Chapitre 9 : Applications du produit scalaire.

CH9 - Applications du produit scalaire.
Chapitre 9 : Applications du produit scalaire.
I.
Equations de droites et de cercles.
1.
Droites et produit scalaire
a)
Rappels
Introduire par vecteurs colinéaires, condition pour qu’un point appartienne à une droite
Théorème 1
Dans un repère quelconque,
→
• Toute droite a une équation de la forme ax + by + c = 0. Le vecteur −
u (−b; a) est un vecteur directeur
de cette droite.
• Réciproquement, l’ensemble des points M(x; y) tels que ax + by + c = 0 est une droite dirigée par le
→
vecteur −
u (−b; a).
Exemple 1
→
Déterminer l’équation de la droite d passant par A(1; 3) et de vecteur directeur −
u (−1; 2).
b)
Vecteur normal et équations de droites
Définition 1
→
→
Dire qu’un vecteur −
n , non nul, est normal à une droite d signifie que la direction de −
n est orthogonale à
celle de d.
Proposition 1
→
A est un point du plan et −
n est un vecteur non nul.
−−→ →
• L’ensemble des points M du plan vérifiant AM .−
n = 0 est la droite passant par A et de vecteur normal
−
→
n.
→
• Dans un repère orthnormé, une droite de vecteur normal −
n (a; b) a une équation de la forme ax +
by + c = 0, avec c ∈ R.
Démonstration :
• Oral + correction du devoir maison 7
→
→
• On considère la droite d de vectur normal −
n et passant par A avec −
n (a; b) et A(xA ; yA ).
−−→
−−→
Soit M (x; y) alors le vecteur AM a pour coordonnées AM (x − xA ; y − yA ). D’où
−−→ →
M ∈ D ⇔ AM .−
n =0
⇔ (x − xA ) × a + (y − yA ) × b = 0
⇔ ax + by + (−axA − byA ) = 0
|
{z
}
=c
Exemple 2
Dans un repère orthonormal, on considère les points A(3; −1) et B(2 ;4). Déterminer une équation de la
médiatrice du segment [AB].
2.
Cercles et produit scalaire
a)
Caractérisation du cercle de diamètre [AB].
Proposition 2
Le cercle C de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que
−−→ −−→
M A.M B = 0
Démonstration : On note C le cercle de diamètre [AB].
−−→ −−→
−−→ −−→
M A.M B = 0 ⇔ M = A, M = B ou M A⊥M B
⇔ M = A, M = B, M AB rectangle en M
⇔ M ∈C
1ere S2
1
2008-2009
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Exemple 3
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2; 5) et B(6; −1). Déterminez une équation du cercle
de diamètre [AB].
b)
Equation de cercle.
Proposition 3
Dans un repère orthonormé, C est le cercle de centre A(xA ; yA ) et de rayon r.
Une équation du cercle C est :
(x − xA )2 + (y − yA )2 = r2
Démonstration : utilisation de la formule des normes.
Exemple 4
−
→ −
→
Dans un repère orthonormé O, ı ,  , déterminer l’équation du cercle de centre Ω(3; 2) et de rayon 4.
II.
1.
Calculs de longueurs et d’angles
Théorème de la médiane
Proposition 4
A et B sont deux points et I est le milieu de [AB].
Pour tout point M,
1
M A2 + M B 2 = 2M I 2 + AB 2
2
M
b
A
I
B
Démonstration :
−−→
−−→
M A2 + M B 2 = M A 2 + M B 2
−−→ −
→
−−→ −→
= (M I + IA)2 + (M I + IB)2
−−→ −→ −→
−−→
→
→ −
−−→ −
−−→
= M I 2 + 2M I.IA + IA2 + M I 2 + 2M I.IB + IB 2
−−→ −
→ −→
= 2M I 2 + IA2 + IB 2 + 2M I.(IA + IB)
Or, comme I est le mileiu de [AB], IA = IB =
AB
−
→ −→ −
→
et IA + IB = 0 . D’où
2
AB 2 AB 2
+
+0
4
4
1
= 2M I 2 + AB 2
2
M A2 + M B 2 = 2M I 2 +
M A2 + M B 2
Exemple 5
ABCD est un parallélogramme de centre I. On sait que AB=7, AD=5, et BD=8.
