Mathématiques de l`ingénieur I

Math´ematiques de l’ing´enieur I
MAT-10363 – E08
A Nombres complexes
3. Puissances et racines
Puissances
La formule de De Moivre est une application r´ep´et´ee de la r`egle de multiplication sous forme polaire.
Elle permet de calculer la nepuissance d’un nombre complexe sous forme polaire :
r(cos θ+isin θ)n
=rn(cos nθ +isin nθ) (n∈N).
Exemple Calculer (1 + √3i)5
(1 + i)4.
Sol. Solution clip.
(1 + √3i)5
(1 + i)4=[2(cos π/3 + isin π/3)]5
√2(cos π/4 + isin π/4)4=32(cos 5π/3 + isin 5π/3)
4(cos π+isin π)
= 8(cos 2π/3 + isin 2π/3) = 8(−1/2 + i√3/2) = −4 + 4√3i.
La formule de De Moivre peut ˆetre utile pour trouver des identit´ees trigonom´etriques.
Exemple Trouver une formule pour cos 3θen termes de cos θ.
Sol. On utilise l’identit´e
(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3.
cos 3θ+isin 3θ= (cos θ+isin θ)3
= cos3θ+ 3icos2θsin θ+ 3i2cos θsin2θ+i3sin3θ
=cos3θ−3 cos θsin2θ+i3 cos2θsin θ−sin3θ.
Donc, en ´egalant les parties r´eelles de chaque cˆot´e, on trouve
cos 3θ= cos3θ−3 cos θ(1 −cos2θ) = 4 cos3θ−3 cos θ.
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Racines
Trouver les racines ned’un nombre complexe a, c’est, par d´efinition, trouver les nombres complexes z
tels que zn=a. Pour r´esoudre cette ´equation, on ´ecrit zet asous forme polaire et on utilise la
formule de De Moivre pour calculer zn. On a alors l’´egalit´e entre deux nombres complexes sous forme
polaire. Notons que
r(cos θ+isin θ) = ρ(cos α+isin α)⇐⇒ r=ρet θ=α+ 2πk (k∈Z).
En effet, les modules doivent ˆetre ´egaux, et les arguments doivent ˆetre ´equivalents, i.e. repr´esenter un
mˆeme angle dans le plan complexe. Pour cela, il faut et il suffit que leur diff´erence soit un multiple
de 2π(un tour complet).
Exemple Trouver les racines 5ede −32.
Sol. Solution clip.
Les racines 5ede −32 sont les solutions de l’´equation z5=−32. Sous forme polaire, on cherche des
solutions de la forme z=r(cos θ+isin θ). On a
z5=r5(cos 5θ+isin 5θ) De Moivre
−32 = 32(cos π+isin π) Forme polaire
Donc,
modules ´egaux : r5= 32
arguments ´equivalents : 5θ=π+ 2πk (k∈Z)
=⇒r= 2 et θ=π
5+2π 5k.
Les solutions sont
zk:= 2 cos(π
5+2π 5k) + sin(π 5+2π 5k)(k=. . . , −2,−1,0,1,2,...).
Il n’y a que 5 solutions distinctes. Par exemple on peut choisir : z0,z1,z2,z3et z4.
−2Re
Im
z2
z3
z0
z4
z1
Les racines sont au sommet d’un polygone r´egulier. C’est toujours le cas lorsqu’on r´esout l’´equation
zn=a.
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Exercices
1) Donner, sous forme polaire, les racines sixi`emes de 2i.
2) Trouver une formule pour sin 4θde la forme
sin 4θ= (a0+a1sin θ+a2sin2θ+···+ansinnθ) cos θ.
3) R´esoudre dans Cles ´equations suivantes
a) z3= 216. b) z3= 1 + i. c) z8= 1.
R´eponses
1) 2`cos π
12 +isin π 12 ´, 2`cos 5π 12 +isin 5π 12 ´, 2`cos 3π 4+isin 3π 4´, 2`cos 13π 12 +isin 13π 12 ´, 2`cos 17π 12 +isin 17π 12 ´, 2`cos 7π 4+isin 7π 4´.
2) (4 sin θ−8 sin3θ) cos θ.
3) a) 6, −3±3√3i.
b) 21/6`cos π
12 +isin π 12 ´, 21/6`cos 3π 4+isin 3π 4´, 21/6`cos 17π 12 +isin 17π 12 ´.
c) ±1, ±i,±1
√2±1 √2i.
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