Solutions Exercise Set 11 : 19 May 2016 Calcul Quantique Exercise

Solutions Exercise Set 11 : 19 May 2016
Calcul Quantique
Exercise 1 Algorithme de Grover pour N= 4
1. On peut toujours trouver la r´eponse en maximum 3 questions. En effet lors de la 3`eme
question si on n’a pas encore pr´esent´e `a l’oracle la bonne entr´ee, alors on sait que la
derni`ere entr´ee restante est la bonne. Donc il y a 3 ´ev´emements :
— trouver X0en 1 question ; prob=1
4.
— trouver X0en 2 questions ; prob=3
4×1 3=1 4.
— trouver X0en 3 questions ; prob=3
4×2 3×1 = 2 4.
Le nombre moyen de questions est :
1
4+ 2 ×1 4+ 3 ×1 2= 2 + 1 4= 2.25.
2. En regardant la th´eorie on voit qu’une question suffit !
3. L’entr´ee |00iest envoy´ee sur
|00i → |11i → 1
√2(|10i−|11i)→1 √2(|11i−|10i)
→1
2(|10i−|11i−|10i−|11i) = −|11i
→ −|00i.
l’entr´ee |10iest envoy´ee sur
|10i→|01i → 1
√2(|00i−|01i)→1 √2(|00i−|01i)
→1
2(|00i+|01i−|00i+|01i) = |01i→|10i.
et on v´erifie aussi |01i→|01iet |11i→|11i.
4. Etapes de l’algorithme : On supposons X0= 00 sans perte de g´eneralit´e.
(a) ´ Etat initial |001i.
(b) H⊗3|001i=1
(√2)3|00i+|01i+|10i+|11i⊗|0i−|1i.
1

(c) Apr`es l’oracle :
1
(√2)3|00i ⊗ (|f(00)i−|f(00)i)
+|01i ⊗ |f(01)i−|f(01)i
+|10i ⊗ |f(10)i−|f(10)i
+|11i ⊗ |f(11)i−|f(11)i.
Puisque f(00) = 1 et f(01) = f(10) = f(11) = 0 on trouve :
1
(√2)3|00i ⊗ (|1i−|0i)
+|01i ⊗ |0i−|1i
+|10i ⊗ |0i−|1i
+|11i ⊗ |0i−|1i.
=1
(√2)3−|00i+|01i+|10i+|11i⊗(|0i−|1i).
Notez que la future solution est ”marqu´ee par la phase −1”. C’est le fameux
ph´enom`ene de ”kick back phase”.
Maintenant on applique H⊗2au premier registre. Cela donne :
1
(√2)5−|00i−|01i−|10i−|11i
+|00i−|01i+|10i−|11i
+|00i+|01i−|10i−|11i
+|00i−|01i−|10i+|11i⊗(|0i−|1i).
On applique le changement de signe conditionnel : uniquement |00ichange de
signe :
1
(√2)5+|00i−|01i−|10i−|11i
− |00i−|01i+|10i−|11i
− |00i+|01i−|10i−|11i
− |00i−|01i−|10i+|11i⊗(|0i−|1i).
Peut-ˆetre qu’une bonne id´ee est de proc´eder `a des simplifications avant de conti-
nuer. Cela donne :
2

1
(√2)5−2|00i − 2|01i − 2|10i − 2|11i⊗(|0i−|1i)
=−1
(√2)3+|00i+|01i+|10i+|11i⊗(|0i−|1i)
=−1
√2(H⊗2|00i
| {z }
ˆ
O surprise !
)⊗(|0i−|1i) = −H⊗3(|001i).
Maintenant on applique la derni`ere s´erie de portes de Hadamard H⊗3. Puisque
H2= 1 on trouve l’´etat final −|00i⊗|1i. La mesure du premier registre donne
X0= 00 avec probabilit´e 1.
3