Calculer la longueur de la diagonale [AC].
2.
Relations métriques dans un triangle
Activité d’hyperbole pour intrduire cette partie
C
Théorème 2 (AL-Kashi)
Soit ABC un triangle avec AB=c, BC=a et CA=b. On a les relations ci-dessous :
b
1. a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A).
b
2. b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B).
b
3. c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C).
1ere S2
b
A
2
b
A
b
C
a
c
b
B
B
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Démonstration :
−−→ −→
−−→ −→
a2 = BC 2 = (BA + AC)2 = BA2 + 2BA.AC + AC 2 .
−−→ −→
b = −BA × AC × cos(A)
b + simple avec
Or, BA.AC = BA × AC × cos(π − A)
−−→ −→
−−→ −→
BA.AC = −AB.AC. D’où
b
a2 = c2 + b2 − 2bc cos(A)
Même principe pour les autres.
Proposition 5 (Aire d’un triangle)
Dans un traingle ABC avec les mêmes notations que précédemment. On note S son aire :
S=
1
1
1
b = ac sin(B)
b = ab sin(C)
b
bc sin(A)
2
2
2
Démonstration :
Distinguer les cas de l’angle obtu ou aigü et utiliser le projeté orthogonal.
Propriété 1 (Propriété des sinus)
Dans un triangle ABC,
a
b
sin(A)
=
b
b
sin(B)
=
Exemple 6
ABC est un triangle tel que AB=5, BC=11, et CA=7.
c
b
sin(C)
1. Déterminer les angles de ABC.
2. Calculer la valeur excte de l’aire S du triangle ABC.
III.
Trigonométrie : formules d’addition et de duplication.
1.
Formules d’addition
Propriété 2
Pour tous réels a et b,
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
(1)
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
(2)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − sin(b) cos(a)
(3)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
(4)
(5)
Démonstration :
−
→ −
→
1. Dans un repère orthonormé O, ı ,  , A et B sont des points du cercle trigonométrique de centre
O tels que
−
→ −→
−
→ −−→
( i , OA) = a et ( i , OB) = b
faire un cercle trigo
−−→ −→
−−→ −→
OB.OA = OB × OA × cos(OB, OA).
Or OB=OA=1 car A et B sont deux points du cercle trigonométriques. De plus,
−−→ −
−−→ −→
→
−
→ −→
(OB, OA) = (OB, i ) + ( i , OA) = a − b
−−→ −→
On a alors : OB.OA = cos(a − b).
Les coordonnées de A sont (cos(a); sin(a)) et celles de B (cos(b); sin(b)). On a alors :
−−→ −→
OB.OA = cos(b) cos(a) + sin(b) sin(a)
Donc cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
1ere S2
3
2008-2009
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2. On remplace b par −b dans la formule précédente.
!
!
!
π
π
3. sin(a − b) = cos
− (a − b) = cos
− a + b) . D’où :
2
2
sin(a − b) = cos
= cos
!
!
π
− a + b)
2
!
!
π
π
− a cos(b) − sin(
− a sin(b)
2
2
= sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
4. On remplace b par −b dans l’égalité précédente.
Exemple 7
π π
π
= + , déterminer la valeur exacte de cos
En remarquant que
12 6 4
2.
!
π
et de sin
12
!
π
.
12
Formules de duplications
Propriété 3
Pour tout réel a,
cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a)
(6)
sin(2a) = 2 cos(a) sin(a)
(7)
Exemple 8
Calculer la valeur exacte de cos
1ere S2
π
8
!
4
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