Polynômes irréductibles de Fq.

Sandrine CARUSO
Polynômes irréductibles de Fq.
Référence : Francinou-Gianella, Exercices pour l’agrégation, algèbre 1
Proposition. Soit Fqun corps fini de cardinal q. Pour tout n∈N∗, il existe un polynôme
irréductible sur Fqde degré n. Le nombre de tel polynômes est équivalent à qn
nlorsque
n→ ∞.
On note A(n, q)l’ensemble des polynômes irréductibles de degré nsur Fq, et I(n, q) =
Card A(n, q).
Soit dun diviseur de net Pun polynôme irréductible de degré d. Montrons que P
divise Xqn−X. Soit K=Fq[X]/(P)un corps de rupture de P, et notons xla classe
de Xdans K. Comme [K:P] = deg P=d,Kest isomorphe à Fqdet donc xqd=x.
Par récurrence, on déduit du fait que ddivise nque xqn=x. Donc Pdivise Xqn−X.
Inversement, montrons que si Pest un diviseur irréductible de Xqn−X, alors le
degré dde Pdivise n. Le polynôme Xqn−Xest scindé sur Fqn, notons xune racine
de Pdans Fqn, et K=Fq(x). Le corps Kest un corps intermédiaire entre Fqet Fqn, et
[Fqn:Fq] = [Fqn:K][K:Fq]. Comme [Fqn:Fq] = net [K:Fq] = d, on en déduit
que ddivise n.
Ainsi,
Xqn−X=Y
d|nY P∈A(d,q)
P
et en prenant le degré de ce polynôme, on obtient
qn=X
d|n
dI(d, q).
La formule d’inversion de Möbius donne alors
nI(n, q) = X
d|n
µn
dqd.
Notons
rn=X
d|n
d<n
µn
dqd
de sorte que nI(n, q) = qn+rn. On a la majoration
|rn|6
bn
2c
X
d=1
qd=qqbn
2c−1
q−1.
D’une part, |rn|< qn, donc I(n, q)>0, d’autre part, |rn|=O(qbn
2c) = o(qn)donc
I(n, q)∼qn
n.
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Lemme (Fonction de Möbius).Rappelons que la fonction de Möbius µ=N∗→
{0,−1,1}est définie par µ(n) = 0 si na un facteur carré, et µ(p1· · · pr) = (−1)r
si p1, . . . , prsont des nombres premiers distincts1. Elle vérifie les propriétés suivantes :
(i) µest multiplicative, ie si PGCD(n, m) = 1 alors µ(nm) = µ(n)µ(m),
(ii) pour tout n > 1,Pd|nµ(d) = 0,
(iii) Formule d’inversion de Möbius : si g(n) = Pd|nf(d), alors
f(n) = X
d|n
µ(d)gn
d=X
d|n
µn
dg(d).
Démonstration. (i) Soient n, m ∈N∗tels que PGCD(n, m) = 1. Si nou ma un facteur
carré, alors nm aussi et µ(nm) = µ(n)µ(m) = 0. Sinon, on décompose net men
facteurs carrés : n=p1· · · pret m=q1· · · qs. Comme net msont premiers entre eux,
les piet qisont tous distincts, et nm est donc également sans facteurs carrés. On a alors
µ(nm) = (−1)r+set µ(n)µ(m) = (−1)r(−1)s= (−1)r+s.
(ii) On décompose nen facteurs premiers : n=pα1
1· · · pαr
r. Alors
X
d|n
µ(d) =
r
X
k=0 X
i1<···<ik
µ(pi1· · · pik) =
r
X
k=0 X
i1<···<ik
(−1)k
=
r
X
k=0 r
k(−1)k= (1 −1)r= 0
car r > 0. Notons que pour n= 1, cette somme est égale à µ(1) = 1.
(iii) On a
X
d|n
µ(d)gn
d=X
d|n
µ(d)X
d0|n
d
f(d0)
=X
dd0|n
µ(d)f(d0) = X
d0|n
f(d0)X
d|n
d0
µ(d) = f(n).
L’autre égalité s’obtient par changement de variable d↔n
ddans la somme.
1Éventuellement, r= 0 si n= 1.
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