on a dans k[X] l'égalité Φp n = Φpn .
Montrer que si n est premier à p, Φn est sans facteur multiple dans
k[X].
5. Soit k un corps. Montrer que les racines de Φn dans une clôture algébrique K de k sont les générateurs du groupe des racines n-èmes de
l'unité dans K .
6. Soit k un corps ni de cardinal q , K une extension algébriquement
close de k et n un entier premier à la caractéristique de k. Montrer que
l'extension de k engendré par une racine de Φn dans K est l'extension
de décomposition de Φn dans K . En déduire que tous les facteurs irréductibles de Φn dans k[X] ont le même degré. Montrer que ce degré
est l'ordre de q dans le groupe multiplicatif (Z/nZ)∗ .
7. Un polynôme irréductible à coecients dans un corps ni est dit primitif si le groupe multiplicatif de son corps de rupture est engendré
par l'une de ses racines. Parmi les polynômes irréductibles exhibés à
l'exercice 1, lesquels sont primitifs ? Combien y a-t-il de polynômes irréductibles primitifs de degré 5 sur F2 ? Montrer qu'un polynôme à
coecient dans un corps ni k irréductible de degré n est primitif si et
seulement s'il divise Φpn −1 dans k[X].
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8. Montrer par au moins deux méthodes diérentes que le polynôme X 4 +
X + 1 est irréductible sur F2 . Factoriser X 16 − X sur F2 . En déduire
tous les polynômes irréductibles de degré 4 sur F2 . Lesquels d'entre eux
sont-ils primitifs ? Construire la table d'addition et de multiplication du
corps à 16 éléments.
Exercice 4
1. Combien y a-t-il de carrés dans un corps ni ? En déduire que dans un
corps ni tout élément est somme de deux carrés.
2. Soit p un nombre premier impair. Pour x ∈ F∗p , soit Ax l'ensemble
{x, −x, x−1 , −x1 }. Soit R la relation binaire sur F∗p dénie par : xRy
si et seulement si y ∈ Ax . Montrer que c'est une relation d'équivalence
sur F∗p . Déterminer le cardinal des classes d'équivalences et en déduire
que −1 est un carré dans Fp si et seulement si p ≡ 1 [4].
3. Soit p un nombre premier impair. Montrer les équivalences :
p ≡ 1 [3]
⇔
F∗p possède un élément d'ordre 3
⇔ X 2 + X + 1 possède une racine dans
⇔ − 3 est un carré dans Fp .
Fp
Ceci montre un cas particulier de la loi de réciprocité quadratique.
Exercice 5
Soit G un groupe cyclique d'ordre n, noté multiplicativement.
1. Soit α un générateur de G. Pour tout entier d, montrer que αd est un
générateur de G si et seulement si d et n sont premiers entre eux.
2. Soit
α ∈ G. On suppose que pour tout facteur premier ` de n on a
n
α ` 6= 1. Montrer que α est un générateur de G.
3. On suppose quen pour tout facteur premier ` de n, il existe un élément
n` le plus grand facteur de n premier à `.
α` tel que (α` ) ` 6= 1. Soit Q
Montrer que l'élément α = ` α`n` est un générateur de G.
4. Trouver les générateurs du groupe multiplicatif de Fp pour
p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 43, 71, 139, 313.
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Exercice 6
Montrer que le polynôme X 4 + 1 est réductible sur Fp pour tout p premier. Montrer qu'il est irréductible sur Z.
Exercice 7
1. Soit P un polynôme à coecients dans Z et n > 2 un entier. On
note P le polynôme obtenu en réduisant les coecients de P modulo n. Construire un isomorphisme d'anneaux entre Z[X]/(n, P ) et
(Z/nZ)[X]/(P ).
2. L'idéal de Z[X] engendré par 2 et X 2 + 3 X − 5 est-il maximal ?
3. Soit p un nombre premier. Montrer que Z[i]/p Z[i] est isomorphe à
Fp [X]/X 2 + 1. Donner un énoncé analogue pour Z[j]/p Z[j]. À quelle
condition p Z[j] est-il un idéal premier de Z[j] ?
4. Montrer que X 2 +3 X −5 est irréductible sur Z. On note x l'image de X
dans Z[X]/(X 2 + 3 X − 5). Montrer que tout élément de Z[X]/(X 2 +
3 X − 5) s'écrit de manière unique a + bx avec (a, b) ∈ Z2 . Montrer
que tout idéal non nul de Z[X]/(X 2 + 3 X − 5) contient un entier non
nul (on montrera que si (a, b) ∈ Z2 et (a, b) 6= (0, 0) alors le produit
(a + bx) (a − b(3 + x)) est un entier non nul). Déterminer les idéaux
maximaux de Z[X]/(X 2 + 3 X − 5).
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