Chapitre 9 : Applications du produit scalaire.

CH9 - Applications du produit scalaire.
Chapitre 9 : Applications du produit scalaire.
I. Equations de droites et de cercles.
1. Droites et produit scalaire
a) Rappels
Introduire par vecteurs colinéaires, condition pour qu’un point appartienne à une droite
Théorème 1
Dans un repère quelconque,
•Toute droite a une équation de la forme ax +by +c= 0. Le vecteur −→ u(−b;a)est un vecteur directeur
de cette droite.
•Réciproquement, l’ensemble des points M(x;y)tels que ax +by +c= 0 est une droite dirigée par le
vecteur −→ u(−b;a).
Exemple 1
Déterminer l’équation de la droite dpassant par A(1; 3) et de vecteur directeur −→ u(−1; 2).
b) Vecteur normal et équations de droites
Définition 1
Dire qu’un vecteur −→ n, non nul, est normal à une droite dsignifie que la direction de −→ nest orthogonale à
celle de d.
Proposition 1
A est un point du plan et −→ nest un vecteur non nul.
•L’ensemble des points M du plan vérifiant −−→ AM.−→ n= 0 est la droite passant par A et de vecteur normal
−→
n.
•Dans un repère orthnormé, une droite de vecteur normal −→ n(a;b)a une équation de la forme ax +
by +c= 0, avec c∈R.
Démonstration :
•Oral + correction du devoir maison 7
•On considère la droite d de vectur normal −→ net passant par A avec −→ n(a;b)et A(xA;yA).
Soit M(x;y)alors le vecteur −−→ AM a pour coordonnées −−→ AM(x−xA;y−yA). D’où
M∈D⇔−−→ AM.−→ n= 0
⇔(x−xA)×a+ (y−yA)×b= 0
⇔ax +by + (−axA−byA)
|{z }
=c
= 0
Exemple 2
Dans un repère orthonormal, on considère les points A(3; −1) et B(2 ;4). Déterminer une équation de la
médiatrice du segment [AB].
2. Cercles et produit scalaire
a) Caractérisation du cercle de diamètre [AB].
Proposition 2
Le cercle Cde diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que
−−→
MA.−−→ MB = 0
Démonstration : On note Cle cercle de diamètre [AB].
−−→
MA.−−→ MB = 0 ⇔M=A, M =B ou −−→ MA⊥−−→ MB
⇔M=A, M =B, M AB rectangle en M
⇔M∈ C
1ere S21 2008-2009

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Exemple 3
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2; 5) et B(6; −1). Déterminez une équation du cercle
de diamètre [AB].
b) Equation de cercle.
Proposition 3
Dans un repère orthonormé, Cest le cercle de centre A(xA;yA)et de rayon r.
Une équation du cercle Cest :
(x−xA)2+ (y−yA)2=r2
Démonstration : utilisation de la formule des normes.
Exemple 4
Dans un repère orthonormé O,−→ ı , −→ , déterminer l’équation du cercle de centre Ω(3; 2) et de rayon 4.
II. Calculs de longueurs et d’angles
1. Théorème de la médiane
A B
M
I
Proposition 4
A et B sont deux points et I est le milieu de [AB].
Pour tout point M,
MA2+MB2= 2M I2+1
2AB2
Démonstration :
MA2+M B2=−−→ MA2+−−→ MB2
= (−−→ MI +−→ IA)2+ (−−→ MI +−→ IB)2
=−−→
MI2+ 2−−→
MI.−→
IA +−→
IA2+−−→
MI2+ 2−−→
MI.−→
IB +−→
IB2
= 2MI2+IA2+IB2+ 2−−→ MI.(−→ IA +−→ IB)
Or, comme I est le mileiu de [AB], IA =IB =AB
2et −→
IA +−→ IB =−→ 0. D’où
MA2+M B2= 2M I2+AB2
4+AB2 4+ 0
MA2+M B2= 2M I2+1
2AB2
Exemple 5
ABCD est un parallélogramme de centre I. On sait que AB=7, AD=5, et BD=8.
Calculer la longueur de la diagonale [AC].
2. Relations métriques dans un triangle
A B
C
c
ba
b
Ab
B
b
C
Activité d’hyperbole pour intrduire cette partie
Théorème 2 (AL-Kashi)
Soit ABC un triangle avec AB=c, BC=a et CA=b. On a les relations ci-dessous :
1. a2=b2+c2−2bc cos( b A).
2. b2=a2+c2−2ac cos( b B).
3. c2=a2+b2−2ab cos( b C).
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Démonstration :
a2=BC2= (−−→ BA +−→ AC)2=BA2+ 2−−→ BA.−→ AC +AC2.
Or, −−→ BA.−→ AC =BA ×AC ×cos(π−b A) = −BA ×AC ×cos( b A)+ simple avec
−−→
BA.−→ AC =−−−→ AB.−→ AC. D’où
a2=c2+b2−2bc cos( b A)
Même principe pour les autres.
Proposition 5 (Aire d’un triangle)
Dans un traingle ABC avec les mêmes notations que précédemment. On note S son aire :
S=1
2bc sin( b
A) = 1
2ac sin( b
B) = 1
2ab sin( b
C)
Démonstration :
Distinguer les cas de l’angle obtu ou aigü et utiliser le projeté orthogonal.
Propriété 1 (Propriété des sinus)
Dans un triangle ABC,
a
sin( b A)=b sin( b B)=c sin( b C)
Exemple 6
ABC est un triangle tel que AB=5, BC=11, et CA=7.
1. Déterminer les angles de ABC.
2. Calculer la valeur excte de l’aire S du triangle ABC.
III. Trigonométrie : formules d’addition et de duplication.
1. Formules d’addition
Propriété 2
Pour tous réels aet b,
cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)(1)
cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)(2)
sin(a−b) = sin(a) cos(b)−sin(b) cos(a)(3)
sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)(4)
(5)
Démonstration :
1. Dans un repère orthonormé O,−→ ı , −→ , A et B sont des points du cercle trigonométrique de centre
O tels que
(−→ i , −→ OA) = a et (−→ i , −−→ OB) = b
faire un cercle trigo
−−→
OB.−→ OA =OB ×OA ×cos(−−→ OB, −→ OA).
Or OB=OA=1 car A et B sont deux points du cercle trigonométriques. De plus,
(−−→
OB, −→
OA) = (−−→
OB, −→ i) + (−→ i , −→
OA) = a−b
On a alors : −−→ OB.−→ OA = cos(a−b).
Les coordonnées de A sont (cos(a); sin(a)) et celles de B (cos(b); sin(b)). On a alors :
−−→
OB.−→ OA = cos(b) cos(a) + sin(b) sin(a)
Donc cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
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2. On remplace bpar −bdans la formule précédente.
3. sin(a−b) = cos π
2−(a−b)!= cos π 2−a!+b)!. D’où :
sin(a−b) = cos π
2−a!+b)!
= cos π
2−a!cos(b)−sin( π 2−a!sin(b)
= sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)
4. On remplace bpar −bdans l’égalité précédente.
Exemple 7
En remarquant que π
12 =π 6+π 4, déterminer la valeur exacte de cos π 12!et de sin π 12!.
2. Formules de duplications
Propriété 3
Pour tout réel a,
cos(2a) = cos2(a)−sin2(a) = 2 cos2(a)−1 = 1 −2 sin2(a)(6)
sin(2a) = 2 cos(a) sin(a)(7)
Exemple 8
Calculer la valeur exacte de cos π
8!
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