l`ensemble de mandelbrot

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Devoir à la maison à rendre le mardi 11 octobre 2016
L’ENSEMBLE DE MANDELBROT
Les deux parties de ce devoir sont indépendantes.
1UNE INÉGALITÉ DE MODULES
On souhaite établir l’inégalité suivante : ∀z∈U,−1¶3|z−1| − 
z2−z+1 ¶13
4.
Soit z∈Uun nombre complexe de module 1. On pose : x=|z−1|.
1) Exprimer Re(z), puis Rez2en fonction de x.
2) En déduire que : 
z2−z+1 = x2−1 .
3) En déduire l’inégalité demandée.
4) Pour quelles valeurs de zles valeurs −1 et 13
4sont-elles effectivement atteintes ?
2L’ENSEMBLE DE MANDELBROT
Une suite de nombres complexes (un)n∈Nest dite bornée si : ∃M¾0/∀n∈N,|un|¶M. En particulier, si :
lim
n→+∞|un|= +∞, la suite (un)n∈NN’est PAS bornée.
Pour tout c∈C, on notera zn(c)n∈Nla suite définie par : z0(c) = 0 et pour tout n∈N:zn+1(c) = zn(c)2+c.
L’ensemble Mdes nombres complexes c∈Cpour lesquels la suite zn(c)n∈Nest bornée porte un nom depuis les années 80,
on l’appelle l’ensemble de Mandelbrot. Si vous avez déjà entendu parler des fractales, sachez que l’ensemble de Mandelbrot
en est une, mais nous n’avons pas les moyens de l’étudier en tant que fractale. Nous nous contenterons dans ce devoir de
démontrer quelques propriétés géométriques simples de l’ensemble Mqui nous aideront à nous le représenter.
N’hésitez pas à vous servir de l’inégalité triangulaire, selon laquelle pour tous z,z′∈C:|z| − |z′|¶|z+z′|¶|z|+|z′|.
1) a) Montrer par récurrence que pour tous c∈Cet n∈N:znc=zn(c).
b) En déduire un axe de symétrie de M.
Dans chaque question désormais, le nombre complexe cétant fixé, on notera simplement (zn)n∈Nla suite zn(c)n∈N. Il faut
tout de même bien garder en tête que la suite (zn)n∈Ndépend de c.
2) Montrer que Mcontient le nombre i.
3) Soit c∈Cpour lequel : |c|¶1
4. Montrer que pour tout n∈N:|zn|¶1 2. Qu’en déduit-on sur M?
4) Soit c∈Cpour lequel : |c|>2.
a) Montrer que pour tout n∈N∗:|zn|¾|c|.
b) En déduire que pour tout n∈N:|zn+1|¾2|zn| − 1.
c) En déduire que pour tout n∈N∗:|zn|¾2n−1|c| − 2+2.
d) En déduire que : c/∈ M , puis que Mest inclus dans un disque dont on précisera le centre et le rayon.
5) a) Soit c∈R. Montrer que pour tout n∈N:zn∈R.
b) Montrer que pour tout x∈R:x2¾x−1
4.
c) Soit c∈1
4, 2. Montrer que pour tout n∈N:zn+1¾zn+c−1 4, puis que : zn¾nc−1 4.
d) Soit c∈[−2, 0]. Montrer que pour tout n∈N:|zn|¶|c|.
e) En déduire M ∩ R.
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6) Soit c∈ M . Par définition de M, la suite (zn)n∈Nest bornée, mais on ne sait pas par quoi. On va montrer dans cette
question qu’on peut toujours la borner par le réel 2.
a) Montrer que l’équation : x2=x+|c|d’inconnue x∈R∗
+possède une et une seule solution γ.
b) Montrer l’inégalité : 1 ¶γ¶2.
c) On pose pour tout n∈N:δn=|zn| − γ. Montrer que pour tout n∈N:δn+1¾2γδn.
d) En déduire, en raisonnant par l’absurde, que pour tout n∈N:|zn|¶γ.
xmin xmax
ymin
ymax
Le résultat de la question 6) est très utile quand on veut représenter l’ensemble Mpar ordinateur.
Pour le représenter sur un rectangle [xmin,xmax]×[ymin,ymax], on veut savoir quels points de ce
rectangle sont dans Met quels points n’y sont pas. Et comme on ne peut pas tester une infinité de
points avec un ordinateur, on ramène en fait le rectangle à une simple grille de points comme sur
la figure ci-contre.
Pour chacun de ces points c, on calcule alors la suite (zn)n∈Ncorrespondante pour savoir si elle est bornée. Le problème,
c’est qu’ici aussi, le calcul d’un nombre infini de termes n’est pas possible. Concrètement, on calcule donc un nombre fixé de
termes, par exemple 100. Si l’un des nombres z1,...,z100 dépasse 2 en module, la question 6) montre que : c/∈ M . Si
au contraire chacun de ces nombres a un module inférieur à 2, on considère que : c∈ M — peut-être à tort, mais ça
marche bien.
L’ensemble de Mandelbrot Mest représenté en noir sur les figures ci-dessous. Les dégradés de bleu qui l’entourent repré-
sentent autre chose. Pour une valeur de cqui n’appartient pas à M, la suite (zn)n∈Ndépasse 2 en module à partir d’un certain
rang. Ce rang peut être petit comme il peut être grand. Par convention, plus il est petit, plus la couleur du point cest foncée.
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