1 Complexes de modules 1 2 Formules de Moivre
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NOMBRES COMPLEXES 1 II Exponentielle imaginaire Complexes de modules 1 • Notation. On note U l’ensemble des complexes de module 1 : U = • A retenir. Si z ∈ U alors : Définition Pour θ ∈ R, on pose eiθ = déf. Exemple 1 — e 2iπ 3 = • Valeurs à connaître. • ei0 = e2iπ = π • ei 2 = • eiπ = π • e−i 2 = Théorème 1. Si z ∈ C on a : 2. Si θ, θ 0 ∈ R, on a : 3. Pour tout θ ∈ R : 4. Pour tous θ, θ 0 ∈ R : Exercice 1 — Démontrer les points 3 et 4. Exemple 2 — Trouver tous les z ∈ C∗ tels que |z| = 1z = |z − 1|. 2 Formules de Moivre et formules d’Euler Théorème 1. Formule de Moivre. Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N : 2. Formules d’Euler. Pour tout θ ∈ R : Exercice 2 — Démontrer la formule de Moivre et les formules d’Euler. Théorème : Transformation de 1 ± eiθ • • Exercice 3 — Démontrer ces deux formules en « factorisant par l’angle moitié ». Exemple 3 — Soient p, q ∈ R, calculer la partie réelle de eip + eiq . Que retrouve-t-on ? 3 Applications à la trigonométrie Euler et linéarisation • Objectif. Linéariser une expression de la forme cosp x sinq x i.e. l’exprimer à l’aide de cos x, cos 2x, cos 3x . . . , et 1 + cos 2x sin x, sin 2x, sin 3x, . . . (sans puissances ni produits). Par exemple : cos2 x = 2 En pratique : pour linéariser cosp x sinq x Deux ingrédients : 1. Exemple 4 — Linéariser : a) sin5 x. 2. b) cos4 x sin x Moivre et « délinéarisation » • Objectif. Effectuer la transformation inverse i.e. écrire cos nx (ou sin nx) comme un polynôme en cos x et sin x En pratique : pour « délinéariser » cos nx Deux ingrédients : 1. 2. Exemple 5 — Ecrire cos 4x comme un polynôme en cos x et sin x. Calcul de sommes trigonométriques Exemple 6 — Soit x ∈ R. Pour n ∈ N, calculer les sommes Cn = n P k=0 cos kx et Sn = n P k=0 sin kx.
